1. Wprowadzenie



- przestrzeń (ustalony niepusty zbiór)

Klasę  (B, nie beta) podzbiorów przestrzeni  nazywamy ciałem przeliczalnie addytywnym (-ciałem
<sigma ciałem>), gdy:



jeżeli A , to A’ =  - A  ,



jeżeli A

1

, A

2

, …, A

K

  dla k = 1, 2, …, to ⋃

∈ (suma ciągów)

Wniosek:



∅ ∈ , Ω ∈



(

,

, … ,

∈

= 1, 2, … ) → ⋂

∈



( ∈ ,

∈ ) →

−

∈

Przykład:



= {∅, Ω}, - klasa wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω

Rzeczywista funkcja zbioru P określona na -ciele  podzbiorów przestrzeni  spełniająca wszystkie
aksjomaty prawdopodobieństwa nazywa się prawdopodobieństwem; taką funkcję P nazywa się
również rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni .

Przestrzenią probabilistyczną nazywamy uporządkowaną trójkę (, , P).

Elementy klasy  nazywamy zdarzeniami.
Zbiór pusty ∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Całą przestrzeń  nazywamy zdarzeniem pewnym.
Liczbę P(A), A   nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

UWAGA!

a) Gdy  = R = (-∞, ∞), to zdarzeniami są np. zbiory borelowskie na prostej. Klasa  zbiorów

borelowskich na prostej jest to z definicji najmniejsze -ciało podzbiorów przestrzeni  = R
zawierające klasę 

0

skończonych sum przedziałów <a, b) = {x: a ≤ x < b}.

b) Gdy  = R

2

(płaszczyzna), to zdarzeniami są np. zbiory borelowskie na płaszczyźnie. Klasę 

zbiorów borelowskich na płaszczyźnie definiuje się jako najmniejsze -ciało zawierające zbiory
postaci A = {(x, y): x < a, y < b}; a, b – dowolne liczby rzeczywiste.

Zbiory borelowskie przestrzeni R

n

(czyli przykłady zdarzeń, gdy  = R

n

) definiuje się analogicznie, jak w

przestrzeni R

n

.

2. Zmienne losowe (jednowymiarowe)

Określenie intuicyjno-poglądowe: zmienną losową nazywamy taką wielkość, która w wyniku
doświadczenia przyjmuje tylko jedną wartość, znaną dopiero po zrealizowaniu doświadczenia, a nie
dającą się określić (przewidzieć) przed realizacją doświadczenia.

Przykład I: jednokrotny rzut kostką.



= {

1

, 

2

, 

3

, 

4

, 

5

, 

6

}



- wszystkie podzbiory przestrzeni 

P({

k

}) = 1/6 dla k = 1, 2, …, 6

X = X() – liczba oczek, jaka wypadnie na ściance kostki: X(

k

) = k

Przykład II: dobowa liczba zgonów na określonym terenie.
Przykład III: ilość zajętych linii telefonicznych w centrali telefonicznej w ustalonej chwili czasu.

Przykłady I, II i III to zmienne losowe typu dyskretnego lub skokowego, które mają skończony lub
przeliczalny zbiór wartości.

Przykład IV: czas między kolejnymi zgłoszeniami abonentów w pewnej central telefonicznej.

Spośród zmiennych losowych, z którymi często spotykamy się w praktyce, można wymienić dwie grupy
zmiennych:

a) wyniki pomiarów,
b) wartości cech jednostek statystycznych wylosowanych z populacji generalnej, np.:



wzrost osób



wiek osób

Przykład IV to zmienne losowe typu ciągłego – przyjmują wartości ze zbioru nieprzeliczalnego, np.
odcinka.

Niech dana jest przestrzeń probabilistyczna (, , P),   . Zmienną losową nazywamy jednoznaczną
funkcję X = X():   R spełniającą warunek: dla każdego a  R zbiór {: X() <a}  .

Twierdzenie:

a) Jeżeli X = X() jest zmienną losową, to jej funkcja, np. |X|, X

2

, 3X+5, są zmiennymi losowymi.

b) Jeżeli f(x) jest funkcją borelowską na prostej R, a X = X() jest zmienną losową, to funkcja

Y()=f(x()) jest zmienną losową.

c) Jeżeli X = X(), Y = Y() są zmiennymi losowymi, to np. X+Y, X∙Y są zmiennymi losowymi.
d) Jeżeli X

1

= X

1

(), X

2

= X

2

(), …, X

n

= X

n

() są zmiennymi losowymi, a f(x

1

), f(x

2

), …, f(x

n

) jest

funkcją borelowską n-zmiennych, to funkcja Y() = f(x

1

(), x

2

(), …, x

n

()) jest zmienną

losową.

Dystrybuantą zmiennej losowej X = X() nazywamy funkcję F

X

(x) = F(x) = P({: X() < x}), x  R.