L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE

5

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.

Ćwiczenie 5

2

ĆWICZENIE

5

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną

Małgorzata Duraj

1. Wprowadzenie

Ciała stałe poddawane działaniu zrównoważonych sił lub momentów sił ulegają odkształceniom.

Jeżeli po usunięciu sił ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach
sprężystych. Dokładne ich omówienie wymaga
poznania ogólnej teorii sprężystości oraz mechani-
zmów wiązao międzyatomowych, które określają
właściwości sprężyste i zakres stosowania praw
sprężystości.

Naprężenie mechaniczne pojawiające się w ma-
teriale jednorodnym, pochodzące od sił oddziały-
wania międzycząsteczkowego, równoważy siły
zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału.
Jeżeli siły odkształcające działają prostopadle do
powierzchni ciała (rys. 1), to

mówimy wtedy o naprężeniu normalnym



, które

określamy jako stosunek siły normalnej F

n

do pola powierzchni S:



= F

n

/S

Gdy działająca siła (F

s

) jest stycznia do powierzchni, to naprężenie nazywamy stycznym lub ścinają-

cym:



= F

s

/S.

Jeżeli siły działające na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względne poszczególnych punktów
materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest proporcjonalne do przyłożonych sił (naprężeo). Wła-
snośd ta nosi nazwę prawa Hooke’a. Prawo Hooke’a zapisane dla naprężeo normalnych i obejmujące
naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postad:



= E



,

(1)

gdzie miarą odkształcenia:



=



l/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E na-

zywa się modułem Younga. Prawo Hooke’a dla naprężeo stycznych wyraża się wzorem:



= G



,

(2)

Rys. 1. Odkształcenia powstające pod wpły-
wem sił stycznych i normalnych

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną

3

gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania



, który dla małych wartości



jest równy (rys. 1):

x

y











tg

.

Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem sztywności. Moduł ten (jak również E) jest
dla danego materiału zależny od temperatury.

Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych: modułu Younga E i mo-
dułu sztywności G można określid wszystkie własności sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała.
Na przykład przy zginaniu belki mamy do czynienia z czystym rozciąganiem i czystym ściskaniem opi-
sywanym modułem E, do opisu skręcania prętów i rozciągania sprężyn wystarcza moduł sztywności
G, natomiast względne zmiany objętości ciała powstające pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego
dają się wyrazid poprzez obydwa moduły E i G.

Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element
skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ścinania (patrz rys. 3). Jeżeli jeden koniec cylin-
drycznego pręta o długości l i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt



(momentem pary sił skręcających), to jak pokazano w Uzupełnieniu, wartośd momentu sił sprężys-
tych M pręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta skręcenia



, a stała

proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału:



l

r

G

M

2

4







(3)

Wzór

powyższy jest dogodny do wyznaczania modułu sztywności G. Metoda statyczna polegałaby na

pomiarze wielkości występujących we wzorze (3). W metodzie dynamicznej wyznacza się moduł
sztywności z pomiaru okresu drgao wahadła torsyjnego. W tym celu pręt, którego moduł sztywności
G mamy wyznaczyd, zawieszamy pionowo, a na jego koocu umieszczamy symetryczne ciało (wibra-
tor) o znanym momencie bezwładności I (rys. 2). Gdy drut skręcimy i puścimy swobodnie, wibrator na
jego koocu wykonuje (dla niewielkich kątów skręcenia, w granicach sprężystości) drgania torsyjne,
opisywane zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego równaniem:

M

I











,

gdzie:

I – moment bezwładności wibratora,







– wektor przyspieszenia kątowego,

M



– wektor momentu sił działających na pręt.

Ćwiczenie 5

4

Równanie ruchu względem osi obrotu przechodzącej przez oś pręta ma postad równania oscylatora
harmonicznego (patrz dwiczenie 2 i 3):





D

I









,

0









I

D





(4)

gdzie wartośd momentu kierującego: D = G



r

4

/2l wynika ze wzoru (3), a częstośd drgao tego ruchu



spełnia warunek:



2

= D/I.

Pręt wykonuje zatem drgania harmoniczne o okresie:

4

2

2

2

Gr

l

I

D

I

T

π

π

π





(5)

Mierząc okres T wahadła o momencie bezwładności I można wyznaczyd moduł sztywności G pręta.

2. Metoda pomiaru

Wzór (5) można bezpośrednio stosowad, gdy wibrator ma prosty kształt i możemy moment bezwład-
ności wibratora wyliczyd teoretycznie. Jeżeli momentu bezwładności nie da się obliczyd bezpośrednio,
stosujemy metodę różnicową. Do wibratora dołączamy bryłę o znanym momencie bezwładności.
Całkowity moment bezwładności układu jest sumą momentów bezwładności wibratora nie obciążo-
nego I

0

i momentu bezwładności czterech ciężarków w kształcie walca względem osi obrotu OO



wa-

hadła:

I = I

0

+ 4I

1

,

gdzie I

1

jest momentem bezwładnośd pojedynczego ciężarka względem osi OO



. Zgodnie z twierdze-

niem Steinera moment bezwładności krążka względem osi równoległej do osi OO



i odległej o a wy-

nosi (patrz dw. 2):

I

1

= mR

2

/2 + ma

2

(6)

gdzie:

m, R – odpowiednio masa i promieo krążka,

a – odległośd osi pręta od osi krążków.

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną

5

wibrator

O



O



O

2r

l

a

2R



d

O

odległość osi walca od osi OO



:

a = (d –



)/2

Rys. 2. Układ wibratora zawieszonego na pręcie służący do wyznaczania
modułu sztywności metodą dynamiczną

Okres drgao wahadła torsyjnego dla wibratora nie obciążonego ma postad:

4

0

0

2

2

Gr

l

I

T

π

π



(7)

natomiast dla wibratora obciążonego jest równy:

G

r

I

I

l

T

4

1

0

1

)

4

(

2

2

π

π





(8)

Wyznaczona na podstawie wzorów (7) i (8) wartośd modułu sztywności G wynosi:

)

(

32

2

0

2

1

4

1

T

T

r

lI

G





π

(9)

3. Wykonanie ćwiczenia

1. Zmierzyd długośd l badanego pręta. Oszacowad niepewnośd graniczną Δl pomiaru długości pręta.

2. Zmierzyd 10 razy średnicę pręta 2r za pomocą śruby mikrometrycznej (pomiar należy wykonad
szczególnie starannie, w różnych miejscach drutu, w kierunkach do siebie prostopadłych gdyż r
wchodzi do wzoru w czwartej potędze i niepewnośd względna przy pomiarze r pomnaża się cztero-
krotnie w niepewności względnej G).

3. Wyznaczyd masę 4m krążków obciążających wibrator. Zanotowad wartośd działki przyrządu Δm.

4. Zmierzyd 5-10 razy (zanotowad wszystkie wartości działek przyrządów):

– średnicę 2R krążków,

– zewnętrzną odległośd d kołeczków krzyża, na które założone zostaną ciężarki,

Ćwiczenie 5

6

– średnicę



kołeczków.

5. Zmierzyd czas t

0

30 okresów drgao wibratora nie obciążonego. Pomiar powtórzyd 10 razy. Kąt wy-

chylenia wibratora z położenia równowagi powinien byd mały.

6. Obciążyd wibrator krążkami i wyznaczyd czas t

1

analogicznie jak w punkcie poprzednim.

7. W przypadku wyznaczania modułu G kolejnego pręta należy powtórzyd pomiary opisane w punk-
tach 1, 2, 5 i 6.

8. Wyniki pomiarów wpisad do tabeli 1.

Tabela 1

Rodzaj pręta

…………………

l

2r

4m

2R

d



t

0

t

1

[mm]

[mm]

[kg]

[mm]

[mm]

[mm]

[s]

[s]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

działka przy-

rządu

Δl=

Δr=

Δm=

ΔR=

Δd=

Δφ=

Δt=

Δt=

4. Opracowanie wyników

1. Obliczyd wartości średnich arytmetycznych poszczególnych pomiarów oraz odpowiednie niepew-
ności u

A

, u

B

lub u

C

.

2. Obliczyd wartośd

a

odległości osi krążków od osi obrotu wibratora oraz oszacowad niepewnośd

złożoną pomiaru u(a):





2

/







d

a

.

3. Wyznaczyd, zgodnie ze wzorem (6), średnią wartośd momentu bezwładności pojedynczego krążka
I

1

oraz oszacowad względną niepewnośd tego pomiaru:

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

( )

( )

2

( )

2

( )

( )

1 (2

/

)

1 (

/ 2

)

r

u I

u m

u R

u a

u I

I

m

R

a

a

R

R

a

























































4. Obliczyd, zgodnie ze wzorem (9), wartośd modułu sztywności G badanego drutu oraz niepewnośd
względną tego pomiaru:

Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną

7









2

2

2

2

2

0

1

1

2

2

1

0

1

1

0

0

1

(

)

( )

(

)

( )

( )

4 ( )

2

2

( )

1

1

r

u Τ

u Ι

u Τ

u G

u l

u r

u G

G

l

r

Ι

Τ

Τ

Τ / Τ

Τ / Τ





















































































5. Przeprowadzid dyskusję otrzymanych wyników.

5. Uzupełnienia

Rozważmy cylindryczny pręt o długości l i promieniu r, którego jeden koniec jest zamocowany nieru-

chomo, a do drugiego przyłożony jest moment skręcający

M



(rys. 3). Moment ten powoduje skrę-

cenie dolnego kooca pręta względem górnego o kąt



i każdy element drutu ulega deformacji proste-

go ścinania. Aby wyprowadzid związek pomiędzy modułem sztywności G a wartością momentu M sił
skręcających drut, należy przyjąd, że pręt składa się z wielu cylindrycznych współosiowych warstw,
które obracają się dookoła osi pręta. Prostopadłościenny fragment warstwy o promieniu x, grubości
dx i długości ds zostaje odkształcony, jak pokazano na rys. 3, a pomiędzy kątem skręcenia



i kątem

ścinania



zachodzi związek:



x =



l.

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenie styczne dane jest wzorem:

l

x

G

G











(10)

Naprężenie ścinania



jest równe sile stycznej dF działającej na brzeg równoległoboku, do pola po-

wierzchni przekroju:

s

x

F

d

d

d





,

Wartośd momentu siły względem osi pręta wynosi:

s

x

x

F

x

M

d

d

d

d







.

dF

dF

dx

ds

dx

l





x

Rys. 3. Schematyczne przedstawienie warstw cylindrycznego, skręcanego pręta

Ćwiczenie 5

8

Wartośd momentu skręcającego dla cylindrycznej warstwy o grubości dx jest sumą takich momentów
sił po pełnym obwodzie koła s = 2



x:

x

x

s

x

x

M

d

π

d

d

d

2

2











.

Całkowity moment sił działający na pręt otrzymamy sumując przyczynki do momentu od wszystkich
współosiowych rurek, od x = 0 do x = r. Uwzględniając wzór (10 ) otrzymujemy:





l

r

G

x

x

l

G

M

M

r

r

2

2

4

0

3

0











d

π

d

(11)

6. Literatura

[1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1994.

[2] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. II, cz. 2, PWN, Warszawa
1970.

[3] J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, t. 1, WNT, Warszawa 1975.