Marek Jarosz

dr Andrzej Baranowski

Fizyka techniczna I rok

Wtorek 16:00 – 18:15

Wyznaczanie względnej gęstości cieczy i ciał stałych

Waga Mohr'a

Względna gęstość alkoholu

810,68 kg/m

3

Waga Jolly'ego

Ośrodek

Ciało

h

o(cm)

h

p (cm)

(górna szalka)

h

w(cm)

(dolna szalka)

Gęstość

względna

ciała

Woda destylo-

wana

Duża kostka

22,5

30,7

26,9

7,45

Średnia kostka

22,5

24,5

23,8

2,86

Mała kostka

22,5

28,0

27,5

11,0

Walec

22,5

24,6

24,3

7,0

Alkohol

Duża kostka

22,6

30,8

29,9

9,11

Średnia kostka

22,6

24,6

24,0

3,33

Mała kostka

22,6

28,0

27,6

13,5

Walec

22,6

24,6

24,4

10,0

2.Zagadnienia teoretyczne

Prawo Archimedesa – podstawowe prawo hydro- i aerostatyki określające siłę wyporu.

Nazwa prawa wywodzi się od jego odkrywcy Archimedesa z Syrakuz.

Wersja współczesna: Na ciało zanurzone w płynie (cieczy, gazie lub plazmie) działa

pionowa, skierowana ku górze siła wyporu. Wartość siły jest równa ciężarowi wypartego płynu.
Siła ta jest wypadkową wszystkich sił parcia płynu na ciało.

Stara wersja prawa: Ciało zanurzone w cieczy lub gazie traci pozornie na ciężarze tyle, ile

waży ciecz lub gaz wyparty przez to ciało.

Prawo Hooke'a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi

ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej
siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem
(modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke'a (1635-1703) w formie "ut tensio sic

vis", pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy
Hooke'a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke'a
zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i
całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające
jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości. Najprostszym przykładem zastosowania prawa
Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta. Względne wydłużenie takiego pręta jest wprost
proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola
przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga” E ”

𝐹

𝑆

= 𝐸

𝑑𝑙

𝑙

stąd

𝑑𝑙 =

𝑙 ∗ 𝐹

𝑆 ∗ 𝐸

Gdzie:
F – siła rozciągająca
S - pole przekroju
dl - wydłużenie pręta
l – długość początkowa

Zastosowanie wagi Mohra do pomiarów gęstości cieczy

Waga Mohra to aparat umożliwiający wykonywanie pomiarów gęstości cieczy za pomocą

prawa Archimedesa. Mierzoną wielkością jest siła wyporu cieczy. Waga Mohra to waga
dwuramienna. Jedna z belek podzielona jest na 10 działek o równej długości a. Na działce nr 10
znajdującej się na końcu ramienia zawieszony jest szklany nurek. Wagę ustawia się w pozycji
równowagi za pomocą śruby umieszczonej przy podstawie wagi. W zagłębieniach przy podziałce
umieszcza się specjalnie przygotowane ciężarki, o masach w stosunku 1:0,1:0,01, tzn. jeśli
najcięższy ciężarek ma masę 100 g, to pozostałe ważą 10 g i 1 g.

Zasada pomiaru wagą Mohra opiera się na prawie Archimedesa. Ciało o jakiejś objętości V,

zanurzone w cieczy o znanej gęstości, doznaje działania siły wyporu równej F

w

= Vr

w

g. Jeżeli to

samo ciało zostanie zanurzone w cieczy o nieznanej gęstości, to siła wyporu będzie równa F

x

=

Vr

x

g. Stosunek sił wyporu F

x

/F

w

jest równy stosunkowi gęstości cieczy r

x

/r

w

.

Waga Mohra umożliwia szybkie wyznaczanie wielkości F

x

/F

w

. Wagę ustawia się w

położeniu równowagi w powietrzu, a następnie zanurza nurka w naczyniu z wodą destylowaną (r

w

= 1 kg/dm

3

). Ponieważ na ciało w wodzie działa siła wyporu, waga wychyli się z położenia

równowagi. Aby z powrotem była równowaga, należy na ramieniu zawiesić ciężarki na
odpowiednich miejscach podziałki tak, aby momenty siły ciężarków zrównoważyły moment siły
wyporu. Można zapisać równanie:
F

w

×10a = Mg×l

1

a + 0,1Mg×l

2

a + 0,01Mg×l

3

a

gdzie l

1

, l

2

i l

3

to odpowiednie podziałki. Jeżeli nurka zanurzymy w innej cieczy, której gęstość

chcemy zbadać, równanie będzie miało postać

F

x

×10a = Mg×l

21

a + 0,1Mg×l

22

a + 0,01Mg×l

23

a

Stosunek sił wyporu jest równy
F

x

/F

w

= (l

21

a + l

22

a + l

23

a)/(l

1

a + l

2

a + l

3

a).

Stąd od razu odczytujemy gęstość cieczy jako
r

x

= (F

x

/F

w

) r

w

Waga Jolly'ego bardzo czuła waga dźwigniowa zaopatrzona w drugą parę szalek

zawieszonych na długich drutach. Za pomocą takiej wagi niemiecki fizyk von Jolly wyznaczył stałą
grawitacji z dokładnością większą niż Cavendish za pomocą wagi skręceń. Jolly na jednej z
dodatkowych szalek dolnych umieścił naczynie kuliste z rtęcią o masie m

1

= 5 kg. Na przeciwległej

szalce górnej umieścił odważniki równoważące tę masę. Bezpośrednio pod rtęcią ustawiona została
kula ołowiana o średnicy 1 m i masie m

2

= 5800 kg. Wyznaczenie siły oddziaływania F między

kulami z rtęci i ołowiu oraz pomiar odległości między ich środkami r pozwoliły wyznaczyć stałą
grawitacji k z zależności F = k · m

1

· m

2

· (1/r

2

).

3.Opis przeprowadzenia doświadczenia

Doświadczenie dla wagi Mohr’a

Zrównoważyłem wagę wraz z nurkiem za pomocą pionu oraz odpowiednich pokręteł przy ramieniu
wagi. Następnie wlałem ciecz wzorcową (woda destylowana) do menzurki i zanurzyłem nurka w
całości w cieczy. Zrównoważyłem wagę za pomocą koników oraz zapisałem położenie ciężarków.
Następnie wylałem ciecz z menzurki, osuszyłem nurka oraz menzurkę. Wykonałem następny
pomiar dla alkoholu na podobnych jak wcześniej zasadach.
Umieszczenie ciężarków na wadze Mohr’a dla wody: 1-1A, 3-0.1A, 1A.
Umieszczenie ciężarków na wadze Mohr’a dla alkoholu: 3-0.1A, 5-0.01A, 8-1A

Tablicowa gęstość wody

1000

𝑘𝑔

𝑚

3

Tabele pomiarów dla wagi Jolly’ego

Woda

h

o

=22.5cm =0.2 cm

Górna szalka

Dolna szalka

Duża kostka 30.7 cm

29.6 cm

Średnia kostka 24.5 cm

23.8

Mała kostka 28.0 cm

27.5

Walec 24.6

24.3

Alkohol

h

o

=22.6 cm =0.2 cm

Duża kostka 30.8 cm

29.8 cm

Średnia kostka 24.6 cm

24 cm

Mała kostka 28.0 cm

27.6 cm

Walec 24.6 cm

24.4 cm

Prawo Hooke h

o

=22.9cm =0.2 cm

1g

23.1 cm

10g

25.7 cm

2g

23.4 cm

9g

25.5 cm

3g

23.7 cm

8g

25.2 cm

4g

23.9 cm

7g

24.8 cm

5g

24.3 cm

6g

24.6 cm

6g

24.5 cm

5g

24.2 cm

7g

24.9 cm

4g

23.8 cm

8g

25.2 cm

3g

23.6 cm

9g

25.5 cm

2g

23.3 cm

10g

25.7 cm

1g

23.0 cm

4.Obliczenia

Waga Mohr'a

Woda destylowana: m = 1A*1+0,1A*3+1A*9=10,3=m

w

Alkohol: m = 1A*8+0,1A*3+0,01A*5=8,35=m

a

d

a

=

𝑚

𝑎

𝑚

𝑤

𝑑

𝑤

=

8,35
10,3

1000

𝑘𝑔

𝑚

3

=810,6

𝑘𝑔

𝑚3

Ośrodek

Ciało

h

o(cm)

h

p (cm)

(górna szalka)

h

w(cm)

(dolna szalka)

Gęstość

względna

ciała

Woda destylo-

wana

Duża kostka

22,5

30,7

26,9

7,45

Średnia kostka

22,5

24,5

23,8

2,86

Mała kostka

22,5

28,0

27,5

11,0

Walec

22,5

24,6

24,3

7,0

Alkohol

Duża kostka

22,6

30,8

29,9

9,11

Średnia kostka

22,6

24,6

24,0

3,33

Mała kostka

22,6

28,0

27,6

13,5

Walec

22,6

24,6

24,4

10,0

Wzór na gęstość względną ciała:

𝑑

𝑐

𝑑

𝑜ś

=

𝑕

𝑝

−𝑕

0

𝑕

𝑝

−𝑕

𝑤

Prawo Hooke'a ( rosnące obciążenie )

Prawo Hooke'a ( malejące obciążenie )

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

22

23

24

25

26

f(x) = 0,3x + 22,79

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

22

23

24

25

26

f(x) = 0,31x + 22,67

Średnia wartość współczynnika sprężystości dla wagi Jolly'ego wynosi k=0,305

5.Niepewność pomiarowa

Rachunek niepewności obliczonej wartości gęstości względnej opieram na niepewności

maksymalnej. Najpierw obliczam niepewność wszystkich mierzonych wartości

∆𝑥

𝑘

a następnie

niepewności maksymalne ∆

𝑑

𝑎

/𝑑

𝑤

- gęstość alkoholu, ∆

𝑑

𝑐

/𝑑

𝑤

i ∆𝑑

𝑐

/𝑑

𝑎

- ciała stałe w wodzie i

alkoholu korzystając z prawa przenoszenia niepewności maksymalnych.
Pomiar był wykonywany z dokładnością ∆h = 0,1cm, więc wynika z tego niepewność wynosząca

𝑢 𝑕 =

∆𝑕
3

= 0,057𝑐𝑚

Rachunek niepewności dla

𝑑

𝑐

/𝑑

𝑤

i dla

𝑑

𝑐

/𝑑

𝑎

wyraża się wzorem

∆𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝑘

∗ ∆𝑥

𝑘

𝐾

𝑘=1

dla wody oraz alkoholu sytuacja wygląda następująco

∆

𝑑

𝑐

𝑑

𝑤

= ∆𝑕(

𝑕

𝑜

−h

w

𝑕

𝑝

−𝑕

𝑤

+

−1

𝑕

𝑝

−𝑕

𝑤

+

𝑕

𝑝

−𝑕

𝑜

(𝑕

𝑝

−𝑕

𝑤 )

)

Ośrodek

Ciało

Niepewność pomiarowa

Woda destylowana

Duża kostka

1,35

Średnia kostka

0,81

Mała kostka

4,4

Walec

4,6

Alkohol

Duża kostka

2,02

Średnia kostka

1,11

Mała kostka

6,75

Walec

10,00

Waga Mohra

Wiemy, że
m

w

= 1A + 3·0,1A + 9A = 10,3 więc a`=1+9=10, b`=3, c`=0

m

a

= 3·0,1A + 5·0,01A + 8A = 8,35 więc a`=8, b`=3, c`=5

𝑑𝑎

𝑑𝑤

=

8,35
10,3

= 0,81

∆𝑎 = ∆𝑎` = 1, ∆𝑏 = ∆𝑏` = 0,1, ∆𝑐 = ∆𝑐` = 0,01
Korzystając z poprzedniego wzoru

∆

𝑑𝑎

𝑑𝑤

=

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆𝑎` +

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆𝑏` +

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆𝑐` + −

𝑎` + 𝑏` + 𝑐`

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆𝑎

+ −

𝑎` + 𝑏` + 𝑐`

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆𝑏 + −

𝑎` + 𝑏` + 𝑐`

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

∆𝑐 = 0,19

6.Wnioski

Obliczenia dla wagi Mohr'a są zbliżone do wartości tablicowych, brak zbieżności
najprawdopodobniej spowodowany jest niedokładnym odczytem danych, oraz zbyt dużym
zaokrąglaniem wyników. Rozbieżność dla pomiarów dla wagi Jolly'ego wynikać może ze zbyt
dużego zaokrąglenia wyników jaki i z niedokładności odczytu wskazania wagi.