Informatyka, studia dzienne Analiza matematyczna, ćwiczenia nr 4

POCHODNA FUNKCJI I RÓŻNICZKA FUNKCJI ZAD 1

Obliczyć z definicji pochodną funkcji w punkcie x0: 2

2

a) y = x + 2 x , x = − 1

b) y =

, x = 2

c) y = 2 x + 1 , x = 1

0

x + 1

0

0

ZAD 2

Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: x

2



+



1

x

dla x ≤ 2



dla x ≠ −

a) y =

1



, x

b y

x

x

x

0 = 2

)

=  ln + 1

, 0 = − 1

 2 dla x > 2

 0

dla x = − 1



 2

1

x sin

dla x ≠ 0



1

x sin

dla x ≠

c) y =

0



, x

d

y

x

x

0 = 0

)

= 

,

x

0 = 0

 0

dla x = 0

 0

dla x = 0

ZAD 3

Obliczyć pochodną funkcji:

3

1

2

x 3

1

a) y = 5 x −

+

− 5

b) y =

−

c) y =

4

2

2

3

5

(5 x 3 + 2 x 2)( x 5 − 43 x 2) x

x

x + 5 x

x

d ) y = 3 x 2 + 5 x e) y = 2( x + 5 x)10

6

f ) y = 2cos(3 2 x − 2 x 2 ) + tg 3 x; 2

3

arcsin x

x

g) y = 2 e − ln( x ) h) y = ctg (5 x + )1 − cos 2 x + 3sin x i) y =

x

e

sin2 x

2

j ) y =

2

k) y = ln e + 1 + e l) y = x

cos x

( x

x )

x

3

sin

1 − 2

m) y = ( tgx ) x x

x

n) y = sin 3

o) y = x

x

ZAD 4

Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: 2 x

ln

x

x

a) y =

, x

2

)

2

1 ,

3

)

,

2

0 =

b y =

+

x 0 =

c y =

x 0 = e

1 + x

x

ZAD 5

Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji: 2

x

a) f ( x) 2

= x , g ( x) 3

= x , x > 0

b) f ( x) = 4 − x , g( x) = 4 −

, x > 0

2

ZAD 6

Znaleźć parametry a, b dla których podane funkcje mają pochodne na R:

 aex + b dla x ≤ 0



x + 1 dla x ≤ 0

a) y = 

b) y = 

 2 − x dla x > 0

 a sin x + b cos x dla x > 0

ZAD 7

Promień metalowej kuli zwiększył się nieznacznie na skutek podgrzania o dR. Obliczyć w przybliżeniu przyrost objętości metalowej kuli.

ZAD 8

Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń: a) sin 290

b) 3 63

c) 22,9999

d) 97

,

4

ln ,

1 005

ZAD 9

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć x’(y) .

a) yx =ex , x∈ℝ b) yx =ctgx , 0xπ c) yx =x5x1 , y =3

0

ZAD 10

Obliczyć pochodne f ' , f ' ' , f '' ' dla podanych funkcji.

a) f x =xln x b) f x=x2x1cos x c) f x=ecosx d) f x=x21

ZAD 11

Funkcja f ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie. Obliczyć y ' , y '' , y ' '' dla podanych funkcji.

a) y=f x2 b) y=f ex c) y=f 1 d) y=f lnx

x

ZAD 12

Zbadać, czy istnieje f ' ''0 .

a) f x=∣x∣3 b) f x ={ x , x≤0

sin4 x , x0

ZAD 13

Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji.

a) f x =sin 4x b) f x =2−x c)

− x

f x =e 3

2

x

d) f x =

e) f x =

x2−1

ex f) f x =tg x

Przygotowała A. Makarec