www.zadania-projekty.pl

POTĘGOWANIE
a

m

· a

n

= a

m+n

a

m

: a

n

= a

m-n

(dla m>n ^ a0)

(a

m

)

n

= a

mn

(ab)

n

= a

n

b

n

(a/b)

n

= a

n

/b

n

(dla b0)

a

0

=1

a

a

a

a

a

a

a

a

n

m
n

n

m
n

n

n

n

n

m

m

1

1

1

1















(

)

(

)

WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
(a+b)

2

= a

2

+2ab+b

2

(a-b)

2

= a

2

-2ab+b

2

(a+b)

3

= a

3

+3a

2

b+3ab

2

+b

3

(a-b)

3

= a

3

-3a

2

b+3ab

2

-b

3

a

2

-b

2

= (a-b)(a+b)

a

3

-b

3

= (a-b)(a

2

+ab+b

2

)

a

3

+b

3

= (a+b)(a

2

-ab+b

2

)

PIERWIASTKOWANIE

ab

a

b

a

a

a

b

a

b

a

a

n

n

n

m

n

n

m

n

n

n

m

n

mn











(

)

WARTsOŚĆ BEZWZGLĘDNA

x

x

x

x

gdy

x

gdy

x

x

2

0

0

















RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ
BEZWZGLĘDNĄ
Równanie: x-a= b, oznacza, że
x-a = b  x-a = -b.
Nierówność: x-a<b, jest spełniona  gdy:
x-a>-b  x-a<b
Nierówność: x-a>b, jest spełniona  gdy:
x-a<-b  x-a>b

UKŁADY RÓWNAŃ

ax

by

c

a x

b y

c

W

a

b

a

b

ab

a b

W

W

c

b

c

b

cb

c b

x

W

W

W

a

c

a

c

ac

a c

y

W

W

X

X

Y

Y







































1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

TRÓJMIAN KWADRATOWY
f(x)=ax

2

+bc+c

=b

2

-4ac

Jeżeli >0, wtedy:

x

b

a

x

b

a

1

2

2

2



 



 





Postać

kanoniczna

f x

a x

p

q

Postać iloczynowa

f x

a x

x

x

x

( )

(

)

( )

(

)(

)













2

1

2

Jeżeli =0, wtedy:

x

b

a

0

2

 

Współrzędne wierzchołka paraboli:

W

b

a

a















2

4

,



Wzory Viete’a:

x

x

b
a

x x

c

a

x

x

x

x

x x

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1



 













TRYGONOMETRIA
sin

2

 + cos

2

 = 1

tgctg = 1

Wzory redukcyjne:
sin(90+) = cos

sin(180+) = -sin

cos(90+) = -sin cos(180+) = -cos
tg(90+) = -ctg

tg(180+) = tg

ctg(90+) = -tg

ctg(180+)= ctg

sin(270+) = -cos sin(360+) = sin
cos(270+) = sin cos(360+) = cos
tg(270+) = -ctg

tg(360+) = tg

ctg(270+)= -tg

ctg(360+) = ctg

Fukncje trygonometryczne sumy kątów:

















sin

sin cos

cos sin

cos

cos cos

sin sin

















































































tg

tg

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

ctg

ctg

1

1

Funkcje trygonometryczne różnicy kątów:

















sin

sin cos

cos sin

cos

cos cos

sin sin

















































































tg

tg

tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

ctg

ctg

1

1

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:

sin

sin cos

cos

cos

sin

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2







































tg

tg

tg

ctg

ctg

ctg

cos

cos

sin

cos

sin

2

2

1 2

2

2

2















 

Funkcje tygonometryczne połowy kąta:

sin

cos

,

cos

cos









2

1

2

2

1

2

 



 



znak + lub - bierzemy zależnie od tego, do której

ćwiartki należy



2

tg

ctg













2

1

2

1









cos

sin

,

cos

sin

Sumy funkcji trygonometrycznych:









sin

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

sin

cos

cos

sin

sin

sin

















































































2

2

2

2

2

2

tg

tg

ctg

ctg

Różnice funkcji trygonometrycznych:









sin

sin

sin

cos

cos

cos

sin

sin

sin

cos

cos

sin

sin

sin



























































 





















2

2

2

2

2

2

tg

tg

ctg

ctg

CIĄGI LICZBOWE

CIĄGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg
liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest
stała  r =a

n+1

- a

n

a

a

a

n

n

n









1

1

2

Wyraz ogólny ciągu: a

n

= a

1

+ (n-1)r

Suma częściowa:





S

na

n

n

r

S

a

a

n

n

n

n















1

1

1

2

2

CIĄG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w
którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały 

a

a

q

n

n





1

Wyraz ogólny ciągu: a

n

= a

1

 q

n-1

Suma częściowa:

S

a

q

q

gdy

q

S

n a gdy

q

n

n

n











 



1

1

1

1

1

1

,

,

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:

S

a

q

dla

q







1

1

1

,

www.zadania-projekty.pl

POLA FIGUR PŁASKICH

Trójkąt:

S

ah

S

ab

S

p p a p b p

c

p

a

b

c





















 

1

2

1

2

2

,

sin

(

)(

)(

) ,



S = pr, p - połowa obwodu; r - pr. okręgu wpisanego

S

abc

R



4

, R - pr. okręgu opisanego

Trójkąt równoboczny:

S

a

h

a





2

3

4

3

2

Równoległobok:

S

ah

S

ab

S

d d













sin

sin





1

2

2

Romb:

S

ah

S

a

S

d d









2

1

2

2

sin



Trapez:

S

a

b

h







2

Koło i okrąg:
S = r

2

R

abc

S

r

S

p





4

2p = 2r

p - połowa obwodu

Pole wycinka koła:

S

r









360

2



Długość łuku koła:

l

r









180



LOGARYTMY

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

log

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

m

a

a

x

x

x

b

a

x

a

x

y

xy

x

y

x

y

x

m

x

a

x

a

x

a



























1

0

1

STEREOMETRIA

Sześcian: V=a

3

Prostopadłościan: V=abh
Walec: V=r

2

h

Ostrosłup foremny: V=1/3a

2

h

Stożek: V=1/3r

2

h, S-boczne=rl

Kula: V=4/3r

3

, S=4r

2

GEOMETRIA ANALITYCZNA

AB

x

x y

y

AB

x

x

y

y

















[

,

]

(

)

(

)

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty:

y

y

y

y

x

x

x

x











1

2

1

1

2

1

Odległość punktu od prostej:

d

Ax

By

C

A

B









0

0

2

2

Współczynnik kierunkowy:

a

y

y

x

x







2

1

2

1

Warunek równoległości: A

1

B

2

= A

2

B

1

Warunek prostopadłości: ac = -1

Wyznacznik (Dla trójkąta 1/2 det):

S

a b

a b

a a a

b b b

a b

a

a

b

b

a b

a b

x

y

x

y

x

y

x

y

x y

y x















det( , )

sin

[ ,

]

[ ,

]

det( , )

 

 





 



Iloczyn skalarny:







 



 

a b

a b

a b





 cos ( , )

 

















a b

a b

a

a a

b

b b

a b

a b

a b

x

y

x

y

x x

y y

 











0

[

,

]

[ , ]

oblicznie długości wektorów z iloczynu skalarnego

OKRĄG

Równanie okręgu:
(x - a)

2

+ (y - b)

2

= r

2

x

2

+y

2

-2ax-2by+c=0

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

P A

n A

n

( )

( )

( )





Własności:
P()=0
AB  P(A)  P(B)
P(A)  1
P(A’)=1-P(A)
P(AB)=P(A) + P(B) - P(AB)
Symbol Newtona:

n

k

n

k n

k











 



!

!(

)!

Wariacje:
z powtórzeniami:

W

n

n

k

k



bez powtórzeń:

V

n

n

k

n

k





!

(

)!

Prawdopodobieństwo warunkowe:

P A B

P A

B

P B

(

)

(

)

( )





Prawdopodobieństwo przyczyny:

P A P AB P B

P AB P B

P AB

P B

P Bi A

P ABi P Bi

P A

n

n

( )

(

) ( )

(

) ( ) ... (

)

( )

(

)

(

) ( )

( )









 







1

1

2

2

Zdarzenie niezależne:
P(AB)=P(A)P(B)
FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI

Funkcja

różnowartościowa

x

x

f x

f x

Funkcja

rosn ca

x

x

f x

f x

Funkcja

malej ca

x

x

f x

f x

Funkcja

parzysta

f

x

f x

Funkcja

nieparzysta

f

x

f x

x x

x x

x x

x

x



































 

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

,

,

,

[(

)

( ( )

(

))]

ą

[

( )

( )]

ą

[

( )

( )]

:

(

)

( )

(

)

( )

sin(

)

sin

cos(

)

cos

(

)

(

)



 







 



 

















tg

tg

ctg

ctg



0

30

45

60

90

0

1

1

0

0

1

3

3

1

0

1
2

2

2

3

2

3

2

2

2

1
2

3

3

3

3











sin

cos

tg

ctg





I

II

III

IV

tg

ctg

sin

cos































