10 Precesja i nutacjaid 10692 (2)

Rozdział 10

Precesja i nutacja

10.1

Streszczenie

Płaszczyzny kół ekliptyki i równika ´swiata stanowi ˛

a płaszczyzny odniesienia sferycznych układów współ-

rz˛ednych. Punkty przeci˛ecia tych kół, czyli punkty równonocy, słu˙z ˛

a jako pocz ˛

atek rachuby współrz˛ednych

sferycznych: rektascensji i długo´sci ekliptycznej. Dlatego wobec zmiennej orientacji przestrzennej równika
i ekliptyki, zmianom ulegaj ˛

a zdefiniowane z ich pomoc ˛

a układy odniesienia a w konsekwencji zmieniaj ˛

a si˛e

współrz˛edne okre´slaj ˛

ace poło˙zenia ciał niebieskich w tych układach.

Ruch ekliptyki jest rezultatem grawitacyjnego oddziaływania planet na orbit˛e barycentrum Ziemi i Ksi˛e˙zyca
i okre´slany jest mianem precesji planetarnej. Ruch równika niebieskiego powodowany jest momentem pary
sił pochodz ˛

acych od Sło´nca, Ksi˛e˙zyca i planet na wiruj ˛

ac ˛

a brył˛e ziemsk ˛

a. Ruch ten mo˙zna rozdzieli´c na dwie

składowe: na precesj˛e b˛ed ˛

ac ˛

a gładkim długo-okresowym ruchem ´sredniego bieguna ´swiata wokół bieguna

ekliptyki, i na nutacj˛e reprezentuj ˛

ac ˛

a ruch krótkookresowy prawdziwego bieguna ´swiata wokół bieguna ´sred-

niego. Termin precesja (precesja ogólna) oznacza superpozycj˛e precesji luni-solarnej i precesji planetarnej.
Zmiany warto´sci współrz˛ednych ciał niebieskich spowodowane precesj ˛

a i nutacj ˛

a wygodnie jest obliczy´c

za pomoc ˛

a rachunku macierzowego. Elementy macierzy precesji

łatwo otrzyma´c za pomoc ˛

a k ˛

atów

Newcomb’a-Andoyer’a

;

. K ˛

aty te zale˙z ˛

a od interwału czasu dziel ˛

acego epoki

wybranych

´srednich układów odniesienia. Macierz

umo˙zliwia transformacj˛e ´srednich współrz˛ednych sferycznych z

epoki

w ´srednie współrz˛edne na epok˛e

, i odwrotnie.

Elementy macierzy nutacyjnej

na wybran ˛

a dat˛e np.

, wyliczane s ˛

a za pomoc ˛

a katowych warto´sci

;

nutacji w długo´sci i nachyleniu oraz ´sredniego nachylenia ekliptyki do równika

. Macierz nutacji

słu˙zy

do transformacji ´srednich współrz˛ednych odpowiadaj ˛

acych epoce

we współrz˛edne prawdziwe na t˛e sam ˛

epok˛e, i odwrotnie.
Słowa kluczowe: precesja luni-solarna, precesja planetarna, precesja ogólna, nutacja, macierz precesji,
macierz nutacji, k ˛

aty Newcomb’a-Andoyer’a, nutacja w długo´sci, nutacja w nachyleniu.

116

Precesja i nutacja

10.2

Wst˛ep

W rozdziale tym zajmiemy si˛e zjawiskami precesji i nutacji nieco bardziej szczegółowo ni˙z to miało miejsce
wcze´snniej. Jak wiemy w wyniku tych zjawisk ulegaj ˛

a zmmianie współrz˛edne ciał niebieskich, ale s ˛

to zmiany spowodowane ruchem biegunów ekliptyki i biegunów równika ´swiata oraz sprz˛e˙zonych z nimi
płaszczyzn ekliptyki i równika. Zatem mamy tu do czynienia ze zmianami układu odniesienia jako cało´sci, a
nie z ruchem poszczególnych gwiazd, planet etc.

Podział na precesj˛e i nutacj˛e jest arbitralny, dokonano go kieruj ˛

ac si˛e wygod ˛

a w pracach pozycyjnych.

Regularne długoterminowe przemieszczenie biegunów nazwano precesj ˛

a, nutacj ˛

a nazwano przemieszczenia

krótkookresowe zachodz ˛

ace wokół ´sredniego poło˙zenia bieguna ´swiata.

W dalszych rozwa˙zaniach zakładamy, ˙ze gwiazdy na sferze nie wykonuj ˛

a ˙zadnych ruchów a ich współ-

rz˛edne ulegaj ˛

a zmianom jedynie w wyniku ruchu układu współrz˛ednych.

10.3

Precesja luni-solarna

Precesja luni-solarna (L-S) obejmuje jedynie ruch regularny bieguna ´swiata na sferze niebieskiej. Rozwa˙za-
j ˛

ac to zjawisko, o ekliptyce zakłada si˛e, ˙ze jest nieruchoma.

Niech na rysunku 11.1 punkt

b˛edzie ´srednim biegunem ´swiata,

biegunem ekliptyki,

´srednim

punktem równonocy, wszystkie punkty odpowiadaj ˛

a tej samej epoce

. Ponadto, mamy tu nast˛epuj ˛

ace ustal-

enia:

łuk

gwiazda w punkcie

ma współrz˛edne

(;

)

, łuk

, natomiast k ˛

w układzie ekliptycznym gwiazda ma współrz˛edne

(;

)

Precesja luni-solarna jest dominuj ˛

acym efektem precesyjnym, powoduje ruch bieguna ´swiata wokół bieguna

ekliptyki po kole małym

w czasie około

26000

lat. Roczne tempo tego ruchu tradycyjnie oznaczane jest

przez greckie

i wynosi okolo

. Opis ten jest oczywi´scie przybli˙zeniem gdy˙z biegun ekliptyki

nie

jest nieruchomy, podlega on tzw. precesji planetarnej, ale w krótkich interwałach czasu podane przybli˙zenie
jest wystarczaj ˛

aco dobre.

W zjawisku precesji luni-solarnej podstawow ˛

a rol˛e gra ´sredni moment skr˛ecaj ˛

acy pary sił, efektu odziaływania

Ksi˛e˙zyca i Sło´nca na równikowe wybrzuszenia bryły Ziemi. W przypadku Sło´nca, na mocy symetrii kierunek działania
tego ´sredniego momentu sił le˙zy zarówno w płaszczy´znie równika jak i w płaszczy´znie ekliptyki, a zatem jest skierowany
ku punktowi

. Chwilowy moment p˛edu bryły ziemskiej skierowany jest na biegun ´swiata

. St ˛

ad, ´sredni moment skr˛e-

caj ˛

acy przemieszcza o´s wirowania Ziemi w kierunku zawsze prostopadłym do łuku

Przedstawiona na rysunku 10.2 para sił

;

, a ´sci´sle ich składowe prostopadłe do płaszczyzny równika, usiłuj ˛

a obróci´c

Ziemi˛e tak by równik znalazł si˛e w płaszczy´znie ekliptyki. Gdyby równik i ekliptyka pokrywały si˛e składowe sił

;

prostopadłe do równika miałyby długo´s´c równ ˛

a zeru. Podobnie jest w przypadku oddziaływania Ksi˛e˙zyca. Para sił d ˛

a˙zy

do ustawienia równika ziemskiego w płaszczy´znie orbity Ksi˛e˙zyca. Jednak ze wzgl˛edu na szybki ruch tej płaszczyzny
(spowodowany perturbacjami od Ziemi, Sło´nca, planet) jej poło˙zenia wzgl˛edem ekliptyki ci ˛

agle ulegaj ˛

a zmianie. Dwa

skrajne pokazano na rysunku 10.2. St ˛

ad ´srednio bior ˛

ac, para sił wywołana przyci ˛

aganiem wybrzusze´n bryły ziemskiej

przez Ksi˛e˙zyc, równie˙z d ˛

a˙zy do ustawienia równika Ziemi w płaszczy´znie ekliptyki.

Niech na rysunku 10.1 punkt

b˛edzie poło˙zeniem bieguna ´swiata w momencie

, zatem

k ˛

. Nowy równik (widoczny na rysunku 10.1) przebiega przez punkty

;

Punkt

jest nowym punktem równonocy. Poniewa˙z

, st ˛

ad łuk

. Czyli w takim uj˛eciu, równonoc porusza si˛e po ekliptyce ruchem wstecznym z jednostajn ˛

szybko´sci ˛

Zmiany współrz˛ednych gwiazdy, powodowane precesj ˛

a luni-solarn ˛

a, s ˛

a wyj ˛

atkowo proste do

opisania w układzie ekliptycznych współrz˛ednych sferycznych. Poniewa˙z zało˙zyli´smy, ˙ze biegun
ekliptyki

jest nieruchomy, st ˛

ad nie mamy ˙zadnych zmian w szeroko´sci ekliptycznej gwiazdy. Z

drugiej strony punkt pocz ˛

atkowy rachuby długo´sci ekliptycznej zostaje przesuni˛ety o

wzdlu˙z

ekliptyki, czyli długo´s´c ekliptyczna gwiazdy zwi˛eksza si˛e o t ˛

a sam ˛

a warto´s´c. Mamy zatem, ˙ze

zmiany współrz˛ednych ekliptycznych z powodu precesji luni-solarnej wynosz ˛

(10.1)

10.3 Precesja luni-solarna

117

Rysunek 10.1: Precesja luni-solarna to ruch ´sredniego bieguna ´swiata

wokół nieruchomego

bieguna ekliptyki

Rysunek 10.2: Zjawiskko precesji bryły ziemskiej mo˙zna opisa´c za za pomoc ˛

a pary sił

;

b˛ed ˛

acej rezultatem grawitacyjnego oddziaływania Sło ´nca i Ksi˛e˙zyca na równikowe wybrzuszenia

Ziemi. Wypadkowy, ´sredni moment składowych tych sił prostopadłych do płaszczyzny równika,
d ˛

a˙zy do ustawienia równika Ziemi w płaszczy´znie ekliptyki.

118

Precesja i nutacja

Zmiany we współrz˛ednych równikowych s ˛

a bardziej zło˙zone. Otrzymamy je rozwa˙zaj ˛

ac trójk ˛

z rysunku 10.1. Z wzoru cosinusów mamy

sin

Poniewa˙z rozwa˙zamy przemieszczanie si˛e bieguna ´swiata z punktu

, to w równaniu

powy˙zej jedynie

s ˛

a zmienne, dlatego ró˙zniczkuj ˛

ac obie strony równania otrzymamy

dÆ

sin

Natomiast stosuj ˛

ac do trójk ˛

ata

wzór sinusów mo˙zemy napisa´c

(10.2)

mo˙zemy zatem wyeliminowa´c współrz˛edne ekliptyczne z poprzednich zale˙zno´sci ró˙zniczkowej, i
w efekcie b˛edzie

dÆ

sin

(10.3)

Zmian˛e w rektascensji otrzymamy ró˙zniczkuj ˛

ac równanie (10.2). Eliminacji sinusów i cosinusów

współrz˛ednych

;

dokona´c mo˙zna wykorzystuj ˛

ac do trójk ˛

ata

stosowny wzór pi˛ecioele-

mentowy i dodatkowo równania (10.1) i (10.3). Dostaniemy

( os

sin

tan

)

(10.4)

Równania (10.3) i (10.4) okre´slaj ˛

a jedynie przybli˙zone precesyjne zmiany w

, dlatego ich

stosowalno´s´c ograniczona jest do interwałów rz˛edu jednego roku.

Roczne tempo precesji L-S mo˙zna wyja´sni´c w kategoriach dynamiki Newtonowskiej z mał ˛

poprawk ˛

a relatywistyczn ˛

a rz˛edu

0:02

, zwan ˛

a precesj ˛

a geodezyjn ˛

a. Z ogólnej teorii wzgl˛ed-

no´sci wynika bowiem, ˙ze inercjalny układ odniesienia w pobli˙zu orbituj ˛

acej Ziemi posiada niewielk ˛

rotacj˛e wzgl˛edem inercjalnego układu heliocentrycznego. Rotacja ta wchodzi do oblicze´n

Warto´s´c

zale˙zy od szeregu parametrów jak: dynamiczna figura Ziemi, nachylenie ekliptyki

do równika, masy oraz elementy orbit Sło ´nca i Ksi˛e˙zyca. W szczególno´sci,

jest wprost propor-

cjonalne do

, a poniewa˙z nachylenie ekliptyki do równika wykazuje drobne zmiany wiekowe

(z powodu precesji planetarnej) w konsekwencji i

zmienia sw ˛

a warto´s´c. Z teorii precesji wynika.

˙ze

50:

3878

0049T

(10.5)

gdzie

to czas w stuleciach od epoki fundamentalnej J2000,

2000)=100

10.4

Precesja planetarna

Planety wywieraj ˛

a zaniedbywalny wpływ na poło˙zenie osi rotacji Ziemi. Jednak˙ze perturbacje od

planet wyra´znie wpływaj ˛

a na heliocentryczn ˛

a orbit˛e Ziemi. Elementy orbity Ziemi zmieniaj ˛

a si˛e

w czasie, w szczególno´sci zmian doznaje poło˙zenie płaszczyzny orbity.

Ekliptyka zdefiniowana jest jako rezultat u´srednienia płaszczyzny orbitalnej barycentrum układu

Ziemia-Ksi˛e˙zyc. Jako taka nie podlega wpływom krótkookresowym, a jedynie wiekowym a
wynikaj ˛

ace z tego zmiany układu odniesienia daj ˛

a si˛e opisa´c jako zmiany precesyjne zwane pre-

cesj ˛

a planetarn ˛

a. I dlatego (z definicji) nie zawieraj ˛

a ˙zadnych członów nutacyjnych.

Rozwa˙zmy sytuacj˛e z rysunku 10.3, tym razem biegun ´swiata

b˛edzie nieruchomy,

b˛ed ˛

a biegunem ekliptyki i równonoc ˛

a w pewnej epoce pocz ˛

atkowej. Niech

;

b˛ed ˛

a analog-

icznymi punktami z epoki o niewielki interwał

pó´zniejszej. ”Star ˛

a” ekliptyk ˛

a jest koło

10.4 Precesja planetarna

119

Rysunek 10.3: Precesja planetarna — ruch bieguna ekliptyki

wzgl˛edem nieruchomego bieguna

´swiata

now ˛

a koło

. Te dwie ekliptyki przecinaj ˛

a si˛e w punktach

, na rysunku 10.3 pokazano

tylko punkt

Ruch ekliptyki mo˙zna przyj ˛

a´c jako powolny obrót płaszczyzny odniesienia wokół osi

Tempo tego ruchu (

na rok) oznaczamy greck ˛

a liter ˛

. A zatem łuk

. Poło˙zenie

osi obrotu

okre´slone jest przez jej długo´s´c ekliptyczn ˛

a (wzgl˛edem ekliptyki pocz ˛

atkowej) i

oznaczane jest przez

. Wobec tego

. Zauwa˙zmy te˙z, ˙ze

s ˛

a biegunami łuku

jaki biegun ekliptyki zakre´sla na sferze niebieskiej.

Precesja planetarna wpływa na (

;

) gwiazd w sposób bardzo prosty. Poniewa˙z punkt

jest

teraz nieruchomy to

dÆ

, równonoc za´s doznaje przesuni˛ecia po łuku

. Długo´s´c tego łuku

wyra˙zona jest w formie iloczynu

, gdzie

zwana jest roczn ˛

a precesj ˛

a planetarn ˛

a. Zatem w

efekcie precesji planetarnej

dÆ

(10.6)

Parametr

daje si˛e wyznaczy´c z trójk ˛

ata sferycznego

z rysunku ?? lub 10.4. Mamy w

nim, ˙ze:

k ˛

at nachylenia ´starej˛ekliptyki do równika

180

d")

Ze wzoru sinusów mamy

sin

sin(

)

sin(

)

sin("

d")

120

Precesja i nutacja

Rysunek 10.4: Powi˛ekszenie trójk ˛

atów

, podpórki do wyprowadzenia wzoru na

oraz

Dla

dostatecznie małego, gdy

sin(

)

sin(

)

oraz

sin

d")

sin

b˛edzie

sin

(10.7)

Wyznaczymy teraz zmian˛e nachylenia ekliptyki do równika. Stosuj ˛

ac do trójk ˛

ata sferycznego

z rysunku 10.4 wzór cztero-elementowy otrzymamy

(

)

sin(

)

sin

d")

a po przemno˙zeniu przez

sin("

d")

sin

d")

(

)

d")

sin

sin(

)

sin("

d")

Stosuj ˛

ac najpierw przybli˙zenia dla małych k ˛

atów

(

)

sin

(

)

, a nast˛epnie

wykorzystaj ˛

ac w lewej stronie równania znan ˛

a to˙zsamo´s´c dotycz ˛

ac ˛

a sinusa sumy dwóch k ˛

atów,

korzystuj ˛

ac jeszcze z równania (10.7) otrzymamy

sin

sin("

d")

sin

a przy zało˙zeniach:

sin

oraz

sin("

d")

sin

b˛edziemy mogli napisa´c

(10.8)

Mo˙zemy teraz, z trójk ˛

ata sferycznego

z rysunku 10.4, wyprowadzi´c wzory na zmiany

współrz˛ednych (

;

) gwiazdy wywołane precesj ˛

a planetarn ˛

a. Zmiany te musz ˛

a by´c wyra˙zone

w postaci ró˙zniczek np.

, zatem potrzeba nam wyra˙zenia postaci

sin

lub

, i

szcz˛e´sliwie, w trójk ˛

acie

ze wzoru cosinusów mamy

sin

Ró˙zniczkuj ˛

ac to równanie dostaniemy

(sin

sin

)d"

sin

Aktualnie "pracujemy"we współrz˛ednych ekliptycznych dlatego trzeba wyeliminowa´c st ˛

ad współ-

rz˛edne równikowe. I tak, za pomoc ˛

a równa´n (10.2) i (10.6) pozbywamy si˛e wyra˙ze´n

a ze wzoru cosinusów zastosowanego do boku (

) w trójk ˛

acie

z rysunku 10.4

usuniemy

sin

wreszcie, pozostaj ˛

ac w trójk ˛

acie

i posługuj ˛

ac si˛e wzorem 5-cio elementowym trygonometrii

sferycznej, wyrugujemy

sin

(90

)

os(90

)

(90

)

sin

sin(90

)

(90

)

10.4 Precesja planetarna

121

czyli

sin

Podstawiaj ˛

ac te wyra˙zenia do równania na

dostaniemy

(sin

sin

)d"

(

)

sin

Po obustronnym podzieleniu przez

, redukcji podobnych wyrazów, zastosowaniu wzoru je-

dynkowego otrzymamy

sin

a korzystaj ˛

ac z równa´n (10.7) i (10.8), po paru przekształceniach przekonamy si˛e, ˙ze

sin(

)

(10.9)

Wyra˙zenie na

, okre´slaj ˛

ace zmiany długo´sci ekliptycznej otrzymamy ró˙zniczkuj ˛

ac równanie

(10.2)

sin

Czynnik

sin

ju˙z wiemy jak wyeliminowa´c, mamy te˙z, ˙ze

. Z kolei (

) mo˙zna

z gracj ˛

a zast ˛

api´c praw ˛

a stron ˛

a równania (10.7), natomiast zamiast

mo˙zemy wzi ˛

a´c praw ˛

a stron˛e

równania (10.9) — zatem, po podstawieniach b˛edzie

sin

(

sin

)

(

sin

)

sin

sin(

)

po wymno˙zeniu wyra˙ze´n w nawiasach, obustronnym podzieleniu przez

sin

, mamy

sin

tan

sin

tan

sin(

)

sin

tan

sin

tan

sin(

)

sin

w kroku nast˛epnym ótwieramy"

sin

(

)

i z pierwszych dwóch składników wył ˛

aczamy przed

nawias

tan

sin

℄

po wył ˛

aczeniu

sin

z dwóch pierwszych wyrazów w nawiasach okr ˛

agłych

tan

sin

122

Precesja i nutacja

czyli

[tan

(sin

sin

)

sin

"℄

a dalej mamy

[tan

(

)

sin

"℄

Ostatecznie, wpływ precesji planetarnej na współrz˛edne ekliptyczne gwiazd wyra˙za si˛e wzorami

tan

(

)

sin(

)

(10.10)

Kieruj ˛

ac si˛e ch˛eci ˛

a uproszczenia rysunku ?? naniesiono na nim k ˛

jako k ˛

at ostry. W rzeczy-

wisto´sci punkt

le˙zy w pobli˙zu punktu równonocy jesiennej i

175

. Łuk

natomiast

le˙zy znacznie bli˙zej południka

. Ró˙znice te nie maj ˛

a jednak wpływu na wyprowadzone wy˙zej

rezultaty. Jedynie zmiany nachylenia ekliptyki do równika s ˛

a inne ni˙z sugeruje rysunek ??. Aktu-

alnie, nachylenie to w miar˛e upływu czasu maleje.

Roczne tempo

precesji planetarnej wyra˙zone jest za pomoc ˛

a parametrów

. Długo´s´c

otrzymuje si˛e metodami mechaniki nieba z bada´n perturbacji ruchu Ziemi przez planety. Oba

parametry nie s ˛

a stałymi absolutnymi. Szybko´s´c

rotacji płaszczyzny ekliptyki wykazuje zmiany

wiekowe. Długo´s´c

oprócz charakterystycznego dla niej przemieszczenia wiekowego z powodu

ruchu punktu równonocy doznaje zmian precesyjnych. Parametr ten wymaga precyzyjniejszej
definicji ani˙zeli podana wy˙zej.

Warto´sci parametrów

oraz

dane s ˛

a wzorami:

174:

8764

9137T

4700

007T

(10.11)

gdzie

— to czas liczony w stuleciach od epoki J2000.

Parametr

(roczna zmiana w rektascensji z powodu precesji planetarnej) oraz

(nachylenie

ekliptyki do równika) z wystarczaj ˛

ac ˛

a dokładno´sci ˛

a daj ˛

a si˛e policzy´c z formuł

1055

0189T

21:

46:

81T

(10.12)

10.5

Precesja ogólna

Podej´scie jakie zastosowano do opisu precesji planetarnej jest nieco sztuczne. Przyj˛eto w nim,

˙ze równik niebieski jest nieruchomy, ignoruj ˛

ac fakt jego ruchu w efekcie precesji luni-solarnej.

Mimo tego takie podej´scie daje po˙zyteczne rezultaty.

Precesja ł ˛

aczna — tzw. precesja ogólna — wynikaj ˛

aca ze zmian poło˙zenia zarówno równika

jak i ekliptyki mo˙ze by´c traktowana jako superpozycja precesji luni-solarnej i planetarnej. Zasada
superpozycji b˛edzie jednak wa˙zna jedynie w niewielkim interwale czasu

Rozwa˙zmy precesj˛e ogóln ˛

a we współrz˛ednych (

;

) gwiazdy. Dodaj ˛

ac równania (10.3) i

(10.4) do równania (10.6) otrzymamy

( os

sin

tan

)

dÆ

sin

a wprowadzaj ˛

ac nowe stałe precesyjne

sin

(10.13)

10.6 ´Scisłe formuły precesji

123

mamy

sin

tan

dÆ

(10.14)

Stałe

nazywane s ˛

a roczn ˛

a perecesj ˛

a w rektascensji i deklinacji, odpowiednio.

Podobnie dla współrz˛ednych (

;

), ł ˛

acz ˛

ac równania (10.1) i (10.10) dostaniemy

tan

(

)

sin

(

)

(10.15)

gdzie

— jest roczn ˛

a tzw. precesj ˛

a ogóln ˛

a (w długo´sci ekliptycznej).

(10.16)

Stałe

nie s ˛

a stałymi absolutnymi bowiem doznaj ˛

a zmian wiekowych. Na podstawie po-

danych wcze´sniej formuł mo˙zna napisa´c, ˙ze

50:

2910

0222T

(10.17)

07496

00186T

33621

00057T

20:

0431

0085T

(10.18)

gdzie

— interwał czasu liczony w stuleciach od epoki J2000.

10.6

´Scisłe formuły precesji

Sprowadzenie rezultatów obserwacji, wykonanych w odległych momentach czasu w ró˙znych układach
odniesienia, do wspólnego układu okre´slonego na ten sam wybrany momentu czasu (epok˛e) wymaga
zastosowania innych formuł ani˙zeli (10.14), (10.15).

Rozwa˙zmy tego typu transformacj˛e dotycz ˛

ac ˛

a współrz˛ednych równikowych gwiazdy z pewnej

epoki

i epoki standardowej

Na rysunku 10.5, punkty

oznaczaj ˛

a biegun niebieski i

punkt równonocy z epoki

. Równik dla tej epoki jest kołem wielkim

;

. Gwiazda

w epoce

współrz˛edne (

;

Niech

jest poło˙zeniem bieguna niebieskiego w epoce

. Łuk

, jest łukiem koła

wielkiego, ale

nie

reprezentuje on trajektorii po jakiej przesuwał si˛e biegun

, łuk ten jedynie

jest jej do´s´c bliski.

Ruch bieguna

, kierunek ruchu, przynajmniej na pocz ˛

atku odbywał si˛e wzdłu˙z koła wiel-

kiego

. W konsekwencji k ˛

b˛edzie małym k ˛

atem, d ˛

a˙z ˛

acym do zera gdy ró˙znica

(

) d ˛

a˙zy do zera. Oznaczamy ten k ˛

at przez

W epoce pocz ˛

atkowej rektascensja

, a wi˛ec w trójk ˛

acie

mamy, ˙ze

oraz

Niech teraz

b˛edzie równikiem w epoce

, punkt

jest now ˛

a równonoc ˛

a. Z przyczyn,

dla których k ˛

uwa˙za´c mo˙zna za mały, k ˛

b˛edzie bliski

180

. Mamy zatem, ˙ze

180

Na rysunku 10.5 mamy, ˙ze oba k ˛

aty

;

— s ˛

a to małe k ˛

aty dodatnie, a w interwale czasu

) s ˛

a one identyczne co do rz˛edu pierwszego.

Oznaczmy przez (

;

) współrz˛edne gwiazdy

wzgl˛edem nowego równika i równonocy.

Mamy

, co poci ˛

aga

180

(

)

oraz

Ustalili´smy zatem pi˛e´c elementów trójk ˛

ata sferycznego

Epoki mog ˛

a by´c dowolne, jako standardowe wybrano epoki 1950.0, J2000.0.

124

Precesja i nutacja

Rysunek 10.5: Wpływ precesji na współrz˛edne równikowe mo˙zna obliczy´c za pomoc ˛

a k ˛

atów

Newcomba-Andoyera

;

definiuj˛ecych wzajemn ˛

a orientacj˛e układów współrz˛ednych

okre´slonych za pomoc ˛

a biegunów

180

(

)

Mo˙zemy teraz powi ˛

aza´c ze sob ˛

a współrz˛edne (

;

) z epoki

ze współrz˛ednymi (

;

) z epoki

. W wyprowadzonych formułach b˛ed ˛

a tkwiły parametry k ˛

atowe

;

. I tak za pomoc ˛

trygonometrii sferycznej, słynnego ju˙z wzoru 5-cio elementowego, wzoru sinusów i wzoru cosi-
nusów, odpowiednio, mamy

(

)

(

)

sin

sin(

)

sin(

)

sin

(

)

sin

(10.19)

albo wzory odwrotne

(

)

os(

)

sin

sin(

)

sin(

)

sin

(

)

sin

(10.20)

Wzory (10.19) i (10.20) s ˛

a ´scisłe, nie dokonali´smy w trakcie ich wyprowadzania ˙zadnych zało˙ze´n

upraszczaj ˛

acych. Oczywi´scie by je zastosowa´c, konieczna jest znajomo´s´c k ˛

atów

;

, te

za´s mo˙zna uzyska´c z teorii precesji ziemskiej osi obrotu. W praktyce s ˛

a one obliczone za po-

moc ˛

a szeregów pot˛egowych interwału czasu

), o wyrazach do trzeciego rz˛edu wł ˛

acznie.

10.7 Precesyjna macierz obrotu

125

Współczynniki szeregów ró˙zni ˛

a si˛e nieco od epoki do epoki. Dla epoki J2000 mamy formuły

6406161T

0000839T

0000050T

6406161T

0003041T

0000051T

5567530T

0001185T

0000116T

(10.21)

gdzie

jest interwałem (

) wyra˙zonym w stuleciach julia´nskich (przypomnijmy, ˙ze stulecie

julia´nskie liczy 36525 dni).

K ˛

aty precesyjne

;

definiuj ˛

a w pełni poło˙zenie bieguna

i punkt równonocy

wzgl˛e-

dem ich poło˙ze´n pocz ˛

atkowych, i mo˙zna z ich pomoc ˛

a obliczy´c zmiany precesyjne współrz˛ednych

równikowych

gwiazd. Ale znajomo´s´c tych k ˛

atów nie wystarcza do wyznaczenia odpowiednich

zmian we współrz˛ednych ekliptycznych.

Na rysunku 10.5, w epoce

, biegun ekliptyki

le˙zy na kole wielkim

prostopadłym

do koła

. Podobnie mo˙zna powiedzie´c o biegunie

, ale nic wi˛ecej. Aby okre´sli´c poło˙zenie

bieguna ekliptyki dokładnie, trzeba zna´c nachylenie ekliptyki do równika. Podamy tu od razu, za
teori ˛

a precesji, ˙ze nachylenie ekliptyki do równika wynosi

21:

448

46:

815T

001T

002T

(10.22)

gdzie

— interwał w julia´nskich stuleciach od epoki J2000.

Współrz˛edne ekliptyczne (

;

) na epok˛e

mo˙zna wi˛ec obliczy´c ze współrz˛ednych (

;

)

dokonuj ˛

ac odpowiedniej transformacji obrotu o k ˛

dany równaniem (10.22).

10.7

Precesyjna macierz obrotu

Wzory (10.19), (10.20) daj ˛

a si˛e zgrabnie zast ˛

api´c prostszymi formułami wyra˙zonymi w formal-

i´zmie wektorowym. Wówczas transformacje pomi˛edzy ró˙znymi układami współrz˛ednych sprowadzaj ˛

si˛e do transformacji obrotu, do operacji macierzowych na wektorach poło˙ze´n gwiazd.

Niech

b˛edzie wersorem kierunku gwiazdy o składowych wyznaczonych w układzie współ-

rz˛ednych prostok ˛

atnych równikowych. Osie tego układu okre´slone s ˛

a za pomoc ˛

a punktu równo-

nocy i płaszczyzny równika w pewnej epoce

. Mamy zatem

sin

(10.23)

Podobnie b˛edzie dla innej epoki

, kierunek do tej samej gwiazdy podany jest wówczas wersorem

sin

(10.24)

Transformacj˛e dan ˛

a równaniami (10.19) mo˙zna zmodyfikowa´c za pomoc ˛

a wyra˙ze´n (10.23) i (10.24).

W tym celu przepisujemy ostatni ˛

a formuł˛e kompletu (10.19) na składow ˛

(przy okazji otwier-

amy

(

)

) w postaci

sin

( os

sin

)

sin

a korzystaj ˛

ac z równa´n (10.23)

sin

(10.25)

126

Precesja i nutacja

W celu napisania odpowiednich wyra˙ze´n na

trzeba pokombinowa´c pierwsze dwa z równa´n

(10.19). Zauwa˙zaj ˛

ac, ˙ze

(

)

sin(

)

sin

(

)

sin

sin(

)

Wprowadzaj ˛

ac tu odpowiednie prawe strony rowna´n (10.19), np. do równania na współrz˛edn ˛

[ os

(

)

sin

℄

sin

(

)

sin

[ os

sin

℄

[

sin

℄

sin

Podobny zwi ˛

azek mo˙zemy uzyska´c dla składowej

. Po skorzystaniu z równa´n (10.23) i dalej po

drobnych przekształceniach mamy

( os

sin

)

(sin

sin

)

sin

(10.26)

( os

sin

)

(

sin

)

sin

Równania (10.25) i (10.26) mo˙zna wyrazi´c bardziej elegancko w notacji macierzowej. W tym
celu, zauwa˙zaj ˛

ac, ˙ze współczynniki przy

;

s ˛

a cosinusami kierunkowymi osi nowego układu

wzgl˛edem starego, oraz wprowadzaj ˛

ac w miejsce (

;

) oznaczenia (

;

) równania (10.25)

i (10.26) mo˙zna zwi˛e´zle napisa´c jako

(10.27)

gdzie

, natomiast współczynniki

s ˛

a okre´slone wyra˙zeniami

sin

(10.28)

Grupuj ˛

ac elementy

w macierz

, transformacja (10.27) mo˙ze otrzyma´c posta´c

(10.29)

gdzie

nosi miano macierzy precesji.

Transformacja (10.29) jest superpozycj ˛

a trzech transformacji obrotu. Mianowicie, na rysunku

10.5 mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze dokonuj ˛

ac obrotu:

wokół pocz ˛

atkowej osi

o k ˛

wokół powstałej osi

o k ˛

wokół powstałej osi

o k ˛

Faktycznie łatwo to zauwa˙zy´c, ale o wiele łatwiej to sprawdzi´c otwieraj ˛

ac kosinusy i sinusy ró˙znicy dwóch k ˛

atów.

10.8 Nutacja

127

wówczas biegun

przejdzie w biegun

, punkt

w punkt

. Czyli mo˙zemy napisa´c

)q(

)r(

)

gdzie

s ˛

a macierzami obrotu wokół osi

i osi

odpowiednio.

Transformacja odwrotna do (10.29) ma posta´c

(10.30)

Wobec ortogonalno´sci macierzy obrotu

mamy

)q(

)r(z

)

a wi˛ec

(10.31)

10.8

Nutacja

Nie b˛edziemy zajmowali si˛e dynamiczn ˛

a teori ˛

a precesji i nutacji. S ˛

a to bardzo zło˙zone teorie

wykraczaj ˛

ace poza ramy naszego wykładu. Podamy jednak pewne u˙zyteczne komentarze ilustru-

j ˛

ace podstawowe aspekty zagadnienia.

Wiemy ju˙z, ˙ze rzeczywisty ruch bieguna ´swiata po sferze niebieskiej jest bardzo zło˙zony. Z

tego te˙z wzgl˛edu rozdzielono go na precesj˛e luni-solarn ˛

a i nutacj˛e. Nutacja obejmuje wszystkie

okresowe składowe zmian w poło˙zeniu prawdziwego bieguna wzgl˛edem jego poło˙zenia ´sredniego.

Wiemy, ˙ze przyczyn ˛

a precesji i nutacji jest moment skr˛ecaj ˛

acy pary sił (patrz rysunek 10.2)

usiłuj ˛

acy ustawi´c płaszczyzn˛e równika ziemskiego w płaszczy´znie ekliptyki, wiemy te˙z, ˙ze główn ˛

przyczyn ˛

a tego zjawiska s ˛

a grawitacyjne oddziaływania pomi˛edzy Ziemi ˛

a, Ksi˛e˙zycem i Sło ´ncem.

Precsja L-S to regularny ruch ´sredniego bieguna ´swiata wokół nieruchomego bieguna ekliptyki.
Sk ˛

ad bior ˛

a si˛e wyrazy nutacyjne? Rozwa˙zmy najpierw moment skr˛ecaj ˛

acy pary sił pochodz ˛

acy

od Sło ´nca działaj ˛

acy na o´s obrotu Ziemi w chwili gdy Sło ´nce znajduje si˛e w poło˙zeniu (

;

Z teorii wirowania doskonale sztywnej Ziemi wiadomo nam, ˙ze wielko´s´c momentu skr˛ecaj ˛

acego

okazuje si˛e by´c proporcjonalna do

sin

2Æ

. Skoro tak, to moment ten ma charakter okresowy i np.

w warunkach równonocy znika.

Skr˛ecaj ˛

acy moment sił mo˙zna wyobrazi´c sobie jako wektor

, który z powodu symetrii rozwa˙zanego

zagadnienia jest prostopadły do linii Ziemia-Sło ´nce oraz do chwilowej osi obrotu Ziemi. A wi˛ec
wektor

le˙zy w płaszczy´znie równika i jest skierowany ku punktowi o rektascensji

. Jego

składowe w układzie współrz˛ednych równikowych okre´slone s ˛

a z pomoc ˛

a zwi ˛

azku

sin

2Æ

[ os

(

);

sin

(

);

0℄

gdzie

oznacza stał ˛

a. A zatem

sin

[sin

;

0℄

(10.32)

Składowe wektora

wyrazimy we współrz˛ednych ekliptycznych. Na rysunku 10.6 narysowano

równik, ekliptyk˛e oraz orbit˛e Ksi˛e˙zyca; punkt

jest w˛ezłem wst˛epuj ˛

acym orbity Ksi˛e˙zyca na

ekliptyce, punkt

jest w˛ezłem wst˛epuj ˛

acym tej orbity na równiku. Oznaczmy

. Dalej, niech punkt

oznacza poło˙zenie Sło ´nca. Zaniedbuj ˛

ac eliptyczno´s´c

orbity Ziemi mo˙zemy podstawi´c

, gdzie L — oznacza ´sredni ˛

a długo´s´c Sło ´nca

Poniewa˙z szeroko´s´c ekliptyczna Sło ´nca wynosi zero (w przybli˙zeniu oczywi´scie), standardowe

Mimo wszystko przypomnijmy, ˙ze długo´s´c planety

, gdzie

to anomalia ´srednia.

128

Precesja i nutacja

Rysunek 10.6: Rysunek pomocniczy do dyskusji przyczyn powstawania nutacji bieguna ´swiata.

zwi ˛

azki pomi˛edzy współrz˛ednymi

(

;

)

i (

;

) przyjmuj ˛

a posta´c

sin

(10.33)

Kład ˛

ac te zwi ˛

azki do (10.32) dostaniemy

sin

"[sin

0℄

a dalej

sin

"[ os

"(1

);

sin

;

0℄

(10.34)

Wektor momentu p˛edu ruchu wirowego Ziemi jest skierowany ku punktowi

, czyli ku biegunowi

´swiata (rysunek 10.6). Jak powiedziano wcze´sniej, moment skr˛ecaj ˛

acy

jest prostopadły do

kierunku chwilowej osi obrotu Ziemi i dlatego nie mo˙ze zmieni´c długo´sci wektora momentu p˛edu
Ziemi. Mo˙ze jednak zmieni´c jego kierunek, a wi˛ec poło˙zenie bieguna

Aby móc dyskutowa´c zmiany tego poło˙zenia, czyli ´sledzi´c ruch bieguna

, dobrym poci ˛

agni˛e-

ciem jest posłu˙zenie si˛e układem współrz˛ednych okre´slonym w oparciu o jakie´s wybrane, ustalone
poło˙zenie bieguna. Niech zatem wersor

s(x;

;

)

b˛edzie okre´slał poło˙zenie bieguna na sferze,

wzgl˛edem osi równikowych, okre´slonych za pomoc ˛

a ´sredniego bieguna i ´sredniej równonocy z

epoki pocz ˛

atkowej, takiej kiedy to długo´s´c Sło ´nca

. Wówczas, jako ˙ze mamy do czynienia

z drobnymi ruchami, składowe wektora

b˛ed ˛

a proporcjonalne do (

dx=dt;

=dt;

), czyli

sin

"[1

℄

tan

sin

℄

albo

sin

0:5

sin

10.8 Nutacja

129

gdzie

jest stał ˛

a zale˙zn ˛

a od wielko´sci wirowego momentu p˛edu ´sredniego momentu

skr˛ecaj ˛

acego i nachylenia ekliptyki do równika.

Po scałkowaniu wszystkich składowych mamy, ˙ze po upływie czasu

od momentu odpowiada-

j ˛

acego poło˙zeniu pocz ˛

atkowemu, współrz˛edne bieguna w przybli˙zeniu wynosz ˛

0:5

sin

0:5

tan

(10.35)

Wyra˙zenie

jest przemieszczeniem bieguna w długo´sci,

natomiast opisuje przyrost w

nachyleniu ekliptyki do równika. W równaniu (10.35) mo˙zna wyró˙zni´c ró˙zne człony, liniowy
ze wzgl˛edu na czas wyraz

stanowi ˛

acy przyczynek od precesji słonecznej (stanowi on około 1/3

wpływu) oraz dwa wyrazy nutacyjne, jeden w długo´sci, drugi w nachyleniu. Oba człony nuta-
cyjne maj ˛

a okres półroczny. Je´sli czas

wyrazimy w latach to pochodna

dL=dt

i wówczas

równanie (10.35) wi ˛

a˙ze amplitudy wyrazów nutacyjnych z tempem precesji słonecznej.

W równaniu (10.35) mogłyby si˛e pojawi´c dalsze wyrazy pochodzenia czysto słonecznego.

Pojawi ˛

a si˛e one je´sli do odpowiednich formuł wprowadzimy roczne zmiany odległo´sci Ziemi

od Sło ´nca, czyli po uwzgl˛ednieniu mimo´srodu orbity Ziemi np. do wyrazów rz˛edu pierwszego.
Wówczas w wyniku sprz˛e˙ze´n z wyrazem precesyjnym powstan ˛

a nowe wyrazy nutacyjne o okresie

jednego roku. A wskutek sprz˛e˙ze´n z istniej ˛

acymi ju˙z członami nutacyjnymi, powstan ˛

a dodatkowe

dwa człony nutacyjne o okresach roku i czterech miesi˛ecy, itd.

Podobnych rozwa˙za´n mo˙zna dokona´c dla Ksi˛e˙zyca. Korzystaj ˛

ac z rezultatów uzyskanych w

przypadku Sło ´nca, wektor

— czyli moment skr˛ecaj ˛

acy pochodz ˛

acy od Ksi˛e˙zyca wyra˙za si˛e

formuł ˛

sin

[ os

);

sin

;

0℄

(10.36)

gdzie

nachylenie orbity Ksi˛e˙zyca do równika,

jest k ˛

atow ˛

a odległo´sci ˛

a Ksi˛e˙zyca od punktu

, patrz rysunek 10.6.

Równanie (10.36) okre´sla składowe momentu sił pochodz ˛

acych od Ksi˛e˙zyca w układzie zwi ˛

azanym

z płaszczyzn ˛

a orbity Ksi˛e˙zyca. St ˛

ad zauwa˙zmy, ˙ze układ współrz˛ednych (

;

) w jakim

wyra˙zono składowe wektora

, nie jest standardowym układem równikowym. Wprawdzie o´s

tego układu jest skierowana na biegun ale o´s

skierowana jest do punktu

a nie do punktu

równonocy

Dla równania (10.36) mo˙zemy przeprowadzi´c analogiczn ˛

a dyskusj˛e jak dla równania (10.34).

Czyli po jego scałkowaniu, w rozwi ˛

azaniu zauwa˙zymy obecno´s´c członu quasi-precesyjnego oraz

dwóch członów nutacyjnych o okresie wynosz ˛

acym połow˛e miesi ˛

aca ksi˛e˙zycowego, około 14 dni.

Nie b˛ed ˛

a to jak by si˛e mogło wydawa´c, najwi˛eksze wyrazy nutacyjne. S ˛

a one miejsze od głównych

wyrazów słonecznych, mimo i˙z

. Przyczyn ˛

a jest czynnik ksi˛e˙zycowy

(dL

=dt)

(po-

jawia si˛e on w rezultacie całkowania), który jest blisko 12 razy mniejszy od jego słonecznego
odpowiednika.

Okazuje si˛e, ˙ze główne wyrazy nutacyjne ruchu bieguna ´swiata tkwi ˛

a w tym co okre´slono

wy˙zej jako człon quasi-precesyjny. Wyja´snimy to nieco szerzej. Na rysunku 10.6, w˛ezeł

´sredniej orbity Ksi˛e˙zyca porusza si˛e po ekliptyce ruchem wstecznym z okresem 18.6 lat. Dlat-
ego kierunek osi

, (punkt

), nie jest stały, oscyluje wokół jakiego´s kierunku ´sredniego. Ale

poniewa˙z nachylenie

orbity ksi˛e˙zyca do ekliptyki jest niedu˙ze, niedu˙zy b˛edzie zakres tych os-

cylacji. W konsekwencji, cz˛e´s´c składowej

— quasi-precesyjny człon

sin

w momencie

skr˛ecaj ˛

acym

wykazuje zmiany zarówno co do wielko´sci jak i kierunku. Wzgl˛edem osi standar-

dowego układu odniesienia składowe tego członu okre´slone s ˛

a zwi ˛

azkami

0:5

sin

( os

;

sin

;

(10.37)

Oszacujemy te składowe z dokładno´sci ˛

a do wyrazów pierwszego rz˛edu k ˛

ata nachylenia

. W

130

Precesja i nutacja

trójk ˛

acie sferycznym

( rys. 10.6) ze wzoru sinusów wynika

sin

(10.38)

Wobec niewielkiego nachylenia płaszczyzny orbity Ksi˛e˙zyca przyjmujemy, ˙ze

oraz

, dlatego z wystarczaj ˛

ac ˛

a dokładno´sci ˛

a b˛edzie

sin

(10.39)

Ze wzoru czterocz˛e´sciowego trygonometrii sferycznej (patrz formuła na rysunku 10.4) mo˙zna
otrzyma´c

sin

Wykorzystuj ˛

ac (10.38) i przybli˙zenie

mamy

sin

a z dokładno´sci ˛

a do wyrazów pierwszego rz˛edu

(10.40)

Kład ˛

ac otrzymane wyra˙zenia na

oraz

do równania (10.37) otrzymamy

0:5

sin

[2("

)℄

[1;

sin

0℄

sin

)

[1;

sin

0℄

[(sin

)

sin

))

( os

)

sin

))℄

[1;

sin

0℄

Poniewa˙z

jest wielko´sci ˛

a mał ˛

a pierwszego rz˛edu, mo˙zemy poło˙zy´c

)

oraz

sin

)

. Odrzucaj ˛

ac jeszcze wyrazy drugiego rz˛edu ze wzgl˛edu na

)

uzyskamy

(sin

2")

[1;

sin

0℄

Dalej, po drobnych przekształceniach, ponownym odrzuceniu wyrazów małych dostaniemy

[sin

2";

sin

0℄

(10.41)

Całkuj ˛

ac to równanie otrzymamy wyra˙zennia na składowe przemieszczenia bieguna wzgl˛edem

jego poło˙zenia pocz ˛

atkowego, kiedy to

sin

(10.42)

gdzie

jest stał ˛

a tak dobran ˛

a by reprezentowała wyraz precesyjny w długo´sci. Składowe te

wyra˙zone s ˛

a w układzie współrz˛ednych o osiach zorientowanych zgodnie z osiami układu równi-

kowego.

Podobnie jak to było dla Sło ´nca, w równaniu (10.42) mo˙zna zidentyfikowa´c ksi˛e˙zycowy człon

precesyjny jak i ksi˛e˙zycowe wyrazy nutacjne w długo´sci i nachyleniu, ale tutaj maj ˛

a one okresy

10.9 Wpływ nutacji na współrz˛edne gwiazd

131

18.6 lat. S ˛

a to najwi˛eksze człony nutacyjne, około 10 razy wi˛eksze od 6-cio miesi˛ecznych członów

słonecznych, które je´sli chodzi o wielko´s´c s ˛

a zaraz na drugim miejscu.

Ko ´nczymy dyskusj˛e przebiegu zjawiska nutacji, to co powiedziano wy˙zej miało na celu ukazanie

w jaki sposób powstaj ˛

a najwa˙zniejsze człony precesyjne i nutacyjne. Pełna teoria precesji i nutacji

jest bardzo skomplikowana i wykracza poza ramy podstawowego kursu astronomii sferycznej.

Jeszcze nie tak dawno teoria nutacji oparta była na modelu sztywnej Ziemi. Równania (10.35)

i (10.42) odpowiadaj ˛

a takiemu wła´snie podej´sciu. W roku 1980 opublikowano now ˛

a teori˛e nu-

tacji, któr ˛

a w dwa lata pó´zniej zaaprobowała MUA. Teoria ta oparta jest na bardziej realistycznym

modelu Ziemi, modelu elastycznym osiowo niesymetrycznym. Jest to tzw. pełna teoria nutacji
zawieraj ˛

aca po 106 wyrazów zarówno w długo´sci jak i w nachyleniu. W tej teorii przemieszcze-

nie bieguna ´swiata w długo´sci oznaczone zostało jako

, przemieszczenie prostopadłe do niego

przez

. Przemieszczenia te nazwano nutacj ˛

a w długo´sci i nutacj ˛

a w nachyleniu, odpowiednio.

W naszej poprzedniej notacji odpowiadaj ˛

a one składowym

Pełna teoria nutacji podaje formuły na

w formie szeregów postaci

106

sin

)

106

)

(10.43)

gdzie

;

s ˛

a liczbami całkowitymi,

;

to współczynniki amplitudowe poszczegól-

nych członów nutacyjnych podane w formie tabel (patrz [18]), natomiast

to ´srednia długo´s´c Ksi˛e˙zyca minus ´srednia długo´s´c perigeum orbity Ksi˛e˙zyca,

to ´srednia długo´s´c Sło ´nca minus ´srednia długo´s´c preigeum orbity Sło ´nca,

jest sredni ˛

a długo´sci ˛

a Ksie˙zyca pomniejszon ˛

a o ´sredni ˛

a długo´s´c w˛ezła orbity Ksi˛e˙zyca,

jest ´sredni ˛

a długo´sci ˛

a Ksi˛e˙zyca minus ´srednia długo´s´c Sło ´nca, czyli ´sredni ˛

a elongacj ˛

Ksi˛e˙zyca od Sło ´nca,

to długo´s´c ´sredniego wst˛epuj ˛

acego w˛ezła orbity Ksi˛e˙zyca na ekliptyce mierzon ˛

a od punktu

równonocy daty.

Wszystkie parametry

;

zmieniaj ˛

a si˛e w czasie.

W teorii z 1980 roku główne człony nutacyjne dyskutowane w tym rozdziale dane s ˛

a for-

mułami :

17:

1996

sin

3187

sin

(2F

2 )

2274

sin

(2F

2 )

2062

sin

(2 )

2025

5736

(2F

2 )

0977

(2F

2 )

0895

(2 )

(10.44)

Współczynniki

17:

1996

oraz

2025

, niekiedy nazywane s ˛

stałymi nutacji

. Warto´sci ich

jak i pozostałych współczynników w równaniu (10.44) odpowiadaj ˛

a epoce J2000.0 .

Niekiedy wygodnym jest podział na długo i krótkookresowe człony nutacyjne. Wyrazy długo-

okresowe s ˛

a to wyrazy niezale˙zne od ´sredniej długo´sci Ksi˛e˙zyca, wszystkie te wyrazy maj ˛

a okresy

wi˛eksze od 90 dni. Po´sród wyrazów krótkookresowych nie ma ani jednego o okresie przekracza-
j ˛

acym 35 dni. Zsumowane wyrazy krótkookresowe oznaczane s ˛

a przez

10.9

Wpływ nutacji na współrz˛edne gwiazd

Na rysunku 10.7a punkt

reprezentuje ´sredni biegun ´swiata,

biegun prawdziwy, przesuni˛ety

wzgl˛edem

jedynie o k ˛

jest biegunem ekliptyki,

oznacza poło˙zenie gwiazdy o współ-

rz˛ednych (

;

) lub (

;

) w pewnym momencie czasu JD. Na rysunku 10.7a oznaczono wszys-

tkie znane elemetny trójk ˛

ata sferycznego

. Zwró´cmy jeszcze uwag˛e na pewne dodatkowe

szczegóły rysunku 10.7a, mianowicie, biegun

to biegun ekliptyki pewnej daty JD, jego k ˛

atow ˛

132

Precesja i nutacja

Rysunek 10.7: Rysunek pomocniczy do dyskusji wpływu nutacji na współrz˛edne ciał niebieskich.
a) nutacja wył ˛

acznie w nachyleniu. b) nutacja w długo´sci i nachyleniu.

odległo´s´c od ´sredniego bieguna ´swiata tej˙ze daty oznaczono przez

— tzw. ´srednie nachylenie

ekliptyki do ´sredniego równika daty. St ˛

ad w dalszym toku wykładu k ˛

oznancza prawdziwe

nachylenie ekliptyki do prawdziwego równika na moment JD. Wielko´sci te dane s ˛

a formułami

[18]

21:

448

46:

8150

00059

001813

2451545:0)=36525

W przypadku współrz˛ednych ekliptycznych wpływy nutacyjne przejawiaj ˛

a si˛e bardzo prosto: do

poprawionej na precesj˛e luni-solarn ˛

a długo´sci ekliptycznej nale˙zy doda´c

— nutacj˛e w dłu-

go´sci, szeroko´s´c ekliptyczna nie ulega z powodu nutacji ˙zadnym zmianom. Inaczej ma si˛e rzecz w
przypadku współrz˛ednych równikowych. Wpływ

mo˙zna wydedukowa´c natychmiast z równa´n

(10.3) i (10.4), mianowicie

( os

sin

tan

)

dÆ

sin

(10.45)

Wpływem

— nutacji w nachyleniu musimy zaj ˛

a´c si˛e dodatkowo. Rozwa˙zymy go tak jak

to pokazano na rysunku 10.7a, kiedy to ´sredni biegun

został przemieszczony do punktu

jedynie o k ˛

. Przemieszczenie bieguna z

nie wpływa na bok

ani na k ˛

zatem oznacza to brak wpływu tego przemieszczenia na współrz˛edne ekliptyczne. Zmiany k ˛

ata

wpływaj ˛

a jednak na współrz˛edne równikowe gwiazdy. Z trójk ˛

ata sferycznego

, ze wzoru

cosinusów b˛edzie, ˙ze

sin

(10.46)

Obliczaj ˛

ac ró˙zniczki tego równania (

;

s ˛

a niezmienne) mamy

dÆ

(

sin

)

gdzie celowo ró˙zniczk˛e

zast ˛

apiono przyrostem

. Wyra˙zenie w nawiasie daje si˛e wyelimi-

nowa´c za pomoc ˛

a 5-cio elementowego wzoru trygonometrii sferycznej, z którego wynika, ˙ze

sin

(10.47)

10.9 Wpływ nutacji na współrz˛edne gwiazd

133

i st ˛

dÆ

sin

Wzór sinusów zastosowany do trójk ˛

ata

daje zwi ˛

azek na rektascensj˛e

(10.48)

Po jego zró˙zniczkowaniu dostaniemy

sin

dÆ

Kład ˛

ac tu formuł˛e na

dÆ

otrzymamy wyra˙zenie na przyrost w rektascensji. Ł ˛

aczny rezultat wpływu

nutacji w nachylemiu

na współrz˛edne równikowe, ma posta´c

tan

dÆ

sin

(10.49)

Wzory (10.45) i (10.49) s ˛

a wzorami pierwszego rz˛edu, ale poniewa˙z k ˛

aty nutacyjne s ˛

a niewielkie,

mo˙zna wykorzystywa´c je niemal we wszystkich przypadkach. Całkowity wpływ nutacji mo˙zna
bra´c jako prost ˛

a superpozycj˛e tych dwóch zestawów wzorów.

We współczesnej praktyce wpływy nutacji najcz˛e´sciej uwzgl˛ednia si˛e w formali´zmie macier-

zowym. Niech

(x;

;

)

b˛edzie wersorem kierunku do gwiazdy, okre´slonym wzgl˛edem kartez-

ja´nskich osi zdefiniowanych za pomoc ˛

a ´sredniego bieguna i ´sredniej równonocy na dan ˛

a dat˛e JD.

Składowe tego wersora okre´slone s ˛

a za pomoc ˛

a równania (10.24), dla wygody przepisanego pni˙zej

sin

Niech

b˛edzie wersorem tego samego kierunku, ale okre´slonym w oparciu o prawdziwy równik

i prwdziwy punkt równonocy na dan ˛

a dat˛e JD. Na rysunku 10.7b łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze transfor-

macja składowych wersora

okre´slonych wzgl˛edem ´sredniego układu współrz˛ednych do układu

prawdziwego, wymaga zło˙zenia trzech transformacji obrotu. Mianowicie:

obrotu wokół osi

układu równikowego ´sredniego o k ˛

, przechodzimy wówczas do

´sredniego układu ekliptycznego daty JD,

nast˛epnie obrotu wokół osi

´sredniego układu ekliptycznego o k ˛

at (

), jeste´smy wówczas

w prawdziwym układzie ekliptycznym daty JD,

obrotu wokół osi

prawdziwego układu ekliptycznego o k ˛

at (

), co daje nam prawdziwe

współrz˛edne równikowe — czyli składowe wersora

na dat˛e JD.

Zatem powi ˛

azania wersorów

mo˙zna dokona´c za pomoc ˛

a rachunku macierzowego

(10.50)

gdzie

")r(

)p("

)

(10.51)

lub

;

sin

;

sin

;

sin

;

sin

134

Precesja i nutacja

10.10

Ł ˛

aczny wpływ precesji i nutacji w formali´zmie macier-

zowym

W notacji macierzowej mo˙zemy napisa´c wyra˙zenie uwzgl˛edniaj ˛

ace ł ˛

aczny wpływ precesji i nu-

tacji. Niech

b˛edzie wersorem poło˙zenia gwiazdy wzgl˛edem ´sredniego równika i równonocy z

pewnej epoki standardowej, np. J1950.0. Wówczas wersor poło˙zenia gwiazdy wzgl˛edem ´sred-
niego układu daty JD, uzyskamy za pomoc ˛

a formuły (10.29) jako

gdzie

jest precesyjn ˛

a macierz ˛

a obrotu. Współrz˛edne prawdziwe tej gwiazdy na dat˛e JD dostaniemy

za pomoc ˛

a równania (10.50), a wi˛ec

(NP )

(10.52)

Macierz

jest tak˙ze macierz ˛

a obrotu pozwalaj ˛

ac ˛

a na jednoczesne uwzgl˛ednienie precesji

i nutacji. Jej elementy publikowane s ˛

a w corocznych wydaniach niektórych roczników astrono-

micznych.

Transformacja odwrotna, od współrz˛ednych prawdziwy daty JD do współrz˛ednych ´srednich

daty JD, otrzymamy bez trudu z równania (10.52) działaj ˛

ac na obie jego strony, lewostronnie,

macierz ˛

a odwrotn ˛

(10.53)

A szcz˛e´sliwie, wobec ortogonalno´sci macierzy obrotu mamy

(NP)

)q(

)r(z

)

)r(

)p(")

(10.54)

10.11

Zadanka na ´cwiczenia

1. Gwiazda Polarna ma współrz˛edne

15:

54:

89:

na epok˛e J1984.5.

Stosuj ˛

ac wzory pierwszego rz˛edu oblicz współrz˛edne tej gwiazdy na epok˛e J1985.0 .

2. Poka˙z, ˙ze dla krótkich interwałów czasu

mo˙zna przyj ˛

a´c, ˙ze

3. Oblicz k ˛

aty precesyjne

;

w celu transformacji współrz˛ednych od epoki standard-

owej J2000.0 do epoki J1985.0.

4. Poka˙z, ˙ze wszystkie pozadiagonalne elementy precesyjnej macierzy obrotu s ˛

a małe, diago-

nalne natomiast s ˛

a bliskie jedno´sci. Udowodnij, ˙ze

sin

(

=2)

sin(

)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Astronomia wykl 4 precesja nutacja ruch bieguna pozorne materialy
10 Metody otrzymywania zwierzat transgenicznychid 10950 ppt
10 dźwigniaid 10541 ppt
wyklad 10 MNE
Kosci, kregoslup 28[1][1][1] 10 06 dla studentow
10 budowa i rozwój OUN
10 Hist BNid 10866 ppt
POKREWIEŃSTWO I INBRED 22 4 10
Prezentacja JMichalska PSP w obliczu zagrozen cywilizacyjn 10 2007
Mat 10 Ceramika

więcej podobnych podstron