PRZEPŁYW PŁYNÓW (podstawowe pojęcia)

Ilościowe określanie przepływu:

Masowe natężenie przepływu: [ G ] = [kg/s]

&

Objętościowe natężenie przepływu: [V ] = [m

&

3

/s]

ρ

G

V

&

& =

Prędkość masowa: [W] = [kg/(m

2

⋅s)]

S

G

W

&

=

Średnia liniowa prędkość przepływu: [

w] = [m/s]

S

V

w

&

=

Bilans materiałowy strumienia płynu

Równania ciągłości strumienia

const

w

S

.........

w

S

w

S

ρ

.........

ρ

ρ

const.

ρ

w

S

.........

ρ

w

S

ρ

w

S

const.

ρ

V

..........

ρ

V

ρ

V

const.

G

......

..........

G

G

n

n

2

2

1

1

n

2

1

n

n

n

2

2

2

1

1

1

n

n

2

2

1

1

n

2

1

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Bilans energetyczny strumienia płynu (równanie Bernoullego)

Przepływ izotermiczny cieczy doskonałej (bez tarcia)

g

2

w

g

p

z

g

2

w

g

p

z

2

2

2

2

2

1

1

1

+

⋅

+

=

+

⋅

+

ρ

ρ

Przepływ cieczy doskonałej z tarciem

)

u

u

(

g

2

w

g

p

z

g

2

w

g

p

z

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

−

+

+

⋅

+

=

+

⋅

+

ρ

ρ

str

2

2

2

2

2

1

1

1

h

g

2

w

g

p

z

g

2

w

g

p

z

+

+

⋅

+

=

+

⋅

+

ρ

ρ

g

u

u

h

1

2

str

−

=

UOGÓLNIONE RÓWNANIE BERNOULLEGO

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

u

2

w

v

p

gz

q

l

u

2

w

v

p

gz

+

+

+

=

+

+

+

+

+

2

w

i

gz

q

l

2

w

i

gz

2

2

2

2

2

1

1

1

+

+

=

+

+

+

+

Czas opróżniania zbiorników

Zbiornik cylindryczny

(

)

2

1

o

h

h

g

2

2

S

S

−

⋅

⋅

⋅

=

φ

τ

Zbiornik kulisty

g

2

d

D

15

16

2

o

2

/

5

⋅

⋅

=

τ

Zbiornik stożkowy

D – średnica. H – wysokość stożka

1

2

/

5

2

o

2

2

h

g

2

d

H

D

5

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

φ

τ

Liczba Reynoldsa jako kryterium ruchu płynu

η

ν

η

ρ

WD

wD

wD

=

Re

=

=

Średnica zastępcza przewodów

B

S

4

r

4

D

h

e

=

=

OPORY PODCZAS PRZEPŁYWU PŁYNÓW PRZEZ PRZEWODY

Równanie Darcy – Weisbacha

2

w

D

L

P

2

t

ρ

λ

Δ

⋅

⋅

=

Ruch laminarny (równanie Poiseuille’a)

L

128

D

P

V

4

t

η

Δ

π

⋅

⋅

=

&

Współczynnik oporu

λ

dla ruchu laminarnego

Re

64

=

λ

Dla przekrojów niekołowych

Re

k

=

λ

Kwadrat: k = 57; pierścień k = 96

Współczynnik oporu

λ

dla ruchu burzliwego w rurach gładkich

Autor wzoru

Wzór

Zakres Re

Blausius

25

.

0

Re

316

.

0

=

λ

4

3

10

5

10

3

⋅

−

⋅

Generaux

16

.

0

Re

16

.

0

=

λ

7

3

10

2

10

4

⋅

−

⋅

Herman

3

.

0

Re

396

.

0

0054

.

0

+

=

λ

6

3

10

2

10

5

.

2

⋅

−

⋅

Nikuradze

237

.

0

Re

221

.

0

0032

.

0

+

=

λ

8

5

10

1

10

1

⋅

−

⋅

Współczynnik oporu

λ

dla ruchu burzliwego w rurach szorstkich

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

9

.

0

Re

81

.

6

7

.

3

lg

2

1

ε

λ

Chropowatość względna

e

D

e

=

ε

Chropowatość bezwzględna: średnia wysokość garbów chropowatości na ściankach rury e [mm]

(np. nowe rury stalowe: 0.06-0.1 mm; rury stalowe nieznacznie skorodowane: 0.1-0.2 mm; rury

betonowe: 3-9 mm)

2

RUCH CZĄSTEK STAŁYCH W POLU SIŁ MASOWYCH

Siła oporu ośrodka dla różnych obszarów opadania

Laminarny Przejściowy Burzliwy

4

.

0

Re

10

1

o

4

<

<

⋅

−

3

o

10

1

Re

4

.

0

⋅

<

<

5

o

3

10

2

Re

10

1

⋅

<

<

⋅

o

Re

24

=

λ

6

.

0

o

Re

5

.

18

=

λ

44

.

0

=

λ

o

w

d

3

R

η

π

=

o

4

,

0

6

,

0

4

,

1

w

d

3

,

2

R

ρ

η

≈

2

o

2

w

d

17

,

0

R

ρ

≈

Stokes Allen Newton

Cząstki niekuliste:

średnica zastępcza (d

z

)

Średnica kuli o takiej samej objętości jak dana cząstka

sferyczność (

ψ

)

Stosunek powierzchni kuli o objętości cząstki

rzeczywistej do powierzchni tej cząstki,

1

<

ψ

współczynnik kształtu (

ϕ

)

ψ

ϕ

1

=

Współczynnik oporu dla cząstek niekulistych:

)

,

(Re

f

o

λ

ψ

=

Ruch laminarny

Ruch burzliwy

05

,

0

Re

o

<

5

o

3

10

2

Re

10

1

⋅

<

<

⋅

o

o

Re

)

065

,

0

/

log(

843

,

0

24

Re

a

ψ

λ

=

=

ψ

λ

87

,

4

31

,

5

−

=

Prędkość opadania

cząstki

λρ

ρ

ρ

3

)

(

dg

4

w

s

o

−

=

Ruch laminarny

Ruch burzliwy

(

)

η

ρ

ρ

18

g

d

w

s

2

o

−

=

(

)

ρ

ρ

ρ

g

d

74

.

1

w

s

o

−

⋅

≈

3

Współczynnik oporu ośrodka

λ

jako funkcja liczby Reynoldsa Re dla cząstek kulistych

Re

λ

Re

λ

Re

λ

Re

λ

0 1

240

10

4 10

700

0 5

5×10

4

0 49

0 3

80

20

2 55

1000

0 46

7×10

4

0 50

0 5

49 5

30

2 00

2000

0 42

10

5

0 48

0 7

36 5

50

1 50

3000

0 40

2×10

5

0 42

1 0

26 5

70

1 25

5000

0 38

3×10

5

0 20

2 0

14 4

100

1 07

7000

0 39

4×10

5

0 084

3 0

10 4

200

0 77

10000

0 40

6×10

5

0 10

5 0

6 9

300

0 65

20000

0 45

10

6

0 13

7 0

5 4

500

0 55

30000

0 47

3×10

6

0 20

Zależność współczynnika oporu

λ

od liczby Reynoldsa Re i sferyczności

ψ

dla ciał

niekulistych izometrycznych

Re

ψ

1

10

100

400

1000

0,670
0,806
0,846
0,946
1,000

28
27
27
27

26,5

6
5

4,5
4,5
4,1

2,2
1,3
1,2
1,1

1,07

2,0
1,0
0,9
0,8
0,6

2,0
1,1
1,0
0,8

0,46

Uproszczona metoda obliczania prędkości opadania cząstek lub ich średnicy

λρ

ρ

ρ

3

)

(

dg

4

w

s

o

−

=

2

o

s

w

)

(

dg

3

4

ρ

ρ

ρ

λ

−

⋅

=

Prędkość opadającej cząstki

Średnica opadającej cząstki

Z równania na

λ

eliminujemy nieznaną wielkość

mnożąc obustronnie przez

2

o

w

2

o

Re

Z równania na

λ

eliminujemy nieznaną wielkość

dzieląc obustronnie przez

d

o

Re

2

s

3

2

o

g

)

(

d

3

4

Re

η

ρ

ρ

ρ

λ

−

⋅

=

3

o

2

s

o

w

g

)

(

3

4

Re

ρ

ρ

ρ

η

λ

−

⋅

=

W oparciu o wykres

)

(Re

f

o

=

λ

konstruujemy zmodyfikowane wykresy oporów ośrodka:

)

(Re

f

Re

o

2

o

=

λ

)

(Re

f

Re

o

o

=

λ

Znając wartość prawej strony równań można odczytać wielkość liczby Reynoldsa, co następnie pozwala

obliczyć szukaną wartość prędkości opadania lub średnicy opadającej cząstki

4

PRZEPŁYW PŁYNU PRZEZ ZŁOŻE ROZDROBNIONEGO MATERIAŁU

Liczbowa charakterystyka złoża

Porowatość

s

nas

1

ρ

ρ

ε

−

=

Powierzchnia właściwa

z

d

)

1

(

6

a

ϕ

ε

⋅

−

⋅

=

Opory przepływu płynu przez złoże

ϕη

ε

ρ

)

1

(

d

w

Re

z

R

−

=

Ruch laminarny (Re

R

<10) (wzór Leva)

R

R

Re

400

=

λ

3

2

2

2

z

R

)

1

(

w

d

L

200

P

ε

ϕ

ε

η

Δ

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

Ruch burzliwy (wzór Erguna)

75

,

1

Re

150

R

R

+

=

λ

65

,

0

40

,

0

3000

Re

1

R

<

<

<

<

ε

5

PRZEPŁYW PŁYNU PRZEZ ZŁOŻE ROZDROBNIONEGO MATERIAŁU

Liczbowa charakterystyka złoża i elementów złoża

Porowatość

warstwy

kapilar

V

V

=

0

ε

s

nas

ρ

ρ

ε

−

= 1

0

Powierzchnia właściwa

el

A

V

N

a













=

(

)

z

d

a

ϕ

ε

0

1

6

−

=

Średnica zastępcza elementów wypełnienia

3

6

Π

=

s

z

V

d

Średnica zastępcza kapilar

a

d

zK

ε

4

=

( )

ϕ

ε

ε

−

=

1

3

2

z

zK

d

d

Współczynnik kształtu

ψ

ϕ

1

=

2

e

el

d

A

Π

=

ϕ

Opory przepływu przez złoże

( )

3

2

1

2

ε

ϕ

ε

ρ

ω

λ

−

=

∆

z

R

R

d

L

P

( )

ϕη

ε

ρ

ω

−

=

1

Re

z

R

d

Ruch laminarny

Ruch burzliwy

10

Re

<

100

Re

>

R

R

Re

400

=

λ

50

,

3

Re

300 +

=

R

R

λ

Wzór Leva

Wzór Erguna

( )

3

2

2

2

1

200

ε

ϕ

ε

ωη

−

=

∆

z

R

d

L

P

( )

( )

3

2

3

2

2

2

1

75

,

1

1

150

ε

ϕ

ε

ρ

ω

ε

ϕ

ε

ωη

−

+

−

=

∆

z

z

R

d

L

d

L

P

Uogólnione równanie Leva

( )

3

3

3

2

1

2

ε

ϕ

ε

ρ

ω

λ

n

n

z

L

R

d

L

P

−

−

−

=

∆

Ruch laminarny n = 1

Ruch burzliwy n = f(Re)

L

L

Re

400

=

λ

1

,

0

Re

L

L

b

=

λ

Współczynnik

b

zależy od szorstkości materiału, z którego wykonane jest wypełnienie.

Wypełnienie ceramiczne b = 10,5 – 14

Wypełnienie szklane b = 7

Współczynnik

n

zależy od wartości liczby Reynoldsa.

Re

10

20

40

80

100

200

400

1000 2000 4000 10000

n

1,0

1,15

1,3

1,45

1,55

1,7

1,8

1,85

1,9

1,93

1,96

Parametry charakterystyczne dla wypełnień z pierścieni Raschiga

Średnica

zewnętrzna

[mm]

Grubość

ścianki

[mm]

Liczba

elementów1m

3

Porowatość

Powierzchnia

właściwa

[m

2

/m

3

]

Parametr













kg

s

m

2

β

16

2,0

192500

0,73

300

0,0533

25

2,4

43000

0,81

174

0,0512

38

4,4

12700

0,76

115

0,0471

50

4,4

6000

0,79

95

0,0348

75

9,5

1900

0,71

69

-

FLUIDYZACJA

Minimalna prędkość fluidyzacji –

-

siła pozornego ciężaru złoża zostaje zrównoważona siłą spadku ciśnienia na złożu

2

1

F

F

=

Siła pozornego ciężaru złoża F

1

(

) ( )

ε

ρ

ρ

−

−

=

1

1

gL

A

F

s

Siła oporu przepływu płynu przez złoże F

2

( )

3

2

2

1

2

ε

ϕ

ε

ρ

ω

λ

−

=

z

R

d

L

A

F

Zastosowawszy wzór Erguna na spadek ciśnienia na złożu otrzymano:

(

)

( )

3

2

3

2

2

75

,

1

1

150

ε

ϕ

ρ

ω

ε

ϕ

ε

ωη

ρ

ρ

z

z

s

d

d

g

+

−

=

−

Maksymalna prędkości fluidyzacji

odpowiada prędkości opadania cząstki.

Kryterium występowania fluidyzacji jednorodnej jest liczba Frouda:

1

<

Fr

z

gd

Fr

2

ω

=

PRZEPŁYWY W UKŁADACH WIELOFAZOWYCH - UKŁAD GAZ – CIECZ

Ruch gazu

Ruch cieczy

g

g

zK

I

g

g

d

η

ρ

ω

=

Re

L

L

zK

I

L

d

L

η

ρ

ω

=

Re

ε

ω

ω

g

I

g

=

a

d

zK

ε

4

=

δ

ω

ω

a

L

I

L

=

δ

4

=

zK

d

δ

Sa

S

L

=

δ

ω

ω

ω

Sa

S

S

V

I

L

L

I

L

L

=

=

=

•

g

mg

g

g

g

g

a

g

a

η

η

ρ

ω

4

4

Re

=

=

L

mL

L

L

L

L

a

g

a

η

η

ρ

ω

4

4

Re

=

=

Przepływ laminarny

40

Re

<

g

Przepływ burzliwy

150

Re

>

g

2300

Re

≈

KR
L

Strata ciśnienia przy przepływie gazu przez zraszane wypełnienie (∆P

ZR

)

mL

ZR

g

P

P

β

=













∆

∆

log

Maksymalna dozwolona prędkość przepływu fazy ciekłej

Obliczenia w oparciu o bezwymiarowe kompleksy X i Y

16

,

0

3

2













=

O

L

L

g

g

g

a

X

η

η

ρ

ρ

ε

ω

g

L

g

L

m

m

Y

ρ

ρ

















=

•

•

η

o

- lepkość wody w temperaturze 20ºC

g

L

g

L

g

L

m

m

ρ

ρ

ω

ω

=

•

•

Równanie Baina i Hougena

25

,

0

75

,

1

022

,

0

log

X

Y

−

=

Stopień użyteczności powierzchni wypełnienia











−

=

D

L

L

e

08

,

0

exp

39

,

3

187

,

0

ω

ϕ

FILTRACJA

Podstawowe równanie filtracji













+

∆

∆

=

t

S

O

L

R

P

A

xV

P

Ad

dV

α

η

τ

Gęstość osadu[kg/m

3

]

Opór właściwy osadu [m/kg]

V

m

x

s

=

3

2

2

1

ε

ε

ρ

ϕ

α

−

=

s

I

a

k

Opór właściwy przegrody

[1/m]

S

P

b

∆

=

−

3

1

ε

ε

b

k

k

I

=

A

axC

R

t

=

S

O

S

s

P

P

ka

∆

=

∆

=

α

ρ

ϕ

α

2

2

Równanie filtracji izobarycznej (Równanie Rutha)

τ

K

CV

V

=

+ 2

2

Stałe filtracji dla danego filtru i osadu

S

O

t

P

x

A

R

C

∆

=

α

η

α

x

P

A

K

O

S

−

∆

=

1

2

2

Stałe filtracji dla tego samego układu filtracyjnego i innego ciśnienia

S

I

I

P

P

C

C













∆

∆

=

S

I

I

P

P

K

K

−













∆

∆

=

1

Ściśliwość osadu

1

2

1

2

log

log

1

P

P

K

K

s

∆

∆

−

=

1

2

2

1

log

log

P

P

C

C

s

∆

∆

=

Filtracja przez warstwę o stałej grubości

τ

k

H

H

=

2

1

ln

Filtracja zawiesiny o dużych cząstkach

τ

1

1

2

1

ln

H

k

H

H

=