dr in˙z. Magdalena Topczewska

´

Cwiczenia nr 3

Zmienna losowa

Zakres teorii

• definicja zmiennej losowej

• dystrybuanta zmiennej losowej

• rozk lady zmiennej losowej dyskretnej (zero-jedynkowy, Bernoulliego, Poissona, jednostajny, geometryczny)

• rozk lady zmiennej losowej ci

,

ag lej (jednostajny, wyk ladniczy, normalny, standaryzowany normalny, t-

Studenta)

Definicja zmiennej losowej
Niech b

,

edzie dana przestrze´

n probabilistyczna (Ω, S, P ). Zmienn

,

a losow

,

a X nazywamy funkcj

,

e okre´

slon

,

a w przestrzeni Ω zda-

rze´

n elementarnych, przyjmuj

,

ac

,

a warto´

sci rzeczywiste, tak

,

a ˙ze dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x zbi´

or zdarze´

n elementarnych, dla

kt´

orych X < x nale ˙zy do algebry S.

Je ˙zeli X przyjmuje sko´

nczon

,

a lub przeliczaln

,

a liczb

,

e warto´

sci x

i

(i = 1, 2, . . .) odpowiednio z prawdopodobie´

nstwami p

i

(i = 1, 2, . . .;

P p

i

= 1; p

i

> 0), to X nazywamy zmienn

,

a losow

,

a dyskretn

,

a (skokow

,

a).

Definicja rozk ladu prawdopodobie´

nstwa (zmienna dyskretna)

Funkcj

,

e

p

i

(x

i

) = P (X = x

i

)

okre´

slon

,

a na zbiorze liczb rzeczywistych x

i

i przyjmuj

,

ac

,

a warto´

sci p

i

, b

,

ed

,

ace prawdopodobie´

nstwami (i = 1, 2, . . .;

P p

i

= 1;

p

i

> 0) nazywamy rozk ladem prawdopodobie´

nstwa zmiennej losowej X.

Definicja dystrybuanty (zmienna dyskretna)
Funkcj

,

e

F (x) = P (X < x) =

X

x

i

<x

p

i

nazywamy dystrybuant

,

a zmiennej losowej dyskretnej X.

W lasno´

sci dystrybuanty

• F (x) jest niemalej

,

aca

• 0 6 F (x) 6 1
• F (−∞) = 0 oraz F (∞) = 1

Je ˙zeli zmienna losowa X przyjmuje warto´

sci z pewnego przedzia lu sko´

nczonego lub niesko´

nczonego, a liczba jej warto´

sci jest nie-

przeliczalna, to X nazywamy zmienn

,

a losow

,

a ci

,

ag l

,

a.

Definicja zmiennej losowej ci

,

ag lej

Je ˙zeli dla dystrybuanty zmiennej losowej X istnieje nieujemna funkcja f (x) taka, ˙ze dla ka ˙zdego x ∈ R

F (X) =

x

Z

−∞

f (u)du

to m´

owimy, ˙ze X jest zmienn

,

a losow

,

a ci

,

ag l

,

a.

Funkcj

,

e f (x) nazywamy g

,

esto´

sci

,

a zmiennej losowej X (f (x) = F

0

(x)).

Zadania

Zad 1.
Zmienna losowa ma rozk lad normalny N (0, 1). Obliczy´

c P (0 < X < 1), P (X > 2), P (|X| < 1).

Zad 2.
Zmienna losowa ma rozk lad normalny N (1, 2). Obliczy´

c P (X < 0), P (X < 1), P (X > −1).

Zad 3.
Znale´

z´

c rozk lad i dystrybuant

,

e sumy oczek w dw´

och rzutach kostk

,

a.

Zad 4.
Prawdopodobie´

nstwo, ˙ze statystyczny student nie jest przygotowany do ´

cwicze´

n wynosi

1
3

. Prowadz

,

acy ´

cwiczenia

wybiera przypadkowo cztery osoby. Znale´

z´

c rozk lad i dystrybuant

,

e liczby nieprzygotowanych do ´

cwicze´

n stu-

dent´

ow. Obliczy´

c P (X = 3), P (X < 2).

1

Zad 5.
Prawdopodobie´

nstwo zerwania si

,

e nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty jest r´

owne 0.003. Tkaczka

obs luguje 1000 wrzecion. Oblicz prawdopodobie´

nstwo, ˙ze w czasie jednej minuty zerw

,

a si

,

e

1. dok ladnie 2 nici

2. co najwy˙zej jedna ni´

c

3. co najmniej 3 nici

4. co najmniej 1 ni´

c.

Zad 6.
Dana jest funkcja prawdopodobie´

nstwa

x

i

−5

−2

0

1

3

8

p

i

0.1

0.2

0.1

c

0.2

0.1

Wyznaczy´

c:

1. sta l

,

a c

2. wykres funkcji prawdopodobie´

nstwa

3. dystrybuant

,

e i jej wykres

4. prawdopodobie´

nstwa P (X = 1), P (X < 3), P (X >= 0), P (−1 <= X < 2) dwoma sposobami:

(a) korzystaj

,

ac z danej funkcji prawdopodobie´

nstwa

(b) korzystaj

,

ac z wyznaczonej dystrybuanty

5. znalezione prawdopodobie´

nstwa zilustrowa´

c na rysunku dystrybuanty.

Zad 7.
Sprawdzi´

c, czy funkcja

f (x) =



0

dla x < 0

e

x

dla x > 0

jest g

,

esto´

sci

,

a prawdopodobie´

nstwa. Znale´

z´

c dystrybuant

,

e F (x). Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo P (X <

1
2

)

i P (1 < X < 2). Zinterpretowa´

c te prawdopodobie´

nstwa na wykresie g

,

esto´

sci i dystrybuanty.

Zad 8.
Dana jest funkcja

f (x) =



A

x

4

dla |x| > 1

0

dla x < 1

Dla jakiej warto´

sci A funkcja jest g

,

esto´

sci

,

a prawdopodobie´

nstwa zmiennej losowej X? Znale´

z´

c dystrybuant

,

e

oraz prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze zmienna losowa przyjmuje warto´

s´

c wiksz

,

a od 2.

Zad 9.
Funkcja

f (x) =



0

dla x 6 0

1 − e

−x

dla x > 0

jest dystrybuant

,

a zmiennej losowej X. Wyznaczy´

c funkcj

,

e g

,

esto´

sci zmiennej losowej X.

Zad 10.
Robotnik obs luguje 4 jednakowe warsztaty funkcjonuj

,

ace automatycznie i niezale˙znie od siebie. Prawdopo-

dobie´

nstwo, ˙ze w ci

,

agu godziny warsztat b

,

edzie wymaga l zaje

,

ecia si

,

e nim wynosi 0.9.

Poda´

c najbardziej

prawdopodobn

,

a liczb

,

e warsztat´

ow wymagaj

,

acych interwencji robotnika.

Zad 11.
Egzaminator zadaje studentom pytania. Prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze student odpowie na ka˙zde pytanie jest

r´

owne 0.8. Egzaminator przerywa egzamin w chwili, gdy student nie umie odpowiedzie´

c na zadane pytanie.

Poda´

c rozk lad zmiennej losowej X, b

,

ed

,

acej liczb

,

a pyta´

n, kt´

ore egzaminator zadawa l studentowi oraz znale´

z´

c

najbardziej prawdopodobn

,

a liczb

,

e pyta´

n.

Zad 12.
Wyznaczy´

c sta l

,

a b, by funkcja f (x) = bx

3

dla 0 6 x 6 1 i 0 w pozosta lych przypadkach by la funkcj

,

a g

,

esto´

sci.

2