Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Wykład 2

Rozkład normalny, jednostajny i dwumianowy

Przemysław Biecek

Dla 1 roku studentów Biotechnologii

Rozkład normalny, gaussowski

Najczęściej wykorzystywany rozkład, do modelowania zmienności
w populacji. Parametrami rozkładu są średnia µ i wariancja σ

2

.

Korzystamy z notacji

X ∼ N (µ, σ

2

).

Gęstość rozkładu normalnego wyraża się wzorem

f (x ) =

1

σ

√

2π

e

−(x−µ)2

2σ2

.

Standardowy rozkład normalny, to rozkład normalny o średniej 0
i wariancji 1

X ∼ N (0, 1).

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

2/25

Przekształcenia zmiennej o rozkładzie normalnym

Przyjmijmy, że zmienna X ma rozkład

X ∼ N (0, 1).

Możemy określić nową zmienną Y następująco

(Y − µ)/σ = X ,

tak określona zmienna ma rozkład

Y ∼ N (µ, σ).

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

3/25

Kwantyle zmiennej losowej o rozkładzie normalnym

−3

−2

−1

0

1

2

3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

pnorm(x)

kwantyl 0.999 = 3.09

kwantyl 0.975 = 1.96

kwantyl 0.95 = 1.64

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

4/25

Przykłady

Przyjmuje się, że współczynnik IQ ma w populacji rozkład
normalny o średniej 100 i odchyleniu standardowym 15.

IQ ∼ N (100, 15).

Ile osób ma IQ większe od 100?

Ile osób ma IQ w przedziale 70 do 130?

Jaki przedział przyjąć by określić 5% osób o największym IQ?

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

5/25

Rozkład dwumianowy

Często wykorzystywany rozkład, do modelowania liczby wystąpień
zjawisk zdarzających się z pewnym prawdopodobieństwem.
Parametrami rozkładu są liczba prób n i prawdopodobieństwo
sukcesu p. Korzystamy z notacji

X ∼ B(p, n).

Średnia wartość wynosi

E (X ) = np

a wariancja

Var (X ) = np(1 − p).

Prawdopodobieństwo wystąpienia k sukcesów

P(X = k) =

n

k



· p

k

· (1 − p)

n−k

.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

6/25

Przykłady

Przypuśćmy, ze prawdopodobieństwo zdania egzaminu nie ucząc
się wynosi 0.01. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu ucząc się
przez tydzień wynosi już 0.7.
Na pierwszym roku wydziału X studenci mają 4 egzaminy.
Opisać rozkład liczby zdanych egzaminów przez

osobę, która nic się nie uczyła,

osobę, która uczyła się tydzień do każdego egzaminu.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

7/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

Rozkład normalny jest ważny, ponieważ jest granicznym
przypadkiem uśredniania zmiennych pochodzących z innych
rozkładów.

Centralne Twierdzenie Graniczne

Średnia n niezależnych ustandaryzowanych zmiennych losowych
z porządnych rozkładów zbiega do rozkładu normalnego N (0, 1/n).

Co to oznacza?
Wiele zjawisk można przybliżyć rozkładem normalnym.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

8/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

liczba sukcesów w 1 próbie

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

9/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

0

2

4

6

8

10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

liczba sukcesów w 10 próbach

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

10/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

20

30

40

50

60

70

80

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

liczba sukcesów w 100 próbach

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

11/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

300

400

500

600

700

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

liczba sukcesów w 1000 próbach

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

12/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

0

2

4

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

liczba sukcesów w 1 rzuce kostką

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

13/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

0

2

4

6

8

10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

liczba sukcesów w 10 rzutach kostką

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

14/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

0

10

20

30

40

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

liczba sukcesów w 100 rzutach kostką

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

15/25

Centralne Twierdzenie Graniczne

100

150

200

250

300

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

liczba sukcesów w 1000 rzutach kostką

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

16/25

Rozkład jednostajny

Często wykorzystywany rozkład, do modelowania zjawisk
zdarzających się z równym prawdopodobieństwem.
Korzystamy z notacji

X ∼ U (a, b).

Średnia wartość zmiennej o rozkładzie jednostajnym wynosi

E (X ) = (a + b)/2

a wariancja

Var (X ) = (b − a)

2

/12.

Najczęściej rozważa się rozkład jednostajny na odcinku [0,1].

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

17/25

Przykłady

Przypuśćmy, że budzimy się w losowej chwili pomiędzy godziną
6:00 a 8:00. Załóżmy, że prawdopodobieństwo obudzenia się nie
zależy od godziny i jest równe w każdej chwili.
Ile wynosi prawdopodobieństwo obudzenia się pomiędzy godziną
7:00 a 7:15?
Po której godzinie jesteśmy obudzeni w 90% przypadków?
Jak by to wyglądało, gdyby chwila obudzenia miała rozkład
normalny o średnim czasie obudzenia 7:00 i wariancji 10 minut.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

18/25

Dwuwymiarowy rozkład normalny

W praktyce możemy mieć do czynienia z większą liczbą zmiennych
o łącznym rozkładzie normalnym. Najprostszym przypadkiem jest
dwuwymiarowy rozkład normalny. Taki rozkład opisujemy
wektorem średnich (µ

1

, µ

2

) oraz macierzą kowariancji

Σ =



σ

2

1

σ

12

σ

12

σ

2

2



.

Wartość parametru σ

12

określa czy obie zmienne są pozytywnie

zależne, negatywnie zależne czy niezależne.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

19/25

Dwuwymiarowy rozkład normalny

x

y

h

x

y

h

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

20/25

Dwuwymiarowy rozkład normalny

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

1.5

1.6

1.7

1.8

60

65

70

75

80

85

90

wzrost

waga

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

21/25

Dwuwymiarowy rozkład normalny

Kowariancje pomiędzy dwiema zmiennymi wyznaczyć można ze
wzoru

Cov (X , Y ) =

N

X

i =1

(X

i

− ¯

X )(Y

i

− ¯

Y ).

Korelacje pomiędzy dwiema zmiennymi wyznaczyć można ze wzoru

Cor (X , Y ) =

P

N
i =1

(X

i

− ¯

X )(Y

i

− ¯

Y )

q

P

N
i =1

(X

i

− ¯

X )

2

q

P

N
i =1

(Y

i

− ¯

Y )

2

.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

22/25

Przykład

Jaka jest kowariancja i korelacja wzrostu i wagi osób siedzących na
sali?

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

23/25

Z jakiego rozkładu pochodzą te dane?

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

−2

−1

0

1

−2

−1

0

1

2

kwantyle empiryczne

kwantyle teoretyczne

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

24/25

Co trzeba zapamiętać?

Co wynika z Centralnego Twierdzenia Granicznego?

Czym różni się kowariancja od korelacji?

Jakie parametry ma rozkład normalny?

Jakie parametry ma rozkład dwumianowy?

Jakie parametry ma rozkład jednostajny?

Jaki kształt mają gęstości tych rozkładów?

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

25/25