Informatyka, studia dzienne Analiza matematyczna, ćwiczenia nr 4
POCHODNA FUNKCJI I RÓŻNICZKA FUNKCJI ZAD 1
Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie x0: 2
2
a) y = x + 2 x , x = − 1
b) y =
, x = 2
c) y = 2 x + 1 , x = 1
0
x + 1
0
0
ZAD 2
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: x
2
+
1
x
dla x ≤ 2
dla x ≠ −
a) y =
1
, x
b y
x
x
x
0 = 2
)
= ln + 1
, 0 = − 1
2 dla x > 2
0
dla x = − 1
2
1
x sin
dla x ≠ 0
1
x sin
dla x ≠
c) y =
0
, x
d
y
x
x
0 = 0
)
=
,
x
0 = 0
0
dla x = 0
0
dla x = 0
ZAD 3
Obliczyć pochodną funkcji:
3
1
2
x 3
1
a) y = 5 x −
+
− 5
b) y =
−
c) y =
4
2
2
3
5
(5 x 3 + 2 x 2)( x 5 − 43 x 2) x
x
x + 5 x
x
d ) y = 3 x 2 + 5 x e) y = 2( x + 5 x)10
6
f ) y = 2cos(3 2 x − 2 x 2 ) + tg 3 x; 2
3
arcsin x
x
g) y = 2 e − ln( x ) h) y = ctg (5 x + )1 − cos 2 x + 3sin x i) y =
x
e
sin2 x
2
j ) y =
2
k) y = ln e + 1 + e l) y = x
cos x
( x
x )
x
3
sin
1 − 2
m) y = ( tgx ) x x
x
n) y = sin 3
o) y = x
x
ZAD 4
Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: 2 x
ln
x
x
a) y =
, x
2
)
2
1 ,
3
)
,
2
0 =
b y =
+
x 0 =
c y =
x 0 = e
1 + x
x
ZAD 5
Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji: 2
x
a) f ( x) 2
= x , g ( x) 3
= x , x > 0
b) f ( x) = 4 − x , g( x) = 4 −
, x > 0
2
Znaleźć parametry a, b dla których podane funkcje mają pochodne na R:
aex + b dla x ≤ 0
x + 1 dla x ≤ 0
a) y =
b) y =
2 − x dla x > 0
a sin x + b cos x dla x > 0
ZAD 7
Promień metalowej kuli zwiększył się nieznacznie na skutek podgrzania o dR. Obliczyć w przybliżeniu przyrost objętości metalowej kuli.
ZAD 8
Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń: a) sin 290
b) 3 63
c) 22,9999
d) 97
,
4
ln ,
1 005
ZAD 9
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć x’(y) .
a) yx =ex , x∈ℝ b) yx =ctgx , 0xπ c) yx =x5x1 , y =3
0
ZAD 10
Obliczyć pochodne f ' , f ' ' , f '' ' dla podanych funkcji.
a) f x =xln x b) f x=x2x1cos x c) f x=ecosx d) f x=x21
ZAD 11
Funkcja f ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie. Obliczyć y ' , y '' , y ' '' dla podanych funkcji.
a) y=f x2 b) y=f ex c) y=f 1 d) y=f lnx
x
ZAD 12
Zbadać, czy istnieje f ' ''0 .
a) f x=∣x∣3 b) f x ={ x , x≤0
sin4 x , x0
ZAD 13
Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji.
a) f x =sin 4x b) f x =2−x c)
− x
f x =e 3
2
x
d) f x =
e) f x =
x2−1
ex f) f x =tg x
Przygotowała A. Makarec