W internecie

Gdy rządzi przypadek...

Do czego może się przydać znajomość rachunku
prawdopodobieństwa?

Okazuje się, że pozwala on

fiskusowi łapać nieuczciwych podatników, pomaga
w łamaniu szyfrów, przydaje się grającym w lotto,
a także znajduje zastosowanie przy szyciu ubrań.

E

merytowany dziś profesor matema-

tyki Teodor Hill z Atlanty przepro-

wadził kiedyś ze studentami ekspery-

ment. Poprosił ich o wykonanie 200

rzutów monetą i zapisanie wyniku

losowania na kartce. Zasugerował też,

że jeśli komuś nie będzie się chciało

przeprowadzić losowania, może od-

dać kartkę z wymyślonymi wynikami.

Następnego dnia zebrał notatki i ku

zaskoczeniu studentów bez trudu

wskazał tych, którzy wpisali wyniki

z głowy. Na jakiej podstawie? Otóż

zazwyczaj wydaje się nam, że skoro

wypadł np. orzeł, to następna powin-

na wypaść reszka, żeby było bardziej

losowo. Unikamy więc ciągów orłów

lub reszek występujących po sobie

kilka razy z rzędu.

Tego typu wpadki mogą mieć po-

ważne konsekwencje dla osób, któ-

re próbują sfałszować np. zeznanie

podatkowe. Okazuje sie bowiem, że

częstość występowania określonych

cyfr na pierwszym miejscu w różnych

zbiorach danych nie jest jednakowa.

Prawidłowość tę matematycy nazy-

wają prawem Benforda i wystarczy

zastosować program komputerowy

opierający się na tym prawie, aby wy-

typować zeznania podatkowe, w które

wpisano dane wzięte z głowy.

1.

Poproś o pomoc w przeprowadze-

niu tego doświadczenia kilku kolegów

i koleżanek z klasy – niech każdy 20 ra-

zy rzuci monetą i zapisze, ile wypadło

orłów. Na tablicy narysuj tabelkę z licz-

bami od 0 do 20, po czym policz, ilu

uczniom wypadło 0 orłów, ilu 1, ilu

2 i tak dalej aż do 20. Dane z tabelki

można przedstawić w postaci wykresu,

gdzie na jednej osi będzie liczba or-

łów, na drugiej liczba uczniów, którzy

otrzymali dany wynik doświadczenia.

Jak wygląda wykres?

2.

Weź z kolektury Lotto 30 kuponów

Dużego Lotka i daj do wypełnienia 30

osobom. Zsumuj liczby zakreślone na

każdym kuponie i przedstaw otrzyma-

ne wyniki w formie wykresu jak w po-

przednim przypadku. Poproś kogoś,

Trójkąt Pascala
www.mathsisfun.com/pascals-
triangle.html

Interaktywna tablica Galtona
http://demonstrations.wolfram.com/
FlexibleGaltonBoard/

Prawo Benforda
http://mathworld.wolfram.com/
BenfordsLaw.html

Hazard i matematyka
http://serwisy.gazeta.pl/nauka
/1,34148,2476793.html

kto ma wystarczająco dużo cierpliwo-

ści, żeby wypełnił sam 30 kuponów,

zaznaczając, aby zrobił to losowo.

W tym przypadku sumy skreślonych

liczb prawdopodobnie nie ułożą się

w krzywą dzwonową. Dlaczego?

3.

Skreśl na kuponie Dużego Lotka

sześć dowolnych liczb i sześć liczb

w jednym rzędzie (pionowym lub po-

ziomym). Pokaż komuś, kto gra w Lot-

to, i spytaj, który układ ma większe

szanse na wylosowanie. Prawie nikt

z pytanych nie wskaże na liczby skre-

ślone w jednym rzędzie, choć z punktu

widzenia rachunku prawdopodobień-

stwa taki układ jest równie dobry jak

każdy inny. Ten sposób typowania

liczb ma jednak pewną zaletę – czy

potrafisz powiedzieć jaką?

W kryptologii jednym z najbezpiecz-

niejszych sposobów szyfrowania infor-

macji jest użycie tzw. klucza losowego

– czyli ciągu liczb losowych. W czasie

II wojny światowej Rosjanie wykorzy-

stywali ten sposób do szyfrowania

wiadomości. Tyle że do generowania

ksiąg kodowych wykorzystali litery

„losowo” wypisywane przez ludzi.

Niemcy dość szybko zorientowali się,

że klucze szyfrujące nie są w pełni

losowe – można było znaleźć w nich

pewne regularności wynikające z te-

go, że osoba pisząca „losowy” ciąg

znaków nie chciała używać liter, które

przed chwilą napisała, a co więcej,

pisząc na maszynie, nie chciała uży-

wać znaków ze środka klawiatury. To

pomogło w złamaniu pozornie bez-

piecznych szyfrów.

Nawet ciągi liczb otrzymywane za

pomocą komputera są liczbami pseu-

dolosowymi, gdyż są generowane

przez mikroprocesor według algo-

rytmu, którego punktem wyjścia jest

licznik cykli zegara od momentu uru-

chomienia mikroprocesora. Zakłada się

jednak, że moment startu programu

generującego liczby jest losowy, a poza

tym czas wykonywania zadania zależy

od czynników losowych – na przykład

liczby programów wykonywanych

przez mikroprocesor oprócz genera-

tora liczb losowych. Może się jednak

zdarzyć, że wyniki pracy takiego gene-

ratora będą bardzo powtarzalne.

W jaki sposób można więc znaleźć

prawdziwie losowy ciąg znaków.

W praktyce dobrym źródłem może

być na przykład zapis płci dzieci ro-

dzących się po kolei w jakimś szpitalu

w długim okresie.

Rozkład prawdopodobieństwa występo-
wania cyfr na pierwszym miejscu
w różnych zbiorach danych opisuje
prawo Benforda. Pozwala ono na wykry-
cie sfałszowanych zeznań podatkowych

Fot. Corbis, Centrum Nauki K

opernik

www.kopernik.org.pl

A to ciekawe

Więcej doświadczeń

CENTRUM NAUKI

KOPERNIK

Eksper

ymentuj!

CENTRUM NAUKI

KOPERNIK

Eksper

ymentuj!

Eksper

ymentuj!

D

ziwna deska z kołkami i przegród-

kami, którą można obejrzeć na

wystawie, zwana jest tablicą Galtona.

Pozwala ona eksperymentalnie poka-

zać, na czym polega tak zwany roz-

kład zmiennej losowej – jedno z naj-

ważniejszych narzędzi współczesnej

statystyki.

Pojęcie zmiennej losowej pojawiło się

w matematyce w XVIII wieku za spra-

wą Blaisa Pascala i Pierre’a de Ferma-

ta, którzy usiłowali w matematyczne

ramy ująć to, co na pierwszy rzut oka

uchwycić się w te ramy nie da, czyli gry

losowe, takie jak kości czy ruletka.

Matematycy nie są w stanie odpo-

wiedzieć na pytanie, jakie padną licz-

by w najbliższym losowaniu Dużego

Lotka, mogą jednak zaprojektować

biznesowe podstawy gry losowej. Taka

gra nie może być zbyt trudna, by raz

na kilka losowań ktoś mógł wygrać,

i nie może być zbyt prosta, by nagroda

pieniężna za wylosowanie szóstki była

wystarczająco atrakcyjna.

Z czasem matematycy rozwinęli

ogromny aparat do badania zjawisk,

w których rządzi przypadek.

Tablica Galtona jest sposobem na

pokazanie pewnego eksperymentu

losowego. Kulka wrzucona na samej

górze spada na pierwszy kołek i z jed-

nakowym prawdopodobieństwem

może polecieć w lewo albo w pra-

wo. Piętro niżej jest tak samo i tak

dalej aż do przegródki na samym dole.

R

ozkłady prawdopodobieństwa sto-

sowane są we wszelkiego rodzaju

badaniach statystycznych. Na przykład

wzrost ludzi w określonej populacji

(np. dorosłych mężczyzn mieszkają-

cych w Polsce) układa się według roz-

kładu normalnego. Gdyby producenci

ubrań robili tyle samo garniturów na

każdy wzrost, w magazynach zosta-

wałoby im mnóstwo ubrań uszytych

na wyjątkowo wysokich ludzi i wyjąt-

kowo niskich. Dzięki rozkładowi nor-

malnemu łatwo oszacować, ile trzeba

zrobić sztuk w każdym rozmiarze przy

założeniu, że chcemy wyproduko-

wać, dajmy na to, 10 tys. garniturów.

W ten sposób każdy, kto wchodzi do

sklepu, ma szansę dobrać ubranie na

swój wzrost, a producenci nie muszą

wydawać niepotrzebnie pieniędzy na

to, co sprzedaje się słabo.

D

zieło „O grze w kości” Gerolama

Cardano (1501-1576) było pierwszą

znaną pracą poświęconą rachunkowi

prawdopodobieństwa.

Później tym samym zagadnieniem

zajmowali się w XVII wieku Pierre de Fer-

mat, Blaise Pascal i Christiaan Huygens.

Jednak dopiero w XVIII wieku Jakob Ber-

noulli i Abraham de Movire zaczęli trak-

tować rachunek prawdopodobieństwa

jako gałąź matematyki. Ponieważ na

początku głównie chodziło o opisanie

zasad rządzących grami hazardowymi,

wszystkie ówczesne prace skupiały się

na rozkładach dyskretnych, to znaczy

takich, w których liczba losowań jest

skończona (albo przeliczalna).

W XVIII wieku za sprawą Rogera Co-

tesa zaczęto stosować rachunek praw-

dopodobieństwa do szacowania błędów

pomiarowych, co było później rozwijane

przez Pierre’a-Simona Laplace’a, który ja-

ko pierwszy zaczął przedstawiać rozkład

błędu pomiarowego jako krzywą. To

właśnie jego teorię później wyszlifował

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) i dziś

opis rozkładu normalnego jest często

zwany rozkładem Gaussa.

W trakcie badań nad geograficznymi

danymi pomiarowymi Gauss zauważył,

że część wyników odbiega od pewnej

średniej wartości. Na każdy wynik pomia-

rów odległości wpływało mnóstwo czyn-

ników, takich choćby jak temperatura po-

wietrza w danym dniu. Gauss stwierdził,

że pewne odchylenia są naturalne i nie

trzeba się nimi przejmować. Wcześniej

wielu naukowców tego nie wiedziało,

więc w ich pracach, w których dowodzą

eksperymentalnie swoich tez, możemy

znaleźć wyniki pomiarów, w których błąd

nie ma rozkładu Gaussa. Wprawdzie są

takie zjawiska, w których błąd pomiaru

rzeczywiście ma niegaussowski rozkład,

która każdemu numerowi przegródki

przyporządkowuje prawdopodobień-

stwo wpadnięcia do niej kulki, nazywa-

my rozkładem prawdopodobieństwa.

Łatwo zauważyć, że jeśli wrzucimy do

lejka na górze deski odpowiednio dużo

kulek, to w przegródkach zaczną się

one układać w krzywą przypominającą

dzwon. Dotykamy tu najważniejszego

twierdzenia rachunku prawdopodo-

bieństwa, zwanego centralnym twier-

dzeniem granicznym. Twierdzenie ma

kilka szczegółowych założeń i nie warto

przytaczać go w całości, ale można je

streścić w następujący sposób: w więk-

szości przypadków suma zmiennych

losowych jest zmienną losową o roz-

kładzie przypominającym dzwon.

Krzywa dzwonowa ma swoją nazwę

– mówimy o niej, że jest albo „roz-

kładem normalnym”, albo „krzywą

Gaussa”. Mówimy o niej „normalna”,

opisuje bowiem większość zjawisk loso-

wych spotykanych w codziennym życiu,

takich jak np. odchylenie od średniego

wzrostu, błąd pomiaru, wyniki głoso-

wania w wyborach, rozkład punktacji

z testów egzaminacyjnych itp.

Nazwisko Gaussa związane jest

z tym rozkładem dlatego, że ten wielki

niemiecki matematyk bardzo przyczy-

nił się do zrozumienia mechanizmów

rządzących rozkładem normalnym,

choć nie on go odkrył.

Eksperyment przypomina wielokrot-

ny rzut monetą – jak wypadnie resz-

ka, kierujemy kulkę w lewo, jak orzeł

– w prawo.

Wystarczy wrzucić kilka kulek do lej-

ka na górze, by zorientować się, że nie

wszystkie przegródki na dole zapełniają

się w jednakowym tempie. To logiczne,

bo do skrajnych przegródek prowadzi

mniej dróg dojścia niż do środkowych.

Prawdopodobieństwo trafienia kulki do

danej przegródki opisane jest przez tak

zwany schemat Bernoulliego, bardzo

często spotykany w szkole na wszelkich

klasówkach i sprawdzianach z rachun-

ku prawdopodobieństwa.

Jeśli ponumerujemy przegródki na

dole tablicy Galtona, to możemy mó-

wić, że numer przegródki, do której tra-

fi kulka, jest zmienną losową. Funkcję,

Rozkład normalny jest jednym z najważniejszych rozkładów statystycznych,
ponieważ opisuje wiele zjawisk, które spotykamy w naturze. Podlega mu wiele cech
fizjologicznych, np. wzrost uczniów w danej szkole lub masa ich ciała

ale w większości wypadków dane eks-

perymentalne były po prostu delikatnie

fałszowane – uczeni wyrzucali wyniki ich

zdaniem sprzeczne z dowodzoną tezą.

W XX wieku probabilistyka wkroczyła

w nowe rejony, okazało się bowiem, że

nowa gałąź fizyki – fizyka kwantowa

– rządzi się właśnie prawami rachun-

ku prawdopodobieństwa. Wiele wła-

ściwości materii opisywanych jest jako

prawdopodobieństwo wystąpienia sumy

stanów kwantowych poszczególnych

cząsteczek elementarnych.

Znajomość rachunku prawdopodobieństwa przydaje się w wielu praktycznych
sytuacjach, np. w prowadzeniu interesów. Producenci ubrań muszą brać pod uwagę,
ile sztuk odzieży w konkretnym rozmiarze ma szanse znaleźć nabywców

Zasługę odkrycia rozkładu normalnego przypisuje się Carlowi Friedrichowi Gaussowi.

Podobizna tego wielkiego matematyka nazywanego przez sobie współczesnych

księciem matematyków widniała na dziesięciomarkowym banknocie

Podstawowym rozkładem zmiennych
losowych jest rozkład normalny zwany
też rozkładem Gaussa. Ilustruje on
zjawiska, które cechuje przypadkowość

Fot. Corbis, East News, archiwum x2; rys. Małgorzata Świentczak

Szkic wykonany
przez Galtona
w 1889 roku
pokazuje
tablicę,
nazwaną od
jego nazwiska
tablicą Galtona.
Miała ona
zilustrować, jaki
wpływ na
mierzoną
wielkość mają
losowe
zdarzenia, które
z jednakowym
prawdopodo-
bieństwem
zwiększają
i zmniejszają
wyniki pomiaru

Trochę teorii

Eksper

ymentuj!

O historii

Współczesne zastosowania