L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
ĆWICZENIE
5
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.
L
ABORATORIUM FIZYCZNE
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
ĆWICZENIE
5
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.
Ćwiczenie 5
2
ĆWICZENIE
5
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną
Małgorzata Duraj
1. Wprowadzenie
Ciała stałe poddawane działaniu zrównoważonych sił lub momentów sił ulegają odkształceniom.
Jeżeli po usunięciu sił ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach
sprężystych. Dokładne ich omówienie wymaga
poznania ogólnej teorii sprężystości oraz mechani-
zmów wiązao międzyatomowych, które określają
właściwości sprężyste i zakres stosowania praw
sprężystości.
Naprężenie mechaniczne pojawiające się w ma-
teriale jednorodnym, pochodzące od sił oddziały-
wania międzycząsteczkowego, równoważy siły
zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału.
Jeżeli siły odkształcające działają prostopadle do
powierzchni ciała (rys. 1), to
mówimy wtedy o naprężeniu normalnym
, które
określamy jako stosunek siły normalnej F
n
do pola powierzchni S:
= F
n
/S
Gdy działająca siła (F
s
) jest stycznia do powierzchni, to naprężenie nazywamy stycznym lub ścinają-
cym:
= F
s
/S.
Jeżeli siły działające na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względne poszczególnych punktów
materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest proporcjonalne do przyłożonych sił (naprężeo). Wła-
snośd ta nosi nazwę prawa Hooke’a. Prawo Hooke’a zapisane dla naprężeo normalnych i obejmujące
naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postad:
= E
,
(1)
gdzie miarą odkształcenia:
=
l/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E na-
zywa się modułem Younga. Prawo Hooke’a dla naprężeo stycznych wyraża się wzorem:
= G
,
(2)
Rys. 1. Odkształcenia powstające pod wpły-
wem sił stycznych i normalnych
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną
3
gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania
, który dla małych wartości
jest równy (rys. 1):
x
y
tg
.
Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem sztywności. Moduł ten (jak również E) jest
dla danego materiału zależny od temperatury.
Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych: modułu Younga E i mo-
dułu sztywności G można określid wszystkie własności sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała.
Na przykład przy zginaniu belki mamy do czynienia z czystym rozciąganiem i czystym ściskaniem opi-
sywanym modułem E, do opisu skręcania prętów i rozciągania sprężyn wystarcza moduł sztywności
G, natomiast względne zmiany objętości ciała powstające pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego
dają się wyrazid poprzez obydwa moduły E i G.
Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element
skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ścinania (patrz rys. 3). Jeżeli jeden koniec cylin-
drycznego pręta o długości l i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt
(momentem pary sił skręcających), to jak pokazano w Uzupełnieniu, wartośd momentu sił sprężys-
tych M pręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta skręcenia
, a stała
proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału:
l
r
G
M
2
4
(3)
Wzór
powyższy jest dogodny do wyznaczania modułu sztywności G. Metoda statyczna polegałaby na
pomiarze wielkości występujących we wzorze (3). W metodzie dynamicznej wyznacza się moduł
sztywności z pomiaru okresu drgao wahadła torsyjnego. W tym celu pręt, którego moduł sztywności
G mamy wyznaczyd, zawieszamy pionowo, a na jego koocu umieszczamy symetryczne ciało (wibra-
tor) o znanym momencie bezwładności I (rys. 2). Gdy drut skręcimy i puścimy swobodnie, wibrator na
jego koocu wykonuje (dla niewielkich kątów skręcenia, w granicach sprężystości) drgania torsyjne,
opisywane zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego równaniem:
M
I
,
gdzie:
I – moment bezwładności wibratora,
– wektor przyspieszenia kątowego,
M
– wektor momentu sił działających na pręt.
Ćwiczenie 5
4
Równanie ruchu względem osi obrotu przechodzącej przez oś pręta ma postad równania oscylatora
harmonicznego (patrz dwiczenie 2 i 3):
D
I
,
0
I
D
(4)
gdzie wartośd momentu kierującego: D = G
r
4
/2l wynika ze wzoru (3), a częstośd drgao tego ruchu
spełnia warunek:
2
= D/I.
Pręt wykonuje zatem drgania harmoniczne o okresie:
4
2
2
2
Gr
l
I
D
I
T
π
π
π
(5)
Mierząc okres T wahadła o momencie bezwładności I można wyznaczyd moduł sztywności G pręta.
2. Metoda pomiaru
Wzór (5) można bezpośrednio stosowad, gdy wibrator ma prosty kształt i możemy moment bezwład-
ności wibratora wyliczyd teoretycznie. Jeżeli momentu bezwładności nie da się obliczyd bezpośrednio,
stosujemy metodę różnicową. Do wibratora dołączamy bryłę o znanym momencie bezwładności.
Całkowity moment bezwładności układu jest sumą momentów bezwładności wibratora nie obciążo-
nego I
0
i momentu bezwładności czterech ciężarków w kształcie walca względem osi obrotu OO
wa-
hadła:
I = I
0
+ 4I
1
,
gdzie I
1
jest momentem bezwładnośd pojedynczego ciężarka względem osi OO
. Zgodnie z twierdze-
niem Steinera moment bezwładności krążka względem osi równoległej do osi OO
i odległej o a wy-
nosi (patrz dw. 2):
I
1
= mR
2
/2 + ma
2
(6)
gdzie:
m, R – odpowiednio masa i promieo krążka,
a – odległośd osi pręta od osi krążków.
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną
5
wibrator
O
O
O
2r
l
a
2R
d
O
odległość osi walca od osi OO
:
a = (d –
)/2
Rys. 2. Układ wibratora zawieszonego na pręcie służący do wyznaczania
modułu sztywności metodą dynamiczną
Okres drgao wahadła torsyjnego dla wibratora nie obciążonego ma postad:
4
0
0
2
2
Gr
l
I
T
π
π
(7)
natomiast dla wibratora obciążonego jest równy:
G
r
I
I
l
T
4
1
0
1
)
4
(
2
2
π
π
(8)
Wyznaczona na podstawie wzorów (7) i (8) wartośd modułu sztywności G wynosi:
)
(
32
2
0
2
1
4
1
T
T
r
lI
G
π
(9)
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Zmierzyd długośd l badanego pręta. Oszacowad niepewnośd graniczną Δl pomiaru długości pręta.
2. Zmierzyd 10 razy średnicę pręta 2r za pomocą śruby mikrometrycznej (pomiar należy wykonad
szczególnie starannie, w różnych miejscach drutu, w kierunkach do siebie prostopadłych gdyż r
wchodzi do wzoru w czwartej potędze i niepewnośd względna przy pomiarze r pomnaża się cztero-
krotnie w niepewności względnej G).
3. Wyznaczyd masę 4m krążków obciążających wibrator. Zanotowad wartośd działki przyrządu Δm.
4. Zmierzyd 5-10 razy (zanotowad wszystkie wartości działek przyrządów):
– średnicę 2R krążków,
– zewnętrzną odległośd d kołeczków krzyża, na które założone zostaną ciężarki,
Ćwiczenie 5
6
– średnicę
kołeczków.
5. Zmierzyd czas t
0
30 okresów drgao wibratora nie obciążonego. Pomiar powtórzyd 10 razy. Kąt wy-
chylenia wibratora z położenia równowagi powinien byd mały.
6. Obciążyd wibrator krążkami i wyznaczyd czas t
1
analogicznie jak w punkcie poprzednim.
7. W przypadku wyznaczania modułu G kolejnego pręta należy powtórzyd pomiary opisane w punk-
tach 1, 2, 5 i 6.
8. Wyniki pomiarów wpisad do tabeli 1.
Tabela 1
Rodzaj pręta
…………………
l
2r
4m
2R
d
t
0
t
1
[mm]
[mm]
[kg]
[mm]
[mm]
[mm]
[s]
[s]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
działka przy-
rządu
Δl=
Δr=
Δm=
ΔR=
Δd=
Δφ=
Δt=
Δt=
4. Opracowanie wyników
1. Obliczyd wartości średnich arytmetycznych poszczególnych pomiarów oraz odpowiednie niepew-
ności u
A
, u
B
lub u
C
.
2. Obliczyd wartośd
a
odległości osi krążków od osi obrotu wibratora oraz oszacowad niepewnośd
złożoną pomiaru u(a):
2
/
d
a
.
3. Wyznaczyd, zgodnie ze wzorem (6), średnią wartośd momentu bezwładności pojedynczego krążka
I
1
oraz oszacowad względną niepewnośd tego pomiaru:
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
( )
( )
2
( )
2
( )
( )
1 (2
/
)
1 (
/ 2
)
r
u I
u m
u R
u a
u I
I
m
R
a
a
R
R
a
4. Obliczyd, zgodnie ze wzorem (9), wartośd modułu sztywności G badanego drutu oraz niepewnośd
względną tego pomiaru:
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną
7
2
2
2
2
2
0
1
1
2
2
1
0
1
1
0
0
1
(
)
( )
(
)
( )
( )
4 ( )
2
2
( )
1
1
r
u Τ
u Ι
u Τ
u G
u l
u r
u G
G
l
r
Ι
Τ
Τ
Τ / Τ
Τ / Τ
5. Przeprowadzid dyskusję otrzymanych wyników.
5. Uzupełnienia
Rozważmy cylindryczny pręt o długości l i promieniu r, którego jeden koniec jest zamocowany nieru-
chomo, a do drugiego przyłożony jest moment skręcający
M
(rys. 3). Moment ten powoduje skrę-
cenie dolnego kooca pręta względem górnego o kąt
i każdy element drutu ulega deformacji proste-
go ścinania. Aby wyprowadzid związek pomiędzy modułem sztywności G a wartością momentu M sił
skręcających drut, należy przyjąd, że pręt składa się z wielu cylindrycznych współosiowych warstw,
które obracają się dookoła osi pręta. Prostopadłościenny fragment warstwy o promieniu x, grubości
dx i długości ds zostaje odkształcony, jak pokazano na rys. 3, a pomiędzy kątem skręcenia
i kątem
ścinania
zachodzi związek:
x =
l.
Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenie styczne dane jest wzorem:
l
x
G
G
(10)
Naprężenie ścinania
jest równe sile stycznej dF działającej na brzeg równoległoboku, do pola po-
wierzchni przekroju:
s
x
F
d
d
d
,
Wartośd momentu siły względem osi pręta wynosi:
s
x
x
F
x
M
d
d
d
d
.
dF
dF
dx
ds
dx
l
x
Rys. 3. Schematyczne przedstawienie warstw cylindrycznego, skręcanego pręta
Ćwiczenie 5
8
Wartośd momentu skręcającego dla cylindrycznej warstwy o grubości dx jest sumą takich momentów
sił po pełnym obwodzie koła s = 2
x:
x
x
s
x
x
M
d
π
d
d
d
2
2
.
Całkowity moment sił działający na pręt otrzymamy sumując przyczynki do momentu od wszystkich
współosiowych rurek, od x = 0 do x = r. Uwzględniając wzór (10 ) otrzymujemy:
l
r
G
x
x
l
G
M
M
r
r
2
2
4
0
3
0
d
π
d
(11)
6. Literatura
[1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1994.
[2] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. II, cz. 2, PWN, Warszawa
1970.
[3] J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, t. 1, WNT, Warszawa 1975.