1. Określić równania stanu i wyjść dla obwodu elektrycznego jak na poniższym rysunku. Jako

wielkości wyjściowe przyjąć spadki napięć na opornikach R

1

, R

2

.

R

1

R

2

L

C

u

u

C

i

1

i

2

i

3

u

R1

u

R2

Zmienne stanu (napięcie na kondensatorze i prąd cewki): u

C

, i

2

Wyjścia: u

R1

, u

R2

Równania opisujące obwód:

0

C

1

1

=

−

−

u

i

R

u

(1)

0

2

2

2

C

=

−

−

dt

di

L

i

R

u

(2)

0

3

2

1

=

−

−

i

i

i

(3)

Poszczególne prądy wynoszą:

1

C

1

R

u

u

i

−

=

(4)

dt

du

C

i

C

3

=

(5)

Wstawiając (4) i (5) do (3) uzyskamy:

0

C

2

1

C

=

−

−

−

dt

du

C

i

R

u

u

(6)

Z (6) uzyskujemy pierwsze równanie stanu:

C

i

C

R

u

u

dt

du

2

1

C

C

−

−

=

(7)

Z (2) uzyskujemy drugie równanie stanu:

2

2

C

2

1

i

L

R

u

L

dt

di

−

=

(8)

Z (1) uzyskujemy pierwsze równanie wyjść:

C

R1

u

u

u

−

=

(9)

Drugie równanie wyjść jest następujące:

dt

di

L

u

u

2

C

2

R

−

=

(10)

Po wstawieniu (8) do (10) uzyskamy:

2

2

2

2

C

C

2

R

i

R

i

R

u

u

u

=

+

−

=

(11)

(co również można było otrzymać mnożąc bezpośrednio zmienną stanu i

2

przez rezystancję R

2

)

Ewentualnie można jeszcze uporządkować kolejność składników po prawych stronach równań: (7), (8),
(9), (11):

u

C

R

i

C

u

C

R

dt

du

1

2

C

1

C

1

1

1

+

−

−

=

(7a)

C

2

2

2

1

u

L

i

L

R

dt

di

+

−

=

(8a)

u

u

u

+

−

=

C

R1

(9a)

2

2

2

R

i

R

u

=

(10a)

2. Określić równania stanu i wyjść dla obwodu elektrycznego jak na poniższym rysunku. Jako

wielkość wyjściową przyjąć spadek napięcia na oporniku R.

L

R

u

i

u

C

u

R

C

i

C

i

L

Zmienne stanu (napięcie na kondensatorze i prąd cewki): u

C

, i

L

.

Wyjście: u

R

Równania opisujące obwód:

0

L

=

−

−

dt

di

L

Ri

u

(1)

0

C

L

=

− u

dt

di

L

(2)

0

C

L

=

−

−

dt

du

C

i

i

(3)

Z (2) uzyskujemy 1-sze równanie stanu:

C

L

1

u

L

dt

di

=

(4)

Z (1)–(3) uzyskujemy:

0

C

C

L

=

−











 +

−

u

dt

du

C

i

R

u

(5)

L

C

C

Ri

u

u

dt

du

RC

−

−

=

(5a)

(

)

L

C

C

1

1

i

C

u

u

RC

dt

du

−

−

=

(5b)

Wyjście:

C

R

u

u

u

−

=

(6)