Czerwiec 2010, Zestaw 1
Zadanie 1
Zmienna losowa ma rozkład normalny, elementy typowe znajdują się w przedziale (1,5 ; 8,5). Jakie są
prawdopodobieństwa, że: P(X < −0,5); P(X > 2,1); P(0 < X <1,7).
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład N(44;3,5). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:
a) P (X >x1 ) = 0,9652
b) P ( X < x2 ) = 0,8842
c) P ( x3 < X < 49,2 ) = 0,7135
d) P ( 44,3 < X < x4 ) = 0,2871
Zadanie 3
Naszkicuj krzywą gęstości rozkładu normalnego, gdy m = 2; σ = 3 .
Zadanie 4
Prawdopodobieństwo, że samochod osobowy posiada na wyposażeniu gaśnicę z homologacją wynosi 0,71. Poddano kontroli 690 pojazdow. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba pojazdow z gaśnicami będzie :
a) wynosiła dokładnie 489,
b) przekroczy 500,
c) będzie się zawierać w przedziale <481;490>,
d) będzie mniejsza od 460.
Zestaw 2
Zadanie 1
Zmienna losowa ma rozkład normalny, elementy typowe znajdują się w przedziale (35 ;95). Jakie są
prawdopodobieństwa, że: P(X < 0); P(X >125); P(10 < X <127).
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład N(144;3). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:
a) P ( X > x1 ) = 0,0692
b) P ( X < x2 ) = 0,1487
c) P ( x3 < X < 144,2 ) = 0,0135
d) P (139 < X < x4 ) = 0,5871
Zadanie 3
Naszkicuj krzywą gęstości rozkładu normalnego, gdy m = −1; σ = 2 .
Zadanie 4
Badania przeprowadzone na zlecenie CBS News wykazały, że 67% Amerykanow uważa, że rząd powinien bić bilon, mimo, że nie jest to ekonomicznie uzasadnione. Dla proby liczącej 258 osob wyznacz prawdopodobieństwa, że taki pogląd podziela:
a) dokładnie 168 osob,
b) ponad 160 osob i mniej niż 180 osob,
c) od 170 osob (włącznie) do 175 osob (włącznie),
d) ponad 185 osob.
Zestaw 4
Zadanie 1
Dla zbiorowości o rozkładzie normalnym wariancja wynosi 240 j.m.2 , klasyczny wspołczynnik zmienności 45% .
Jakie są prawdopodobieństwa, że P(X < 35); P(X > 41); P(0 < X < 40).
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład N(45;5,5). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:
a) P ( X > x1 ) = 0,5908
b) P ( X < x2 ) = 0,0845
c) P ( x3 < X < 44,7 ) = 0,5005
d) P (50 < X < x4 ) = 0,0232
Zadanie 3
Prawdopodobieństwo tego, że osoba, ktora ma 70 lat przeżyje następne 5 lat wynosi 0,8. W pewnej gminie żyje 156 siedemdziesięciolatkow. Jakie jest prawdopodobieństwo, że następne 5 lat przeżyje:
a) dokładnie 111 osob,
b) ponad 136 osob,
c) co najwyżej 50 osob,
d) nie mniej niż 120 osob i nie więcej niż130 osob.
Zadanie 4
Przeciętna ilość punktow uzyskanych w trakcie egzaminu z MSG wynosiła 48 z odchyleniem standardowym 22.
a) Jaki odsetek zdających przekroczył 90 punktow, zakładamy rozkład normalny ?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma punktow uzyskana przez 210 studentow przybiera wartość z przedziału (9500 ; 9999) ?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia liczba punktow przypadających na jednego studenta w 210 osobowej grupie będzie zawierać się w przedziale od 50 do 52 punktow ?
Zestaw 5
Zadanie 1
Dla zbiorowości o rozkładzie normalnym wariancja wynosi 408 j.m.2 , klasyczny wspołczynnik zmienności 25% .
Jakie są prawdopodobieństwa, że P(X < 85); P(X > 71); P(75 < X < 90).
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład N(356;55). Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniŜsze warunki:
a) P ( X > x1 ) = 0,0908
b) P ( X < x2 ) = 0,6845
c) P ( x3 < X < 355,9 ) = 0,5619
d) P ( 359 < X < x4 ) = 0,1232
Zadanie 3
Amerykańskie statystyki zdrowia informują, że 61,7% wszystkich obrażeń ciała zdarza się poza domem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla 253 wybranych przypadkow obrażeń ciała poza domem miało miejsce:
a) dokładnie 121,
b) więcej niż 165,
c) mniej niż 142,
d) więcej niż 144 i nie więcej niż 155.
e) Ile wynosi ósmy decyl zmiennej losowej – liczba obrażeń ciała poza domem ?
Zadanie 4
Z badań przeprowadzonych przez A.C. Nielsen Company wynika, że 10% amerykańskich dzieci w wieku 2-5 lat spędza przed telewizorem ponad 35,14 godziny tygodniowo, drugi kwartyl wynosi 27,15 godzin tygodniowo, rozkład jest normalny.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane dziecko ogląda telewizję od 22 do 23 godzin
tygodniowo?
b) Wylosowano probę liczącą 201 dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni czas dla tej proby
przekroczy 26 godzin ?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla tej proby (201 dzieci) łączny czas nie przekroczy 5555 godzin ?
Zestaw 7
Zadanie 1
Centralnie położone 4,6% zbiorowości o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale (0,15 ; 0,85). Jakie są prawdopodobieństwa, że P(− 2 < X < −1,5); P(X > 2,8); P(X > 0,25).
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład normalny, wiadomo że przedział <µ + 2σ ;µ + 3σ> wynosi: <12;20>. Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:
a) P ( X < x1 ) = 0,6791
b) P ( X > x2 ) = 0,1092
c) P ( x3 < X < 7 ) = 0,3135
d) P ( 0 < X < x4 ) = 0,0751
Zadanie 3
Pewien biznesmen zakupił okazyjnie 1000 puszek z żywnością dla kotów. Na podstawie wcześniejszych doświadczeń wie, że przeciętnie 18% puszek jest przeterminowanych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przeterminowanych będzie:
a) dokładnie 71 puszek,
b) mniej niż 60 puszek,
c) więcej niż 100 puszek,
d) nie mniej niż 90 i nie więcej niż 96 puszek.
e) Jaka jest dominanta liczby puszek przeterminowanych w probie ?
Zadanie 4
Zmienne losowe X1, X2…… X 80 są niezależne o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem λ = 2 .
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma tych zmiennych losowych przekroczy 202 ?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia tych zmiennych przybierze wartości
z przedziału (1,9 ; 2,05) ?
Zestaw 8
Zadanie 3
Prawdopodobieństwo przyjścia na świat chłopca wynosi 0,515. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 800 noworodkow liczba chłopcow:
a) nie przekroczy liczby dziewczynek,
b) wyniesie dokładnie 444,
c) przekroczy 380,
d) przekroczy 425 i nie przekroczy 450.
Zadanie 4
Zmienne losowe X1 , X 2, ………….. X100 są niezależne o jednakowym rozkładzie dwumianowym
E(X ) = 5; σ =1,2 .
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma tych zmiennych losowych przybierze wartość z przedziału
(480 ;504)?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia tych zmiennych przekroczy 4,75 ?
Zestaw 9
Zadanie 1
Centralnie położone 12% zbiorowości o rozkładzie normalnym zawiera się w przedziale (0,1 ; 0,8). Jakie są prawdopodobieństwa, że P(−1< X < −0,35); P(X > −0,8); P(X > 0,95).
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład normalny, wiadomo że przedział <µ + 2σ ;µ + 3σ> wynosi: <5;29> . Proszę znaleźć wartości xi spełniające poniższe warunki:
a) P ( X < x1 ) = 0,2911
b) P ( X > x2 ) = 0,8712
c) P ( x3 < X < 0 ) = 0,2935
d) P ( - 45,4 < X < x4 ) = 0,1751
Zadanie 3
Prawdopodobieństwo przyjścia na świat dziewczynki wynosi 0,485. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe
wśrod 322 noworodków, liczba dziewczynek:
a) przekroczy liczbę chłopcow,
b) przekroczy 144,
c) wyniesie dokładnie 130,
d) będzie większa niż 162 i mniejsza niż 173.
Zadanie 4
Zmienne losowe Xi są niezależne i mają jednakowe rozkłady P{xi = x j }= 0,25 dla j =1,2,3,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z wylosowanej 156 elementowej proby:
a) suma przyjmie wartość większą od 344 ,
b) średnia arytmetyczna z wylosowanej proby znajdzie się w przedziale (2,51 ; 2,52) ,
c) średnia arytmetyczna z wylosowanej proby nie przekroczy 2,8 ?