www.zadania-projekty.pl

 

POTĘGOWANIE 
a

m

 · a

n

 = a

m+n 

a

m

 : a

n

 = a

m-n

 (dla m>n ^ a0) 

(a

m

)

n

 = a

mn

 

(ab)

n

 = a

n

b

n

 

(a/b)

n

 = a

n

/b

n

 (dla b0) 

a

0

=1 

a

a

a

a

a

a

a

a

n

m
n

n

m
n

n

n

n

n

m

m

1

1

1

1















(

)

(

)

 

WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA 
(a+b)

2

 = a

2

+2ab+b

2

 

(a-b)

2 

= a

2

-2ab+b

2

 

(a+b)

3

 = a

3

+3a

2

b+3ab

2

+b

3

 

(a-b)

3

 = a

3

-3a

2

b+3ab

2

-b

3

 

a

2

-b

2 

= (a-b)(a+b) 

a

3

-b

3

 = (a-b)(a

2

+ab+b

2

) 

a

3

+b

3

 = (a+b)(a

2

-ab+b

2

) 

 

PIERWIASTKOWANIE

 

ab

a

b

a

a

a

b

a

b

a

a

n

n

n

m

n

n

m

n

n

n

m

n

mn











(

)

 

WARTsOŚĆ BEZWZGLĘDNA 

x

x

x

x

gdy

x

gdy

x

x

2

0

0

















 

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ 
BEZWZGLĘDNĄ 
Równanie: x-a= b, oznacza, że 
 x-a = b  x-a = -b. 
Nierówność: x-a<b, jest spełniona  gdy: 
 x-a>-b  x-a<b 
Nierówność: x-a>b, jest spełniona  gdy: 
 x-a<-b  x-a>b 

 

UKŁADY RÓWNAŃ 

ax

by

c

a x

b y

c

W

a

b

a

b

ab

a b

W

W

c

b

c

b

cb

c b

x

W

W

W

a

c

a

c

ac

a c

y

W

W

X

X

Y

Y







































1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

 

TRÓJMIAN KWADRATOWY 
f(x)=ax

2

+bc+c 

=b

2

-4ac 

Jeżeli >0, wtedy:   

x

b

a

x

b

a

1

2

2

2



 



 





           

Postać

kanoniczna

f x

a x

p

q

Postać iloczynowa

f x

a x

x

x

x

( )

(

)

( )

(

)(

)













2

1

2

 

Jeżeli =0, wtedy: 

x

b

a

0

2

 

 

Współrzędne wierzchołka paraboli: 

W

b

a

a















2

4

,



 

Wzory Viete’a: 

x

x

b
a

x x

c

a

x

x

x

x

x x

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1



 













 

TRYGONOMETRIA 
sin

2

 + cos

2

 = 1 

tgctg = 1 

 

Wzory redukcyjne: 
sin(90+) = cos 

    sin(180+) = -sin 

cos(90+) = -sin    cos(180+) = -cos 
tg(90+) = -ctg 

     tg(180+) = tg 

ctg(90+) = -tg 

     ctg(180+)= ctg 

sin(270+) = -cos    sin(360+) = sin 
cos(270+) = sin     cos(360+) = cos 
tg(270+) = -ctg 

      tg(360+) = tg 

ctg(270+)= -tg 

      ctg(360+) = ctg 

Fukncje trygonometryczne sumy kątów: 

















sin

sin cos

cos sin

cos

cos cos

sin sin

















































































tg

tg

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

ctg

ctg

1

1

 

 

Funkcje trygonometryczne różnicy kątów: 

















sin

sin cos

cos sin

cos

cos cos

sin sin

















































































tg

tg

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

ctg

ctg

1

1

 

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego: 

sin

sin cos

cos

cos

sin

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2







































tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

cos

cos

sin

cos

sin

2

2

1 2

2

2

2















 

 

 

Funkcje tygonometryczne połowy kąta: 

sin

cos

,

cos

cos









2

1

2

2

1

2

 



 



 

znak + lub - bierzemy zależnie od tego, do której 

ćwiartki należy 



2

 

tg

ctg













2

1

2

1









cos

sin

,

cos

sin

 

Sumy funkcji trygonometrycznych: 









sin

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

sin

















































































2

2

2

2

2

2

tg

tg

ctg

ctg

 

 

Różnice funkcji trygonometrycznych: 









sin

sin

sin

cos

cos

cos

sin

sin

sin

cos

cos

sin

sin

sin



























































 





















2

2

2

2

2

2

tg

tg

ctg

ctg

 

CIĄGI LICZBOWE 

CIĄGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg 
liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest 
stała  r =a

n+1

- a

n 

a

a

a

n

n

n









1

1

2

 

Wyraz ogólny ciągu: a

n

 = a

1

 + (n-1)r

 

Suma częściowa:  





S

na

n

n

r

S

a

a

n

n

n

n















1

1

1

2

2

 

CIĄG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w 
którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały  

a

a

q

n

n





1

 

Wyraz ogólny ciągu: a

n

 = a

1

  q

n-1 

Suma częściowa:  

S

a

q

q

gdy

q

S

n a gdy

q

n

n

n











 



1

1

1

1

1

1

,

,

 

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:  

S

a

q

dla

q







1

1

1

,

 

 

 

 

 

 

www.zadania-projekty.pl

 

POLA FIGUR PŁASKICH 

Trójkąt: 

S

ah

S

ab

S

p p a p b p

c

p

a

b

c





















 

1

2

1

2

2

,

sin

(

)(

)(

) ,



 

S = pr,   p - połowa obwodu; r - pr. okręgu wpisanego 

S

abc

R



4

, R - pr. okręgu opisanego 

Trójkąt równoboczny: 

S

a

h

a





2

3

4

3

2

 

Równoległobok: 

S

ah

S

ab

S

d d













sin

sin





1

2

2

 

 

Romb: 

S

ah

S

a

S

d d









2

1

2

2

sin



 

Trapez: 

S

a

b

h







2

 

Koło i okrąg: 
S = r

2   

R

abc

S

r

S

p





4

 

2p = 2r 

p - połowa obwodu 

Pole wycinka koła: 

S

r









360

2



 

Długość łuku koła: 

l

r









180



 

 

LOGARYTMY 

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

m

a

a

x

x

x

b

a

x

a

x

y

xy

x

y

x

y

x

m

x

a

x

a

x

a



























1

0

1

 

STEREOMETRIA 

Sześcian: V=a

3

 

Prostopadłościan: V=abh 
Walec: V=r

2

h 

Ostrosłup foremny: V=1/3a

2

h 

Stożek: V=1/3r

2

h, S-boczne=rl 

Kula: V=4/3r

3

, S=4r

2

 

 

GEOMETRIA ANALITYCZNA 

AB

x

x y

y

AB

x

x

y

y

















[

,

]

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

 

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: 

y

y

y

y

x

x

x

x











1

2

1

1

2

1

 

Odległość punktu od prostej: 

d

Ax

By

C

A

B









0

0

2

2

 

Współczynnik kierunkowy: 

a

y

y

x

x







2

1

2

1

 

Warunek równoległości: A

1

B

2 

= A

2

B

1

 

Warunek prostopadłości: ac = -1 

 

Wyznacznik (Dla trójkąta 1/2 det): 

 

S

a b

a b

a a a

b b b

a b

a

a

b

b

a b

a b

x

y

x

y

x

y

x

y

x y

y x















det( , )

sin

[ ,

]

[ ,

]

det( , )

 

 





 



 

Iloczyn skalarny: 







 



 

a b

a b

a b





 cos ( , )

 

 

















a b

a b

a

a a

b

b b

a b

a b

a b

x

y

x

y

x x

y y

 











0

[

,

]

[ , ]

 

oblicznie długości wektorów z iloczynu skalarnego 

OKRĄG 

Równanie okręgu: 
(x - a)

2 

+ (y - b)

2 

= r

2

 

x

2

+y

2

-2ax-2by+c=0 

 

PRAWDOPODOBIEŃSTWO 

P A

n A

n

( )

( )

( )





 

Własności: 
P()=0 
AB  P(A)  P(B) 
P(A)  1 
P(A’)=1-P(A) 
P(AB)=P(A) + P(B) - P(AB) 
Symbol Newtona: 

n

k

n

k n

k











 



!

!(

)!

 

Wariacje:  
z powtórzeniami:

W

n

n

k

k



 

bez powtórzeń: 

V

n

n

k

n

k





!

(

)!

 

Prawdopodobieństwo warunkowe: 

P A B

P A

B

P B

(

)

(

)

( )





 

 

Prawdopodobieństwo przyczyny: 

P A P AB P B

P AB P B

P AB

P B

P Bi A

P ABi P Bi

P A

n

n

( )

(

) ( )

(

) ( ) ... (

)

( )

(

)

(

) ( )

( )









 







1

1

2

2

 

Zdarzenie niezależne: 
P(AB)=P(A)P(B) 
FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI

 

Funkcja

różnowartościowa

x

x

f x

f x

Funkcja

rosn ca

x

x

f x

f x

Funkcja

malej ca

x

x

f x

f x

Funkcja

parzysta

f

x

f x

Funkcja

nieparzysta

f

x

f x

x x

x x

x x

x

x



































 

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

,

,

,

[(

)

( ( )

(

))]

ą

[

( )

( )]

ą

[

( )

( )]

:

(

)

( )

(

)

( )

 

sin(

)

sin

cos(

)

cos

(

)

(

)



 







 



 

















tg

tg

ctg

ctg

 



0

30

45

60

90

0

1

1

0

0

1

3

3

1

0

1
2

2

2

3

2

3

2

2

2

1
2

3

3

3

3











sin

cos

tg

ctg





 

I

II

III

IV

tg

ctg

sin

cos































