Ć w i c z e n i e 1

ROZKŁAD NORMALNY

1.1.

Opis teoretyczny

Proszę zapoznać się z umieszczonym we wstępie rozdziałem nr 2.3 zatytułowanym

„Niepewności pomiarów bezpośrednich”. Ćwiczenie jest praktyczną ilustracją zawartej tam teorii.

Celem ćwiczenia jest otrzymanie eksperymentalnego rozkładu Gaussa (schodkowego),

naniesienie na nim odpowiedniego rozkładu ciągłego i wyznaczenie parametrów rozkładu

)

σ

,

X

(

.

Trzeba zdecydowanie silnie podkreślić, że same parametry rozkładu nie dają pełnej informacji

statystycznej. Taką informacją jest jedynie wykres rozkładu w postaci dyskretnej (tzw. histogram)
lub w postaci ciągłej.

Punkty eksperymentalnie otrzymanego histogramu niejednokrotnie znacznie odbiegają od

teoretycznej krzywej Gaussa, ponieważ N nie jest wystarczająco duże. W ćwiczeniu w celu
ułatwienia otrzymania docelowej ciągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Simpsona
umożliwiającą przeliczenie punktów eksperymentalnych P(X

i

) na punkty położone bliżej docelowej

krzywej P

S

(X

i

) i w związku z tym ułatwiające jej znalezienie. Zależność Simpsona ma postać:

[

]

)

P(X

)

P(X

2

)

P(X

0,25

)

(X

P

1

i

i

1

i

i

S

+

−

+

+

=

(1.1)

i jest właściwością krzywej Gaussa określającą współzależność trzech sąsiednich punktów
pomiarowych.

Parametry rozkładu normalnego można wyznaczyć następującymi sposobami:

a) średnia

X

:

1) na bazie wzoru (W-2.2)

2) z wykresu rozkładu normalnego - jako miejsce położenia jego maksimum.

b) odchylenie standardowe

σ

1 ) na bazie wzoru (W-2.4)

2) z wykresu rozkładu normalnego określając położenie punktów przegięć.

W laboratorium znajdują się dwie wersje służące do eksperymentalnego sprawdzenia przytoczonej
wyżej teorii :

wersja A - badająca staczanie się kulek stalowych po pochylni
wersja B - badająca dokładność wykonania fabrycznych rezystorów

1.2. Opis układu pomiarowego

W skład zestawu pomiarowego wchodzą:

w wersji A :

1) pochylnia do staczania kulek zaopatrzona w 37 przegródek
2) pudełko z kulkami stalowymi (w liczbie około 100).

w wersji B :

1) omomierz cyfrowy

2)

rezystory fabryczne o rezystancji około 164

Ω

w ilości 104 sztuk zamontowane w

obudowie. Każdy z oporów jest podłączony do osobnego gniazda pomiarowego.

1.3. Przeprowadzenie eksperymentu.

W e r s j a A

1. Zapoznać się z budową pochylni.

2. Wsypać kulki przez otwór w pudełku do urządzenia pojedyńczo tak aby się nie zderzały ze

sobą.

3. Obliczyć i zapisać ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek.
4. Przesypać kulki z powrotem do pudełka.

5. Operacje 2-4 powtórzyć 10-krotnie.
6. Zliczyć ile kulek N

i

, które wpadły do poszczególnych przegródek o numerach X

i

łącznie w

10 wsypaniach. Obliczyć łączną ilość wsypanych kulek

∑

=

i

N

N

W e r s j a B

1. Wykonać pomiary rezystancji N rezystorów.

2. Pogrupować wyniki w przedziały o szerokości 0,5

Ω

. Wartości minimalna R

min

i

maksymalna R

max

są podane na obudowie.

3. Zliczyć ile rezystorów N

i

, których wartości znalazły się w poszczególnych przedziełach

o numerach kolejnych X

i

1.4. Opracowanie wyników pomiarów

W e r s j a A

1.

Policzyć prawdopodobieństwa P(X

i

) wpadnięcia kulki do przedziałów o kolejnych numerach X

i

N

N

)

P(X

i

i

=

2.

Narysować schodkowy histogram zależności prawdopodobieństwa P(X

i

) od numeru przedziału

( X

i

). Szerokość przedziału przyjąć równą 1

W e r s j a B

1.

Policzyć prawdopodobieństwa P(X

i

) znalezienia się wartości mierzonego rezystora do

przedziale o numerze X

i

N

N

)

P(X

i

i

=

2.

Narysować schodkowy histogram zależności prawdopodobieństwa P(X

i

) od numeru

przedziału ( X

i

).

d a 1 e j w o b u w e r s j a c h p o d o b n i e

3. Stosując zależność Simpsona (1.1) wyznaczyć i nanieść na wykres punkty pomocnicze

4. Narysować przypuszczalny kształt ciągłego rozkładu normalnego starając się aby tyle samo

punktów simpsonowskich znalazło się pod co i nad krzywą (patrz rys. 1 we wstępie)

3.

Wyznaczyć parametry rozkładu

)

σ

,

X

(

wyrażając je w przedziałach wszystkimi

przedstawionymi metodami.

a) z histogramu
b) obliczyć ze wzorów definicyjnych:

∑

∑

∑

=

=

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

)

P(X

X

N

N

X

N

X

N

1

X

∑

∑

−

≅

−

−

=

i

2

i

i

i

2

i

i

)

X

(X

)

P(X

1)

(N

)

X

(X

N

σ

Jako wyniki końcowe podać wartości średnie.

5. Obliczyć bezwzględną i względną (wyrażoną w %) ilość kulek (w wersji B : rezystorów),

które znalazły się w następujących przedziałach:

σ

0,679

X

±

σ

X

±

σ

2

X

±

σ

3

X

±

Porównać z teoretycznymi prawdopodobieństwami wpadnięcia kulek te przedziały (w
wersji B : z prawdopodobieństwami, że rezystancja danego rezystora mieści się w tych
przedziałach). Prawdopodobieństwa te wynoszą odpowiednio : 0,5 ; 0,68 ; 0,95 ; 0,997 .

6. Wyciągnąć wnioski. Czym można wytłumaczyć zaistniałe odstępstwa od teorii?

1.5. Pytania kontrolne

1. Napisać i objaśnić wzór na rozkład normalny.
2. W jakich przypadkach można stosować rozkład normalny?
3. Omówić sens fizyczny parametrów rozkładu normalnego
4. Opisać graficzną metodę wyznaczania odchylenia standardowego.
5. Wymienić przykłady zdarzeń losowych, w których można by było zastosować rozkład

normalny.

L i t e r a t u r a

[1] Reif E. . Fizyka statystyczna . PWN, Warszawa 1975.