1.  Określić równania stanu i wyjść dla obwodu elektrycznego jak na poniższym rysunku. Jako 

wielkości wyjściowe przyjąć spadki napięć na opornikach R

1

, R

2

. 

R

1

R

2

L

C

u

u

C

i

1

i

2

i

3

u

R1

u

R2

 

Zmienne stanu (napięcie na kondensatorze i prąd cewki): u

C

, i

2 

Wyjścia: u

R1

, u

R2

 

Równania opisujące obwód: 

0

C

1

1

=

−

−

u

i

R

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 

0

2

2

2

C

=

−

−

dt

di

L

i

R

u

   

 

 

 

 

 

 

 

(2) 

0

3

2

1

=

−

−

i

i

i

   

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) 

Poszczególne prądy wynoszą: 

1

C

1

R

u

u

i

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4) 

dt

du

C

i

C

3

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) 

Wstawiając (4) i (5) do (3) uzyskamy: 

0

C

2

1

C

=

−

−

−

dt

du

C

i

R

u

u

 

 

 

 

 

 

 

 

(6) 

Z (6) uzyskujemy pierwsze równanie stanu: 

C

i

C

R

u

u

dt

du

2

1

C

C

−

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7) 

Z (2) uzyskujemy drugie równanie stanu: 

2

2

C

2

1

i

L

R

u

L

dt

di

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8) 

Z (1) uzyskujemy pierwsze równanie wyjść:  

C

R1

u

u

u

−

=

   

 

 

 

 

 

 

 

 

(9) 

Drugie równanie wyjść jest następujące: 

dt

di

L

u

u

2

C

2

R

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10) 

Po wstawieniu (8) do (10) uzyskamy:  

2

2

2

2

C

C

2

R

i

R

i

R

u

u

u

=

+

−

=

   

 

 

 

 

 

 

(11) 

(co również można było otrzymać mnożąc bezpośrednio zmienną stanu i

2

 przez rezystancję R

2

) 

 

Ewentualnie  można  jeszcze  uporządkować  kolejność  składników  po  prawych  stronach  równań:  (7),  (8), 
(9), (11): 

u

C

R

i

C

u

C

R

dt

du

1

2

C

1

C

1

1

1

+

−

−

=

 

 

 

 

 

 

 

(7a) 

C

2

2

2

1

u

L

i

L

R

dt

di

+

−

=

  

 

 

 

 

 

 

 

(8a) 

u

u

u

+

−

=

C

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9a) 

2

2

2

R

i

R

u

=

   

 

 

 

 

 

 

 

 

(10a) 

 

2.  Określić  równania  stanu  i  wyjść  dla  obwodu  elektrycznego  jak  na  poniższym  rysunku.  Jako 

wielkość wyjściową przyjąć spadek napięcia na oporniku R. 

L

R

u

i

u

C

u

R

C

i

C

i

L

 

Zmienne stanu (napięcie na kondensatorze i prąd cewki): u

C

, i

L

.

 

Wyjście: u

R 

Równania opisujące obwód: 

0

L

=

−

−

dt

di

L

Ri

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 

0

C

L

=

− u

dt

di

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) 

0

C

L

=

−

−

dt

du

C

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) 

Z (2) uzyskujemy 1-sze równanie stanu: 

C

L

1

u

L

dt

di

=

   

 

 

 

 

 

 

 

 

(4) 

Z (1)–(3) uzyskujemy: 

0

C

C

L

=

−











 +

−

u

dt

du

C

i

R

u

   

 

 

 

 

 

 

(5) 

L

C

C

Ri

u

u

dt

du

RC

−

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(5a) 

(

)

L

C

C

1

1

i

C

u

u

RC

dt

du

−

−

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(5b) 

Wyjście: 

C

R

u

u

u

−

=

   

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)