3. Funkce
97
3. FUNKCE
Čas ke studiu: 6
hodin
Cíl
•
Seznámíte se s pojmem funkce, možností zadání funkce, dále pak elementárními
funkcemi, jejich vlastnostmi a grafy.
Funkce jsou základním stavebním kamenem matematiky, bez jejich znalostí se nebudete moci
v dalším studiu seznámit s pojmy limita, derivace, integrál… Pojem funkce je důležitý také ve fyzice a
ostatních technických předmětech.
Než se budeme zabývat funkcemi, zavedeme si pojem zobrazení, bez kterého bychom se do studia
funkcí nemohli pustit.
Zobrazením nazýváme množinu uspořádaných dvojic
[ ]
y
x,
, kdy
B
y
A
x
∈
∈ ,
, pro které
platí, že ke každému
A
x
∈
existuje nejvýše jedno
B
y
∈ .
POZOR ! Pro
y
x
≠
platí
[ ] [ ]
x
y
y
x
,
,
≠
.
Řešený příklad
• Rozhodněte, zda se jedná o zobrazení, či nikoli.
a)
Řešení
Toto je zobrazení, každému
x
přísluší jediné
y
.
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
1
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
1
0
x
y
y=cos( π
3
- x)
3. Funkce
98
b)
Řešení
V tomto případě se o zobrazení nejedná, pro
5
,
1
=
x
nacházíme dvě funkční hodnoty, tato situace je
stejná pro všechna
(
)
3
,
3
−
∈
x
.
Nyní zavedeme pojem funkce a uvedeme její vlastnosti. Tyto vlastnosti budeme používat i v dalších
kapitolách.
Funkcí
na množině
R
⊂
A
rozumíme zobrazení, které číslu z množiny
R
⊂
A
přiřadí
právě jedno reálné číslo. Množinu
R
⊂
A
nazýváme definiční obor funkce.
Ozn.
( )
f
D
.
2
r
S
π
=
je funkční předpis vyjadřující závislost velikosti obsahu
S
kruhu na jeho poloměru
r
.
Velikost poloměru si volíme –
r
je nezávislá proměnná.
Obsah kruhu vypočítáme ze vzorce –
S
je závislá proměnná.
Označme si naši funkci
2
:
r
S
g
π
=
.
Čísla, která můžeme dosadit za
r
, určují definiční obor. Je zřejmé, že nelze za
r
dosadit
záporné číslo a nulu. Definiční obor značíme
( ) ( )
∞
= ,
0
g
D
Hodnotu funkce
g
v bodě
o
r
označíme
( )
o
o
S
r
g
=
a budeme nazývat funkční hodnota v
o
r
. Množinu všech výsledků , kterou dostaneme postupným dosazováním všech hodnot
( )
g
D
r
∈
do
funkčního předpisu, nazýváme obor hodnot funkce
g
a značíme
( ) ( )
∞
= ,
0
g
H
.
Obecně, budeme-li mít dánu funkci
f
, ve které je číslu
( )
f
D
x
o
∈
přiřazeno číslo
o
y
, označíme
tento fakt
( )
o
o
y
x
f
=
Jiná možnost zadání funkce je tabulkou nebo grafem.
-1
-2
-3
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
0
x
y
-1
-2
-3
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
3
0
x
y
3. Funkce
99
Tabulka:
r
0,1
0,5
1
1,2
1,5
2
r
S
π
=
0,0314
0,785
3,14
4,5216
7,06
Graf:
Grafem funkce
f
ve zvolené soustavě souřadnic ( SS ) v rovině je množina všech bodů
( )
[
]
x
f
x
X ,
,
kde
( )
f
D
x
∈
.
Na obrázku je graf funkce
g
pro výpočet obsahu kruhu. Graf neprochází počátkem SS, protože
( )
g
D
∉
0
.
1
2
3
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
1
2
3
-1
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
S=πr
2
3. Funkce
100
3.1. Základní vlastnosti
Parita, sudost nebo lichost funkce
Funkce je sudá, platí-li
( )
( )
x
f
x
f
=
−
. Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.
Funkce je lichá, platí-li
( )
( )
x
f
x
f
−
=
−
. Graf lidé funkce je souměrný podle počátku SS.
Nenastane-li ani jedna z uvedených možností, není funkce ani sudá ani lichá.
Řešený příklad
• Z grafu určete, zda je funkce lichá nebo sudá.
a)
b)
c)
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
3. Funkce
101
Řešení
a) funkce je sudá, je souměrná podle osy
y
b) funkce je lichá, je souměrná podle počátku
c) funkce není ani sudá ani lichá
• Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá.
2
4
2
5
3
x
x
x
y
−
−
=
Řešení
)
(
5
3
)
(
5
)
(
)
(
3
)
(
2
4
2
2
4
2
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
=
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
Funkce
2
4
2
5
3
x
x
x
y
−
−
=
je sudá.
3. Funkce
102
Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající
Funkce se nazývá rostoucí, právě když pro všechna
( )
f
D
x
x
∈
2
1
,
platí:
2
1
x
x
<
,
pak
( )
( )
2
1
x
f
x
f
<
.
Funkce se nazývá klesající, právě když pro všechna
( )
f
D
x
x
∈
2
1
,
platí:
2
1
x
x
>
,
pak
( )
( )
2
1
x
f
x
f
>
.
Řešený příklad
Rostoucí funkce na
)
(
f
D
Klesající funkce na
)
(
f
D
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0
x
y
y=-x
3
-2
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
0
x
y
y=x
3
-2
3. Funkce
103
Je dána funkce
f a interval I , který je částí jejího definičního oboru
( )
(
)
f
D
I
⊂
.
Funkce se nazývá rostoucí na intervalu
I , právě když pro všechna
( )
f
D
x
x
∈
2
1
,
platí:
2
1
x
x
<
, pak
( ) ( )
2
1
x
f
x
f
<
.
Funkce se nazývá klesající, právě když pro všechna
( )
f
D
x
x
∈
2
1
,
platí:
2
1
x
x
>
, pak
( )
( )
2
1
x
f
x
f
>
.
Řešený příklad
• Z grafu rozhodněte, kde je funkce rostoucí a kde klesající.
Řešení
Funkce je rostoucí na intervalu
)
(
2
,
−
∞
−
a
)
(
0
,
2
−
, na intervalu
( )
2
,
0
a na
)
(
∞
,
2
klesá.
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
y=
(x-1).(x+1)
x
2
.(x+2).(x-2)
3. Funkce
104
Prostá funkce
Funkce se nazývá prostá, právě když pro všechna
( )
f
D
x
x
∈
2
1
,
platí: Je-li
2
1
x
x
≠
, pak
( )
( )
2
1
x
f
x
f
≠
.
Řešený příklad
• Rozhodněte, zda je funkce prostá.
a)
Řešení
Funkce není prostá, pro různá
x
existují stejné funkční hodnoty.
b)
Řešení
Funkce je prostá, platí definice. Z obrázku vidíme, že funkce rostoucí nebo klesající je prostá.
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
-14
-15
-16
-17
-18
-19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
0
x
y
x.sinx
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
0,05.x
3
+0,2.x
3. Funkce
105
Periodická funkce
Funkce se nazývá periodická, právě když existuje takové číslo
0
>
p
, že pro každé
Z
∈
k
platí následující podmínky:
a) Je-li
( )
f
D
x
∈
, pak
( )
f
D
p
k
x
∈
+ .
;
b)
(
)
( )
x
f
p
k
x
f
=
+ .
.
Číslo
p se nazývá perioda funkce f .
Řešený příklad
• Příklady periodických funkcí
a)
b)
c)
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
1
2
0
x
y
y=cosx+sin2x
-1
-2
1
2
3
-1
1
0
x
y
-1
-2
1
2
3
-1
1
0
x
y
y=x-[x]
3. Funkce
106
• Určete periodu funkce
x
2
sin
Řešení
(
)
(
)
x
x
p
k
p
k
x
p
k
x
p
k
x
2
sin
2
cos
.
.
2
sin
.
2
cos
.
2
sin
.
2
2
sin
.
2
sin
=
+
=
+
=
+
Porovnáme upravený tvar s pravou stranou: u
1
.
2
cos
...
2
sin
=
p
k
x
u
0
.
2
sin
...
2
cos
=
p
k
x
Z první rovnice je
p
rovno celočíselným násobkům
π
, z druhé je rovno celočíselným násobkům
2
π
.
Výsledná perioda je
π
=
p
.
3. Funkce
107
Inverzní funkce
Inverzní funkce
k prosté funkci
f je
1
−
f , pro kterou platí:
f
f
H
D
=
−1
, každému
1
−
∈
f
D
y
je přiřazeno právě to
f
D
x
∈
, pro které je
( )
y
x
f
=
.
Oborem hodnot inverzní funkce je definiční obor původní funkce:
f
f
D
H
=
−1
Grafy obou funkcí jsou souměrné podle osy I. a II. kvadrantu
x
y
= .
Inverzním funkcím bude věnována samostatná kapitola.
3. Funkce
108
Úlohy k řešení
Úloha 3.1.
Rozhodněte, zda je funkce sudá či lichá:
a)
2
5
2
3
4
3
−
−
+
−
=
x
x
x
x
y
,
b)
2
3
5
x
x
x
y
−
−
=
,
c)
(
)
x
x
x
x
y
sin
cos
−
=
,
d)
x
x
y
2
ln
=
,
e)
x
x
x
x
e
e
e
e
y
−
−
+
−
=
,
f)
(
)
x
x
x
x
y
sin
2
3
−
=
,
g)
5
2
2
−
+
=
x
x
y
.
♦
Úloha 3.2.
Určete periodu funkce
a)
x
3
cos
b)
2
cos
x
♦
3. Funkce
109
Klíč k řešení a výsledky
3.1.
a)
2
5
2
3
2
5
)
(
2
)
(
)
(
3
)
(
4
3
4
3
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
+
−
−
−
=
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
ANI SUDÁ ANI LICHÁ
b)
)
(
5
5
)
(
)
(
5
)
(
2
3
2
3
2
3
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
=
−
=
+
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
LICHÁ
c)
( )
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
=
−
−
=
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
−
sin
cos
sin
cos
sin
cos
LICHÁ
d)
( )
( )
x
f
x
x
x
f
x
x
=
=
−
=
−
−
2
ln
2
ln
SUDÁ
e)
( )
( )
( )
(
)
( )
x
f
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
LICHÁ
f)
(
)
(
) (
)
)
(
sin
sin
)
sin(
)
(
)
(
)
(
2
3
2
3
2
3
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
−
=
−
=
+
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
LICHÁ
g)
5
2
5
)
(
2
)
(
)
(
2
2
−
−
=
−
−
+
−
=
−
x
x
x
x
x
f
ANI SUDÁ ANI LICHÁ
3.2.
a)
3
2
π
=
p
b)
π
4
=
p