Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 1/4

Fizyka I sem

Informatyka

Wykład nr 4

18 10 2005

PRACA

W

=F

x

 x

W

=F cos   x

W

= F⋅ds

Praca przy zmiennej sile:

W

= lim

 x

i

0

∑

i

F

xi

 x

i

W

=

∫

x

1

x

2

F

x

dx

Przykład: Sprężyna (Nasza praca przy rozciąganiu sprężyny)

W

x

1

, x

2

 =

∫

x

1

x

2

F x⋅dx =

∫

x

1

x

2

kx dx

=

1

2

k

x

2



2

−

1

2

k

x

1



2

Ostateczny zapis pracy

W

=

∫

s

1

s

2

F⋅ds

Jeśli działa więcej sił na ciało:

dW

= 

F

1

⋅ds 

F

2

⋅ds... =



∑

i



F

i



⋅ds

Energia potencjalna

Jeśli

W

p AB

jest pracą sił pola na drodze AB to zachodzi zależność

E

B

=E

A

− W

p

 AB

Dlaczego minus?

Jeśli wyobrazimy sobie, że to my przemieszczamy ciało ze stałą prędkością z punktu A do B to
musimy cały czas działać siłą równą co do wartości sile jaką działa pole w każdym punkcie toru na
ciało. Nasza siła musi być jednak przeciwnie skierowana. Można więc napisać dla pracy

W

z

 AB

wykonanej przeciwko siłom pola

E

B

=E

A

 W

z

 AB

Dlaczego teraz plus?

W polu zachowawczym praca sił pola (a także przeciwko siłom pola) na drodze z A do B jest
zawsze taka sama

W

p

 AB

= − W

z

 AB

© M. Krasiński 2005

Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 2/4

W

p

 AB

= W '

p

 AB

na każdej drodze

Można więc wprowadzić jednoznaczną funkcję

E

 x , y , z

zależną TYLKO od położenia,

charakteryzującą pole, definiowaną jako:

E

x , y , z=E

0

x

0 ,

y

0 ,

z

0

− W

p

[x

0 ,

y

0 ,

z

0

x , y , z]

^ To jest definicja energii potencjalnej ^

Tę samą definicje można zapisać używając sił zewnętrznych (przeciwko siłom pola) jako:

E

x , y , z=E

0

x

0 ,

y

0 ,

z

0

W

z

[ x

0 ,

y

0 ,

z

0

x , y , z]

Ta definicja ma sens jedynie wtedy gdy

W

z

[ x

0 ,

y

0 ,

z

0

 x , y , z]

(a więc także

W

p

[x

0 ,

y

0 ,

z

0

x , y , z]

) nie zależy od drogi po której wykonujemy (lub pole wykonuje)

pracę.
W każdym innym przypadku, startując z punktu początkowego gdzie energia wynosi

E

0

otrzymamy bardzo wiele wartości na energię końcową E w zależności od drogi. Taka funkcja
byłaby zupełnie bezwartościowa.
Energię potencjalną można więc wprowadzić wyłącznie w polach zachowawczych (zwanych
inaczej potencjalnymi).

Skąd ta nazwa?

Problem wyboru

E

0

Ponieważ przedstawiona definicja pozwala określić energię potencjalną pola w każdym punkcie z
wyjątkiem jednego (tego od którego zaczęliśmy) to wartość dla punktu początkowego jest w
zasadzie dowolna! Kierujemy się głównie wygodą rachunkową i pewną dozą zdrowego rozsądku.

Przykład pola grawitacyjnego
Problem nieskończoności

E

∞

=E

A

W

z

 A∞

Sensownie jest założyć, iż energia w nieskończoności jest zero gdyż tam już nie ma oddziaływań

E

∞

=0

to 0

=E

A

W

z

 A∞

to E

A

=− W

z

 A∞

Ponieważ praca

W

z

 A∞

 0

bo siła zewnętrzna działa zgodnie z przesunięciem (praca

przeciwko sile grawitacji) więc

E

A

0

Wyliczenie energii potencjalnej pola grawitacyjnego

siła grawitacji

F = −G

M m

r

2

r

r

Uwaga! Dlaczego piszemy znak minus?

siła przeciwna

F = G

M m

r

2

r

r

w takim razie korzystając zależności

E

∞

=E

A

W

z

 A∞

mamy praca

0

=E

A

W

z

 A∞

czyli

E

A

=−W

z

 A∞

© M. Krasiński 2005

Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 3/4

W takim razie energia potencjalna w punkcie A wynosi

E

A

=−W

z

 A∞

= −

∫

r

A

∞

F dr = −

∫

r

A

∞

G

M m

r

3

r⋅dr = −G M m

∫

r

A

∞

1

r

2

dr

E

A

= −G M m

[



−1

r

∞



−



−1

r

A



]

= −G

M m

r

A

Siła jako gradient energii potencjalnej

F

x

=−

∂E

p

∂ x

F

y

=−

∂E

p

∂ y

F

z

= −

∂E

p

∂z

albo bardziej formalnie

F =− grad E

p

=− 

∇ E

p

gdzie operator nabla



∇ = ∂

∂x

i  ∂

∂ y

j  ∂

∂z

k

a więc ostatecznie

F =−

∇ E

p

=−



∂E

p

∂ x

i

∂E

p

∂ y

j

∂E

p

∂ z

k



ZAPAMIĘTAJ!

•

Energia potencjalna ? Ale czego ? Pamiętaj zawsze o podaniu jakich oddziaływań dotyczy ta
energia!

•

NIE KAŻDA

ENERGIA POTENCJALNA WYNOSI E=mgh !!!!

•

Jeśli w jakimś punkcie

F=0

to

nie

znaczy, że

E

pot

=0

Energia na wykresie

•

Analogia grawitacyjna dla dowolnej energii

•

Jak czytać wykresy energetyczne?

•

zobacz animację

© M. Krasiński 2005

Fizyka 1 (2005/2006) Wykład IV 4/4

Dla wykresu powyżej przyjmijmy, że a = 1 m oraz m =1 kg:

•

Siła działająca na obiekt w punkcie x = 3,9 m wynosi........... Ciała nigdy nie ma w tym
punkcie!

•

Siła działająca na obiekt w punkcie x = 3,2 m wynosi:

F

x

=−

∂E

p

∂ x

= −

E

2

−E

1

x

2

−x

1

= −

6 [J]

−0 [J]

4 m

−3 m

=− 6 N

i działa w lewo (znak minus)

•

Siła działająca na obiekt w punkcie x = 1,8 m wynosi:

F

x

=−

∂E

p

∂ x

= −

E

2

−E

1

x

2

−x

1

=−

0 [J]

−4 [J]

2 m

−1 m

= 4 N

i działa w prawo (znak plus)

•

Prędkość ciała w x = 2,5 m wynosi

v

=



2 E

kin

m

=



2

E

C

−E

pot



m

=



2

3 J−2 J 

1 kg

=



2

m

s

2

Pochodzenie zasad zachowania

zachowanie energii

-

jednorodność czasu

zachowanie pędu

-

jednorodność przestrzeni

zachowanie momentu pędu -

izotropowość przestrzeni

© M. Krasiński 2005