Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Podstawy automatyki i teoria sterowania
Krzysztof Marzjan
Re{G(jω)}
Im{G(jω)}
k
)
0
,
1
(
j
d
Δφ
Instytut Automatyki
Zakład Teorii Sterowania
Podstawy automatyki i teoria sterowania
Krzysztof Marzjan
Re{G(jω)}
Im{G(jω)}
k
)
0
,
1
(
j
d
Δφ
2
stabilność układów ciągłych
Stabilność układów automatycznej regulacji.
UAR jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy pierwiastki równania charakterystycznego leżą w
l
ewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
s
M
s
M
s
L
s
G
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
A
sI
det
s
M
t
Du
t
Cx
t
y
t
Bu
t
Ax
t
x
dt
d
Przyjmujemy:
0
1
2
2
2
2
1
1
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
a
s
M
n
n
n
n
n
n
3
stabilność układów ciągłych
Kryteria algebraiczne
Kryterium Hurwitz’a
Warunek konieczny
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są dodatnie.
Warunek wystarczający
Budujemy wyznacznik
0
2
1
0
4
3
2
2
3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
Wyznacznik
n
oraz wszystkie podwyznaczniki główne
1
,
2
,
1
n
i
i
są dodatnie:
1
1
n
a
2
3
1
2
n
n
n
n
a
a
a
a
5
6
7
2
3
4
1
3
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
warto zauważyć, że jeżeli warunek konieczny jest spełniony to wystarczy obliczyć wyznaczniki od
2
do
1
n
, bo
1
0
n
n
a
współczynniki równania charakterystycznego
zwiększanie indeksu
zmniejszanie indeksu
4
stabilność układów ciągłych
Kryterium Routh’a
Warunek konieczny
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są dodatnie.
Warunek wystarczający
Budujemy tablicę
1
1
2
1
2
3
3
2
1
2
1
2
3
3
2
1
0
2
4
5
3
1
1
3
5
4
2
0
1
3
2
1
z
w
c
c
c
c
c
n
b
b
b
b
b
n
a
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
współczynniki
równania
charakterystycznego
n - nieparzyste
wielkości
obliczane
numer
wiersza
5
stabilność układów ciągłych
1
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
2
1
1
3
5
3
1
0
2
4
4
2
0
1
3
2
0
1
z
w
c
c
c
c
c
n
b
b
b
b
b
n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
współczynniki
równania
charakterystycznego
n - parzyste
wielkości
obliczane
numer
wiersza
6
stabilność układów ciągłych
1
3
1
2
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
1
5
1
4
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
0
1
1
0
2
1
0
1
1
2
1
0
a
a
a
a
a
b
lub
a
a
a
a
a
b
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
1
3
1
1
b
b
b
a
a
c
n
n
1
3
1
5
1
2
b
b
b
a
a
c
n
n
Układ jest stabilny jeżeli w pierwszej kolumnie tablicy Routh’a wszystkie współczynniki są dodatnie.
Ilość zmian znaku w tej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.
7
stabilność układów ciągłych
Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji operatorowej
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
0
02
01
0
0
0
0
n
s
s
s
s
s
s
s
M
s
M
s
L
s
G
i transmitancji widmowej
j
s
s
G
j
G
)
(
)
(
0
0
daje układ zamknięty o transmitancji
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
0
0
0
0
n
s
s
s
s
s
s
s
M
s
M
s
L
s
M
s
L
s
L
s
G
Twierdzenie
Jeżeli M
0
(s) ma k
pierwiastków w prawej i n-k lewej półpłaszczyżnie zmiennej zespolonej (nie ma
pierwiastków na osi liczb urojonych), to M(s) ma n pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie wtedy i tylko
wtedy gdy:
2
2
)
(
1
2
)
(
1
0
0
0
k
j
G
arg
k
j
G
arg
(charakterystyka amplitudowo
– fazowa układu otwartego
)
(
0
j
G
przy zmianie pulsacji od
do
obejmuje w dodatnim kierunku trygonometrycznym punkt (-1, j0) k razy).
8
stabilność układów ciągłych
Dowód
)
(
)
(
)
(
1
0
0
s
M
s
M
s
G
k
k
k
n
n
s
j
arg
s
j
arg
j
M
arg
j
M
arg
j
G
arg
n
i
i
n
i
i
2
]
)
[(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
1
0
0
i
s
j
arg
i
s
j
arg
s
i
j
ω
Im
jω-s
i
Re
s
i
jω
jω-s
i
Re
Im
9
stabilność układów ciągłych
)
(
0
j
G
Re
)
(
0
j
G
m
I
(-1,j0)
)
(
20log(1)=0
-180
0
)
(
L
)
(
1
)
(
1
1
A
e
j
10
stabilność układów ciągłych
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
)
(
0
j
G
Re
)
(
0
j
G
m
I
stabilny
na granicy
stabilności
niestabilny
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
11
stabilność układów ciągłych
Re{G(jω)}
Im{G(jω)}
k
)
0
,
1
(
j
d
Δφ
)
(
0
j
G
d
d
log
j
G
log
j
G
log
L
1
20
)
(
1
20
)
(
20
0
0
)]
(
[
180
1
0
0
j
G
arg
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Δφ
ΔL
1