36. Definicja zmiennej losowej. Zmienna losowa i jej rozkład. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej.

Definicja. Niech (Ω,  ℱ,   P) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa. Zmienną losową nazywamy funkcję X : Ω → ℝ taką, że

X⁻¹((−∞,t)) = {ω:X(ω)<t}∈ℱ,         ∀t ∈ ℝ

Rozkład zmiennej losowej. Niech (Ω,ℱ,P) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa, zaś X : Ω → ℝ będzie zmienną losową. Wówczas rozkładem zmiennej losowej X nazywamy rozkład P_X, zdefiniowany następująco:

P_X(B) = P(X⁻¹(B)) dla B∈ℬ(ℝ) 

Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej X.

Definicja. Rozkład n-wymiarowy P nazywamy rozkładem dyskretnym, jeżeli istnieje zbiór borelowski K ⊂ ℝⁿ taki, że

P(K) = 1 oraz x ∈ K  ⇒ P(x) > 0.

Uwaga. Występujący w powyższej definicji zbiór K jest skończony lub przeliczalny.

Definicja. Rozkład n-wymiarowy P nazywamy rozkładem ciągłym, jeżeli istnieje funkcja całkowalna f :  ℝⁿ→ℝ taka, że dla każdego zbioru borelowskiego A ⊂ ℝⁿ

P(A) = ∫_Af(x)dx,

gdzie ∫_Af(x)dx oznacza całkę wielokrotną po zbiorze A z funkcji f. Funkcję f nazywamy wówczas gęstością rozkładu P.

Definicja. Dystrybuantą nazywamy funkcję F:ℝ → ℝ spełniającą następujące cztery warunki:

1. F jest funkcją niemalejącą, tzn.: x < y ⇒ F(x)≤F(y);

2. F jest prawostronnie ciągła, tzn.: F(x)= F(a) dla każdego a∈ℝ

3. F(x)= 1

4. F(x)= 0

• Wartość oczekiwana

Definicja 1. Niech (Ω,ℱ,P) będzie przestrzenia prawdopodobieństwa, zaś X : Ω → ℝ zmienną losową o rozkładzie dyskretnym. Wartością oczekiwaną nazywamy liczbę:

$$E\left( X \right) = \sum_{i = 1}^{N}{x_{i}p_{i}}$$

Gdzie p_i = P(X=x_i),       i = 1,  …, N,      N ≤ ∞.

Definicja 2. Niech (Ω,ℱ,P) będzie przestrzenia prawdopodobieństwa, zaś X : Ω → ℝ zmienną losową o rozkładzie ciągłym z gęstością f. Wartością oczekiwaną nazywamy liczbę:

E(X) = ∫_−∞^∞xf(x)dx

• Wariancja

Definicja. Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa, zaś zmienną losową. Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę:

σ² = D²X = E(X−EX)²

Inne oznaczenie: VarX

Natomiast liczbę $\sigma = DX = \sqrt{D^{2}X}$ nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej X.

W przypadku zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym wariancję obliczmy ze wzoru:

$$D^{2}X = \sum_{i = 1}^{N}{{(x_{i} - \text{EX})}^{2}p_{i}}$$

W przypadku zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym wariancję obliczamy ze wzoru:

D²X = ∫_−∞^∞(x−EX)²f(x)dx

Uwaga.

1. Zawsze D²X ≥ 0.

2. D²X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P(X=EX) = 1 tzn. gdy X przyjmuje tylko jedną wartość (identyczną wtedy z wartością oczekiwaną). Taka zmienna losowa nazywana jest zdegenerowaną.