Instytut Automatyki

Zakład Teorii Sterowania

Podstawy automatyki i teoria sterowania

Krzysztof Marzjan

Re{G(jω)}

Im{G(jω)}

k

)

0

,

1

(

j



d

Δφ

2

stabilność układów ciągłych

Stabilność układów automatycznej regulacji.

UAR jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy pierwiastki równania charakterystycznego leżą w
l

ewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej.

0

)

(

)

(

)

(

)

(







s

M

s

M

s

L

s

G

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

















A

sI

det

s

M

t

Du

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x

dt

d

Przyjmujemy:

0

1

2

2

2

2

1

1

)

(

a

s

a

s

a

s

a

s

a

s

a

s

M

n

n

n

n

n

n

























3

stabilność układów ciągłych

Kryteria algebraiczne

Kryterium Hurwitz’a
Warunek konieczny
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są dodatnie.
Warunek wystarczający
Budujemy wyznacznik

0

2

1

0

4

3

2

2

3

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

































Wyznacznik

n



oraz wszystkie podwyznaczniki główne

1

,

2

,

1







n

i

i



są dodatnie:

1

1







n

a

2

3

1

2











n

n

n

n

a

a

a

a



5

6

7

2

3

4

1

3

0



















n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

warto zauważyć, że jeżeli warunek konieczny jest spełniony to wystarczy obliczyć wyznaczniki od

2



do

1





n

, bo

1

0









n

n

a

współczynniki równania charakterystycznego

zwiększanie indeksu

zmniejszanie indeksu

4

stabilność układów ciągłych

Kryterium Routh’a
Warunek konieczny
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją i są dodatnie.
Warunek wystarczający
Budujemy tablicę

1

1

2

1

2

3

3

2

1

2

1

2

3

3

2

1

0

2

4

5

3

1

1

3

5

4

2

0

1

3

2

1

z

w

c

c

c

c

c

n

b

b

b

b

b

n

a

a

a

a

a

a

n

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





































współczynniki

równania

charakterystycznego

n - nieparzyste

wielkości

obliczane

numer

wiersza

5

stabilność układów ciągłych

1

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

2

1

1

3

5

3

1

0

2

4

4

2

0

1

3

2

0

1

z

w

c

c

c

c

c

n

b

b

b

b

b

n

a

a

a

a

a

n

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

































współczynniki

równania

charakterystycznego

n - parzyste

wielkości

obliczane

numer

wiersza

6

stabilność układów ciągłych

1

3

1

2

1













n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

b



1

5

1

4

2













n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

b

0

1

1

0

2

1

0

1

1

2

1

0

a

a

a

a

a

b

lub

a

a

a

a

a

b

n

n

n

n

n

n

n

n





















1

2

1

3

1

1

b

b

b

a

a

c

n

n











1

3

1

5

1

2

b

b

b

a

a

c

n

n









Układ jest stabilny jeżeli w pierwszej kolumnie tablicy Routh’a wszystkie współczynniki są dodatnie.

Ilość zmian znaku w tej kolumnie jest równa liczbie pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie.

7

stabilność układów ciągłych

Kryterium Nyquista
Układ otwarty o transmitancji operatorowej

)

(

)

)(

(

)

(

,

)

(

)

(

)

(

0

02

01

0

0

0

0

n

s

s

s

s

s

s

s

M

s

M

s

L

s

G













i transmitancji widmowej





j

s

s

G

j

G





)

(

)

(

0

0

daje układ zamknięty o transmitancji

)

(

)

)(

(

)

(

,

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

0

0

0

0

n

s

s

s

s

s

s

s

M

s

M

s

L

s

M

s

L

s

L

s

G

















Twierdzenie
Jeżeli M

0

(s) ma k

pierwiastków w prawej i n-k lewej półpłaszczyżnie zmiennej zespolonej (nie ma

pierwiastków na osi liczb urojonych), to M(s) ma n pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie wtedy i tylko
wtedy gdy:





















2

2

)

(

1

2

)

(

1

0

0

0

k

j

G

arg

k

j

G

arg































(charakterystyka amplitudowo

– fazowa układu otwartego

)

(

0



j

G

przy zmianie pulsacji od





do



obejmuje w dodatnim kierunku trygonometrycznym punkt (-1, j0) k razy).

8

stabilność układów ciągłych

Dowód

)

(

)

(

)

(

1

0

0

s

M

s

M

s

G





















































k

k

k

n

n

s

j

arg

s

j

arg

j

M

arg

j

M

arg

j

G

arg

n

i

i

n

i

i

2

]

)

[(

)

(

)

(

)

(

1

1

0

1

0

0

























































































































i

s

j

arg





























i

s

j

arg

s

i

j

ω

Im

jω-s

i

Re

s

i

jω

jω-s

i

Re

Im

9

stabilność układów ciągłych





)

(

0



j

G

Re





)

(

0



j

G

m

I

(-1,j0)

)

(





20log(1)=0



-180

0

)

(



L

























)

(

1

)

(

1

1

A

e

j

10

stabilność układów ciągłych

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)





)

(

0



j

G

Re





)

(

0



j

G

m

I

stabilny

na granicy
stabilności

niestabilny

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

11

stabilność układów ciągłych

Re{G(jω)}

Im{G(jω)}

k

)

0

,

1

(

j



d

Δφ

)

(

0









j

G

d

d

log

j

G

log

j

G

log

L

1

20

)

(

1

20

)

(

20

0

0























)]

(

[

180

1

0

0





j

G

arg







10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa

Δφ

ΔL







1

