1

Jednowymiarowa zmienna losowa

Zadanie 1
Zmienna losowa przyjmuje wartości –1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi, odpowiednio, ¼, ½ i
¼ . Należy:
a)

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej

b)

Zdefiniować i przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej.

Zadanie 2
Mając daną dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej X:


F(x)=


wyznacz:
a)

moment zwykły rzędu pierwszego zmiennej X

b)

P(X≤0,5), P(0,5≤X≤5), P(X≥1), P(X>0,5).

c)

Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuantę.

Zadanie 3
Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisują następujące wartości P(-4)=0,1, P(-2)=0,2,
P(0)=0,5, P(1)=0,1 i P(4)=0,1.

a)

Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=2X + 1.

b)

Czy przekształcenie matematyczne zmiennej X w zmienną Y zgodnie z powyższą regułą
zmienia wartości dwóch podstawowych parametrów rozkładu, tj. wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej Y w stosunku do wartości parametrów zmiennej X. Udowodnij
odpowiedź.

Zadanie 4
Zmienna losowa X ma rozkład:

x

i

-1

0

1

2

P(x

i

)

0,1

0,4

0,2

0,3

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y=X

2

+1

b) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z=3X+1

Zadanie 5
Z wcześniejszych badań jakości produkcji wynika, że 20 partii produkcji na 100 nie spełnia przyjętych
norm i zostaje odrzucona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kontrola odrzuci 2 partie żarówek z 10
zbadanych?

Zadanie 6
Prawdopodobieństwo, że sprzęt zakupiony w pewnym sklepie AGD nie trafi w ustalonym terminie
pod wskazany adres wynosi 0,25. Ekipa transportowa ma dowieźć 6 lodówek do nowych właścicieli.
Obliczyć
a)

jaka jest oczekiwana liczba lodówek dostarczonych w terminie na wskazany adres?

b)

prawdopodobieństwo, że wszystkie lodówki trafią pod wskazany adres,

c)

prawdopodobieństwo, że będą 2 pomyłki,

d)

prawdopodobieństwo, że będą co najmniej 3 pomyłki.

Jakie założenia należy przyjąć w rozwiązaniu zadania?

Zadanie 7
Czas świecenia żarówki ma rozkład normalny z parametrami

µ

= 2000 godz. oraz

σ

=

200 godz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żarówka będzie świecić:

a)

od 1800 do 2200 godzin?

0 dla x<0,5
1/3 dla 0,5≤x<1
2/3 dla 1≤x<5
1 dla x≥5

2

b)

mniej niż 1600 godzin?

c)

więcej niż 2600 godzin ?

d)

dokładnie 2100 godzin?

e)

Dla jakiej wartości czasu świecenia żarówki dystrybuanta w badanym rozkładzie przyjmuje
wartość 0,25? Proszę zinterpretować tę wielkość.

Zadanie 8
Waga kotów dachowców jest zmienną losową (X) o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3 kg i
odchyleniu standardowym równym 0,5 kg. Waga psów podwórkowych jest zmienną losową (Y) o
rozkładzie normalnym N(6 kg; 1 kg). Co jest bardziej prawdopodobnbne: że waga losowo wybranego
kota będzie większa niż 2,5 kg, czy znalezienie psa, który będzie ważył więcej niż 7,5 kg. Zaznaczyć
wyniki na wykresie funkcji gęstości przed i po standaryzacji.

Zadanie 9
Zakładając, że czas oczekiwania w kolejce do banku na SGH ma rozkład normalny N(15, 5), określić,
jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie się stało w kolejce:
a)

w czasie nie dłuższym niż 10 min?

b)

w czasie krótszym niż 18 min ale dłuższym niż 12 min?

c)

jaki procent klientów będzie oczekiwał w kolejce w czasie nie krótszym niż 18 min?

Wyniki proszę zilustrować graficznie.

Zadanie 60
Janek biega ze średnią prędkością 6 km. na godz. z odchyleniem standardowym wyników 2 godz.,
rzuca młotem zaś, średnio na 30 m, z odchyleniem standardowym 15 m. Dziś Janek przebiegł dystans
z prędkością 7 km na godz. i rzucił młotem na 32 m. Jeśli przyjąć, że wyniki sportowe Janka mają
rozkład normalny, to:
a)

Jaki procent wyników Janka w bieganiu jest gorszych od dzisiejszego?

b)

Jaki procent wyników w rzucie młotem jest lepszych od dzisiejszego?

c)

Jakie wyniki Janka należą do 5% najlepszych w bieganiu?

d)

Jakie wyniki Janka należą do 10% najgorszych w rzucie młotem?

Zadanie 11
Średnia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma rozkład
normalny obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a)

losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg,

b)

losowo wybrany produkt waży więcej niż 20 kg.

Zadanie 12
Pewna zmienna losowa z wartością oczekiwaną 5 i wariancją 4 ma rozkład normalny. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że ta zmienna losowa przyjmie wartość ujemną.

Zadanie 13
Określić odchylenie standardowe przyrządu pomiarowego, o którym wiadomo, że z
prawdopodobieństwem 0,95 daje błąd nieprzekraczający 3 jednostek. Zakłada się ,że rozkład błędu
pomiaru jest normalny z wartością oczekiwaną równą zero.

Zadanie 14

Zmienna losowa X ma rozkład N(m, 30). Znaleźć m wiedząc, że P( X < 80 ) = 0,6915.

Zadanie 15
Czas spóźnień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji 0,25.
a)

Jakie jest średni czas spóźnienia jeśli co piąte spóźnienie było krótsze od 2 min.?

b)

Jak często studenci spóźniają się o dłużej niż średni czas spóźnienia?

3

Zadanie 16
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5; 1,5). Obliczyć:
a)

P(m-

σ

< X < m+

σ

)

b)

P(m-2

σ

< X < m+2

σ

)

c)

P(m-3

σ

< X < m+3

σ

)

Zadanie 17
Dane są następujące zmienne losowe: X

∼

N(2;1), Y

∼

N(5;2), Z

∼

N(3;0,5), U

∼

N(1;0). Obliczyć

P(X+Y+Z+U > 12).

Zadanie 18
Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta o 5 stopniach swobody. Obliczyć:
a)

P( | t| < 1,48)

b)

P( t < 2,5 )

c)

P( t > 4,0 )

Zadanie 19
Zmienna losowa

χ

2

ma rozkład chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Obliczyć:

a)

P (

χ

2

>18,3)

b)

P (3,9 <

χ

2

< 18,3)

Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu:
Zbiór zadań: 1.1.1 -1.1.8, 1.1.11, 1.1.13, 1.1.17, 1.1.21, 1.2.1, 1.2.9 - 1.2.20, 1.2.26 – 1.2.29.