Informatyka, studia dzienne
Analiza matematyczna, ćwiczenia nr 4

POCHODNA FUNKCJI I RÓŻNICZKA FUNKCJI

ZAD 1
Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie x

0

:

1

,

1

2

)

2

,

1

2

)

1

,

2

)

0

0

0

2

=

+

=

=

+

=

−

=

+

=

x

x

y

c

x

x

y

b

x

x

x

y

a

ZAD 2
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

















=

=

≠

=

=

=

≠

=

−

=









−

=

−

≠

+

+

=

=







>

≤

=

0

,

0

0

0

1

sin

)

0

,

0

0

0

1

sin

)

1

,

1

0

1

1

ln

1

)

2

,

2

2

2

)

0

0

2

0

0

2

x

x

dla

x

dla

x

x

y

d

x

x

dla

x

dla

x

x

y

c

x

x

dla

x

dla

x

x

y

b

x

x

dla

x

dla

x

y

a

x

ZAD 3
Obliczyć pochodną funkcji:

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

o

x

x

y

n

tgx

y

m

x

y

l

e

e

y

k

y

j

e

x

y

i

x

x

x

ctg

y

h

x

e

y

g

x

tg

x

x

y

f

x

x

y

e

x

x

y

d

x

x

x

x

y

c

x

x

x

x

y

b

x

x

x

y

a

=

−

=

=

=

+

+

=

=

=

+

−

+

=

−

=

+

−

=

+

=

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

−

=

)

2

1

sin

)

)

)

1

ln

)

3

2

)

arcsin

)

sin

3

2

cos

1

5

)

ln

2

)

;

3

2

2

3

cos

2

)

5

2

)

5

3

)

4

2

)

1

5

)

5

2

1

5

)

3

sin

cos

sin

3

2

2

10

6

2

3

2

5

2

5

3

2

2

3

4

3

5

3

2

2

ZAD 4
Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

e

x

x

x

y

c

x

y

b

x

x

x

y

a

x

=

=

=

+

=

=

+

=

0

0

0

2

,

ln

)

3

,

1

2

)

2

,

1

2

)

ZAD 5
Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji:

( )

( )

0

,

2

4

)

(

,

4

)

(

)

0

,

,

)

2

3

2

>

−

=

−

=

>

=

=

x

x

x

g

x

x

f

b

x

x

x

g

x

x

f

a

ZAD 6
Znaleźć parametry a, b dla których podane funkcje mają pochodne na R:







>

+

≤

+

=







>

−

≤

+

=

0

cos

sin

0

1

)

0

2

0

)

x

dla

x

b

x

a

x

dla

x

y

b

x

dla

x

x

dla

b

ae

y

a

x

ZAD 7
Promień metalowej kuli zwiększył się nieznacznie na skutek podgrzania o dR. Obliczyć w
przybliżeniu przyrost objętości metalowej kuli.

ZAD 8
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:

005

,

1

ln

97

,

4

)

2

)

63

)

29

sin

)

9999

,

2

3

0

d

c

b

a

ZAD 9
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć x’(y) .
a)

y

x =e

x

, x

∈ℝ

b)

y

x =ctgx , 0xπ

c)

y

x =x

5

x1 , y

0

=3

ZAD 10
Obliczyć pochodne

f ' , f ' ' , f '' '

dla podanych funkcji.

a)

f

x =xln x

b)

f

x =



x

2

x1



cos x

c)

f

x=e

cos x

d) f x=



x

2

1

ZAD 11
Funkcja f ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie. Obliczyć

y ' , y '' , y ' ''

dla podanych

funkcji.

a)

y

=f



x

2



b)

y

=f



e

x



c)

y

=f



1
x



d) y

=f



ln x



ZAD 12
Zbadać, czy istnieje

f ' ''

0

.

a) f x=∣x∣

3

b)

f

x =

{

x , x

≤0

sin

4

x , x

0

ZAD 13
Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji.
a)

f

x =sin 4x

b)

f

x =2

−x

c)

f

x =e

−

x
3

d)

f

x =

2

x

2

−1

e)

f

x =

x

e

x

f)

f

x =tg x

Przygotowała A. Makarec