Prawdopodobieństwo Rozkład dwumianowy Rozkład normalny

background image

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

.

R

o

zk

ła

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

.

R

o

zk

ła

d

n

o

rm

a

ln

y

.

background image

Z

d

a

rz

en

ia

l

o

so

w

e

to

t

ak

ie

z

d

ar

ze

n

ia

,

k

re

m

o

g

ą

za

ć

lu

b

n

ie

w

d

an

y

m

e

k

sp

er

y

m

en

ci

e

(d

o

św

ia

d

cz

en

iu

).

N

p

.

w

e

k

sp

er

y

m

en

ci

e

p

o

le

g

aj

ąc

y

m

n

a

rz

u

ci

e

k

o

st

k

ą

d

o

g

ry

,

p

rz

y

k

ła

d

o

w

e

zd

ar

ze

n

ia

l

o

so

w

e

to

:

-

w

y

p

ad

n

ci

e

„s

st

k

i”

-

w

y

p

ad

n

ci

e

p

ar

zy

st

ej

l

ic

zb

y

o

cz

ek

-

w

y

p

ad

n

ci

e

li

cz

b

y

o

cz

ek

w

k

sz

ej

,

n

4

O

g

ó

ln

ie

m

o

żn

a

w

sk

az

a

ż

3

2

r

ó

żn

e

zd

ar

ze

n

ia

l

o

so

w

e

w

t

y

m

ek

sp

er

y

m

en

ci

e.

Je

śl

i

b

ęd

zi

em

y

w

ie

lo

k

ro

tn

ie

p

o

w

ta

rz

t

en

e

k

sp

er

y

m

en

t,

t

o

n

ie

w

sz

y

st

k

ie

z

ty

ch

z

d

ar

ze

ń

b

ęd

ą

p

o

ja

w

ia

ć

si

ę

w

n

ie

c

st

o

.

N

ie

k

re

z

n

ic

h

w

y

st

ąp

c

śc

ie

j,

n

i

n

n

e:

n

p

.

w

y

p

ad

n

ci

e

p

ar

zy

st

ej

li

cz

b

y

o

cz

ek

z

d

ar

zy

s

z

n

ac

zn

ie

c

śc

ie

j,

n

w

y

p

ad

n

ci

e

„s

st

k

i”

.

background image

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

y

ra

ża

l

ic

zb

o

w

o

s

za

n

z

aj

śc

ia

d

an

eg

o

zd

ar

ze

n

ia

.

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

j

es

t

w

y

ra

żo

n

e

u

ła

m

k

ie

m

z

aw

ar

ty

m

p

o

m

d

zy

0

i

1

(

n

ie

k

ie

d

y

t

ak

że

j

ak

o

p

ro

ce

n

t

p

o

m

d

zy

0

%

i

1

0

0

%

)

Je

śl

i

je

d

n

o

k

ro

tn

ie

r

zu

ca

m

y

s

y

m

et

ry

cz

n

ą

m

o

n

et

ą,

t

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

y

p

ad

n

ci

a

o

a

w

y

n

o

si

0

,5

(

al

b

o

5

0

%

)

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

y

p

ad

n

ci

a

o

a

lu

b

r

es

zk

i

w

y

n

o

si

1

(

al

b

o

1

0

0

%

);

w

y

p

ad

n

ci

e

o

a

lu

b

r

es

zk

i

je

st

z

d

a

rz

en

ie

m

p

ew

n

ym

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

y

p

ad

n

ci

a

in

n

eg

o

w

y

n

ik

u

,

n

o

rz

l

u

b

r

es

zk

a

w

y

n

o

si

0

(

al

b

o

0

%

);

w

y

p

ad

n

ci

e

w

j

ed

n

o

k

ro

tn

y

m

r

zu

ci

e

m

o

n

et

ą

in

n

eg

o

w

y

n

ik

u

,

n

o

rz

l

u

b

r

es

zk

a

je

st

z

d

a

rz

en

ie

m

n

ie

m

o

żl

iw

ym

.

background image

Je

śl

i

rz

u

ca

m

y

s

y

m

et

ry

cz

n

ą

sz

ci

en

n

ą

k

o

st

k

ą

d

o

g

ry

,

to

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

y

p

ad

n

ci

a

1

o

cz

k

a

je

st

r

ó

w

n

e

1

/6

.

C

st

o

śc

io

w

a

i

n

te

rp

re

ta

cj

a

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

:

je

śl

i

w

y

k

o

n

am

y

b

ar

d

zo

w

ie

le

r

zu

w

t

ą

k

o

st

k

ą,

t

o

m

o

żn

a

o

cz

ek

iw

,

że

o

k

o

ło

1

/6

t

y

ch

r

zu

w

z

ak

o

ń

cz

y

s

w

y

rz

u

ce

n

ie

m

1

o

cz

k

a.

N

p

.

je

śl

i

rz

u

ci

m

y

2

4

0

0

r

az

y

,

to

m

o

żn

a

si

ę

sp

o

d

zi

ew

,

że

o

k

o

ło

4

0

0

ra

zy

w

y

rz

u

ci

m

y

1

o

cz

k

o

.

Im

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

j

es

t

b

li

żs

ze

1

(

1

0

0

%

),

t

y

m

z

d

ar

ze

n

ie

j

es

t

b

ar

d

zi

ej

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e.

J

li

z

d

ar

ze

n

ie

j

es

t

p

ew

n

e,

t

o

j

eg

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

j

es

t

w

n

e

1

.

Im

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

j

es

t

b

li

żs

ze

0

(

0

%

),

t

y

m

z

d

ar

ze

n

ie

j

es

t

m

n

ie

j

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e.

J

li

z

d

ar

ze

n

ie

j

es

t

n

ie

m

o

żl

iw

e,

t

o

j

eg

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

j

es

t

w

n

e

0

.

background image

Z

d

a

r

ze

n

ia

l

o

so

w

e

m

o

g

ą

s

w

y

k

lu

c

za

ć

,

n

p

.

w

p

o

je

d

y

n

cz

y

m

r

zu

ci

e

k

o

st

k

ą

n

ie

je

st

m

o

żl

iw

e

je

d

n

o

cz

es

n

e

za

ci

e

zd

ar

ze

n

ia

p

o

le

g

aj

ąc

eg

o

n

a

w

y

rz

u

ce

n

iu

1

o

cz

k

a

i

2

o

cz

ek

.

Je

śl

i

zd

ar

ze

n

ia

A

i

B

w

y

k

lu

cz

aj

ą

si

ę,

t

o

P

(A

l

u

b

B

)

=

P

(A

)

+

P

(B

)

P

(1

o

cz

k

o

l

u

b

2

o

cz

k

a)

=

P

(1

o

cz

k

o

)

+

P

(2

o

cz

k

a)

=

1

/6

+

1

/6

=

2

/6

Z

d

a

r

ze

n

ia

l

o

so

w

e

m

o

g

ą

b

y

ć

n

ie

za

le

żn

e.

Z

d

ar

ze

n

ia

s

ą

n

ie

za

le

żn

e,

j

li

z

aj

śc

ie

j

ed

n

eg

o

z

t

y

ch

z

d

ar

ze

ń

n

ie

m

a

w

p

ły

w

u

n

a

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

z

aj

śc

ia

d

ru

g

ie

g

o

z

t

y

ch

z

d

ar

ze

ń

,

w

y

rz

u

ce

n

ie

2

o

cz

ek

w

p

ie

rw

sz

y

m

r

zu

ci

e

k

o

st

k

ą

n

ie

z

m

ie

n

ia

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zd

ar

ze

n

ia

,

że

w

d

ru

g

im

r

zu

ci

e

w

y

rz

u

ci

m

y

6

o

cz

ek

.

Je

śl

i

zd

ar

ze

n

ia

A

i

B

s

ą

n

ie

za

le

żn

e,

t

o

P

(A

i

B

)

=

P

(A

)

·

P

(B

)

P

(2

o

cz

k

a

w

p

ie

rw

sz

y

m

r

zu

ci

e

i

6

o

cz

ek

w

d

ru

g

im

r

zu

ci

e)

=

=

P

(2

o

cz

k

a

w

p

ie

rw

sz

y

m

r

zu

ci

e)

·

P

(6

o

cz

ek

w

d

ru

g

im

r

zu

ci

e)

=

1

/6

·

1

/6

=

1

/3

6

background image

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

p

o

le

g

a

n

a

d

w

u

k

ro

tn

y

m

r

zu

ci

e

m

o

n

et

ą.

o

rz

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

o

rz

o

rz

re

sz

k

a

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

1

/2

1

/2

M

o

żl

iw

e

w

y

n

ik

i

p

rz

eb

ie

g

u

t

eg

o

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

(

zd

a

rz

en

ia

e

le

m

en

ta

rn

e)

to

:

(o

rz

,

o

rz

),

(

o

rz

,

re

sz

k

a)

,

(r

es

zk

a,

o

rz

),

(

re

sz

k

a,

r

es

zk

a)

M

o

żl

iw

e

w

y

n

ik

i

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

t

w

o

rz

ą

p

rz

es

tr

ze

ń

(

zb

r)

z

d

a

rz

el

em

en

ta

rn

y

ch

.

background image

W

sz

y

st

k

ie

z

d

ar

ze

n

ia

e

le

m

en

ta

rn

e

w

t

y

m

d

o

św

ia

d

cz

en

iu

s

ą

je

d

n

ak

o

w

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e.

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

k

d

eg

o

z

n

ic

h

j

es

t

w

n

e

0

,2

5

.

o

rz

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

o

rz

o

rz

re

sz

k

a

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

1

/2

1

/2

In

te

rp

re

ta

cj

a:

Je

śl

i

b

ar

d

zo

w

ie

le

r

az

y

p

o

w

rz

y

m

y

d

o

św

ia

d

cz

en

ie

p

o

le

g

aj

ąc

e

n

a

d

w

u

k

ro

tn

y

m

rz

u

ci

e

m

o

n

et

ą,

t

o

m

o

żn

a

o

cz

ek

iw

,

że

n

p

.

w

y

n

ik

(

o

rz

,

o

rz

)

p

o

ja

w

i

si

ę

w

¼

t

y

ch

d

o

św

ia

d

cz

.

background image

(o

rz

,

o

rz

),

(

o

rz

,

re

sz

k

a)

,

(r

es

zk

a,

o

rz

),

(

re

sz

k

a,

r

es

zk

a)

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

k

d

eg

o

z

p

o

w

y

żs

zy

ch

z

d

ar

ze

ń

el

em

en

ta

rn

y

ch

je

st

r

ó

w

n

e

0

,2

5

.

Z

a

łó

żm

y,

ż

e

in

te

re

su

je

n

a

s

1

.

li

cz

b

a

o

ó

w

,

ja

ka

m

o

że

p

o

ja

w

s

w

d

w

u

kr

o

tn

ym

r

zu

ci

e

m

o

n

et

ą

2

.

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

ys

p

ie

n

ia

d

a

n

ej

l

ic

zb

y

o

ó

w

.

L

ic

zb

a

o

ó

w

j

es

t

zm

ie

n

n

ą

l

o

so

w

ą

,

cz

y

li

w

ar

to

śc

l

ic

zb

o

w

ą

za

le

żn

ą

o

d

p

rz

y

p

ad

k

u

(

za

le

żn

a

o

d

w

y

n

ik

u

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

l

o

so

w

eg

o

).

Z

m

ie

n

n

a

ta

m

o

że

p

rz

y

ć

tr

zy

w

ar

to

śc

i:

0

(

b

ra

k

o

ó

w

),

1

(

je

d

en

o

rz

),

2

(

d

w

a

o

y

)

Je

śl

i

o

zn

ac

zm

y

t

ę

zm

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

p

rz

ez

X

,

to

m

o

żn

a

za

p

is

,

że

P

(X

=

0

)

=

P

((

re

sz

k

a,

re

sz

k

a)

)

=

0

,2

5

P

(X

=

1

)

=

P

((

o

rz

,r

es

zk

a)

)

+

P

((

re

sz

k

a,

o

rz

))

=

0

,2

5

+

0

,2

5

=

0

,5

0

P

(X

=

2

)

=

P

((

o

rz

,o

rz

))

=

0

,2

5

background image

Je

śl

i

o

k

re

śl

im

y

m

o

żl

iw

e

w

a

rt

o

śc

i,

j

a

k

ie

m

o

że

p

rz

y

ć

zm

ie

n

n

a

l

o

so

w

a

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

,

z

ja

k

im

i

te

w

a

rt

o

śc

i

w

y

st

ą

p

to

m

ó

w

im

y

,

że

o

k

re

śl

o

n

y

j

es

t

ro

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

te

j

zm

ie

n

n

ej

lo

so

w

ej

.

background image

R

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

w

y

g

o

d

n

ie

j

es

t

p

rz

ed

st

aw

ia

ć

w

t

ab

el

i

i/

lu

b

n

a

w

y

k

re

si

e.

L

ic

zb

a

o

ó

w

0

1

2

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

0

,2

5

0

,5

0

0

,2

5

lic

zb

a

o

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

0.2

5

0.5

0

0.7

5

1.0

0

background image

W

u

rn

ie

z

n

aj

d

u

je

s

j

ed

n

ak

o

w

a

li

cz

b

a

k

u

l

b

ia

ły

ch

i

c

za

rn

y

ch

.

Je

śl

i

B

o

zn

ac

za

w

y

lo

so

w

an

ie

k

u

li

b

ia

łę

j,

z

C

c

za

rn

ej

,

to

P

(B

)

=

P

(C

)

=

0

,5

.

L

o

su

je

m

y

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

k

o

le

jn

o

d

w

ie

k

u

le

.

B

C

1

/2

1

/2

B

B

C

C

1

/2

1

/2

1

/2

1

/2

M

o

żl

iw

e

w

y

n

ik

i

p

rz

eb

ie

g

u

t

eg

o

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

(

zd

ar

ze

n

ia

e

le

m

en

ta

rn

e)

to

:

(B

,

B

),

(

B

,

C

),

(

C

,

B

),

(

C

,

C

).

W

sz

y

st

k

ie

z

d

ar

ze

n

ia

e

le

m

en

ta

rn

e

j

ed

n

ak

o

w

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e,

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

k

d

eg

o

z

n

ic

h

j

es

t

w

n

e

0

,2

5

.

background image

L

ic

zb

a

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

d

w

ó

ch

w

y

lo

so

w

an

y

ch

j

es

t

zm

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą;

o

zn

ac

zm

y

j

ą

p

rz

ez

Y

.

P

rz

es

tr

ze

ń

z

d

ar

ze

ń

e

le

m

en

ta

rn

y

ch

z

aw

ie

ra

n

as

p

u

ce

e

le

m

en

ty

:

(B

,

B

),

(

B

,

C

),

(

C

,

B

),

(

C

,

C

).

R

o

zk

ła

d

z

m

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

Y

Z

m

ie

n

n

a

lo

so

w

a

X

o

p

is

u

ca

l

ic

zb

ę

o

ó

w

w

d

w

ó

ch

r

zu

ta

ch

m

o

n

et

ą

i

zm

ie

n

n

a

lo

so

w

a

Y

o

p

is

u

ca

l

ic

zb

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

d

w

ó

ch

w

y

lo

so

w

an

y

ch

m

aj

ą

te

s

a

m

e

ro

zk

ła

d

y

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

.

L

o

so

w

an

ie

(

ze

z

w

ra

ca

n

ie

m

)

k

u

l

z

u

rn

y

m

o

że

b

y

ć

m

o

d

el

em

d

la

r

zu

tu

m

o

n

et

ą.

L

ic

zb

a

k

u

l

b

ia

ły

ch

0

1

2

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

0

,2

5

0

,5

0

0

,2

5

background image

Z

ó

żm

y

,

że

w

u

rn

ie

j

es

t

2

5

%

k

u

l

b

ia

ły

ch

i

7

5

%

k

u

l

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

a

st

ąd

,

że

P

(B

)

=

0

,2

5

i

P

(C

)

=

0

,7

5

L

o

su

je

m

y

z

t

ej

u

rn

y

3

r

az

y

p

o

j

ed

n

ej

k

u

li

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

.

B

C

B

B

C

C

B

B

B

B

C

C

C

C

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

background image

8

m

o

żl

iw

y

ch

w

y

n

ik

ó

w

:

(B

,B

,B

),

(

B

,B

,C

),

(

B

,C

,B

),

(

B

,C

,C

),

(

C

,B

,B

),

(

C

,B

,C

),

(

C

,C

,B

),

(

C

,C

,C

)

W

y

n

ik

i

te

n

ie

s

ą

j

ed

n

a

k

o

w

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e

.

B

C

B

B

C

C

B

B

B

B

C

C

C

C

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

background image

P

(B

,B

,B

)

=

0

,2

5

·0

,2

5

·0

,2

5

=

0

,0

1

5

6

2

5

P

(B

,B

,C

)

=

0

,2

5

·0

,2

5

·0

,7

5

=

0

,0

4

6

8

7

5

B

C

B

B

C

C

B

B

B

B

C

C

C

C

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

background image

P

(B

,B

,B

)

=

0

,2

5

·0

,2

5

·0

,2

5

=

0

,0

1

5

6

2

5

P

(B

,B

,C

)

=

0

,2

5

·0

,2

5

·0

,7

5

=

0

,0

4

6

8

7

5

P

(B

,C

,B

)

=

0

,2

5

·0

,7

5

·0

,2

5

=

0

,0

4

6

8

7

5

P

(B

,C

,C

)

=

0

,2

5

·0

,7

5

·0

,7

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

P

(C

,B

,B

)

=

0

,7

5

·0

,2

5

·0

,2

5

=

0

,0

4

6

8

7

5

P

(C

,B

,C

)

=

0

,7

5

·0

,2

5

·0

,7

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

P

(C

,C

,B

)

=

0

,7

5

·0

,7

5

·0

,2

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

P

(C

,C

,C

)

=

0

,7

5

·0

,7

5

·0

,7

5

=

0

,4

2

1

8

7

5

A

0

w

y

lo

so

w

an

o

0

k

u

l

b

ia

ły

ch

;

P

(A

0

)

=

0

,4

2

1

8

7

5

A

1

w

y

lo

so

w

an

o

1

k

u

b

ia

łą

P

(A

1

)

=

P

(B

,C

,C

)

+

P

(C

,B

,C

)

+

P

(C

,C

,B

)

=

3

·

0

,1

4

0

6

2

5

=

0

,4

2

1

8

7

5

A

2

w

y

lo

so

w

an

o

2

k

u

le

b

ia

łe

P

(A

2

)

=

P

(B

,B

,C

)

+

P

(B

,C

,B

)

+

P

(C

,B

,B

)

=

3

·

0

,0

4

6

8

7

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

A

3

w

y

lo

so

w

an

o

3

k

u

le

b

ia

łe

;

P

(A

3

)

=

0

,0

1

5

6

2

5

S

u

m

a

je

st

r

ó

w

n

a

1

background image

A

0

w

y

lo

so

w

an

o

0

k

u

l

b

ia

ły

ch

;

P

(A

0

)

=

0

,4

2

1

8

7

5

A

1

w

y

lo

so

w

an

o

1

k

u

b

ia

łą

P

(A

1

)

=

P

(B

,C

,C

)

+

P

(C

,B

,C

)

+

P

(C

,C

,B

)

=

3

·

0

,1

4

0

6

2

5

=

0

,4

2

1

8

7

5

A

2

w

y

lo

so

w

an

o

2

k

u

le

b

ia

łe

P

(A

2

)

=

P

(B

,B

,C

)

+

P

(B

,C

,B

)

+

P

(C

,B

,B

)

=

3

·

0

,0

4

6

8

7

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

A

3

w

y

lo

so

w

an

o

3

k

u

le

b

ia

łe

;

P

(A

3

)

=

0

,0

1

5

6

2

5

N

ie

ch

X

o

zn

ac

za

z

m

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

o

p

is

u

l

ic

zb

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

tr

ze

ch

k

u

l

w

y

lo

so

w

an

y

ch

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

.

P

(X

=

0

)

=

0

,4

2

1

8

7

5

P

(X

=

1

)

=

0

,4

2

1

8

7

5

P

(X

=

2

)

=

0

,1

4

0

6

2

5

P

(X

=

3

)

=

0

,0

1

5

6

2

5

background image

N

ie

ch

X

o

zn

ac

za

z

m

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

o

p

is

u

l

ic

zb

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

.

P

(X

=

0

)

=

0

,4

2

1

8

7

5

;

P

(X

=

1

)

=

0

,4

2

1

8

7

5

;

P

(X

=

2

)

=

0

,1

4

0

6

2

5

;

P

(X

=

3

)

=

0

,0

1

5

6

2

5

R

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

X

L

ic

zb

a

k

u

l

b

ia

ły

ch

0

1

2

3

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

0

,4

2

1

8

7

5

0

,4

2

1

8

7

5

0

,1

4

0

6

2

5

0

,0

1

5

6

2

5

lic

zb

a

k

u

l b

ia

ły

c

h

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

background image

Z

ó

żm

y

,

że

w

u

rn

ie

j

es

t

2

5

%

k

u

l

b

ia

ły

ch

i

7

5

%

k

u

l

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

a

st

ąd

,

że

P

(B

)

=

0

,2

5

i

P

(C

)

=

0

,7

5

L

o

su

je

m

y

z

t

ej

u

rn

y

3

r

az

y

p

o

j

ed

n

ej

k

u

li

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

n

as

r

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

o

p

is

u

ce

j

li

cz

b

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

w

y

lo

so

w

an

y

ch

.

T

ak

s

fo

rm

u

ło

w

an

y

p

ro

b

le

m

j

es

t

sz

cz

eg

ó

ln

y

m

p

rz

y

p

a

d

k

ie

m

n

a

st

ęp

u

ce

g

o

p

ro

b

le

m

u

o

g

ó

ln

ie

js

ze

g

o

:

N

ie

ch

p

b

ęd

zi

e

li

cz

b

ą

z

p

rz

ed

zi

u

o

d

0

d

o

1

.

Z

ó

żm

y

,

że

w

u

rn

ie

j

es

t

p

·1

0

0

%

k

u

l

b

ia

ły

ch

i

(

1

-p

1

0

0

%

k

u

l

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

a

st

ąd

,

że

P

(B

)

=

p

i

P

(C

)

=

1

-p

L

o

su

je

m

y

z

t

ej

u

rn

y

n

ra

zy

p

o

j

ed

n

ej

k

u

li

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

n

as

r

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

o

p

is

u

ce

j

li

cz

b

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

w

y

lo

so

w

an

y

ch

.

background image

N

ie

ch

p

b

ęd

zi

e

li

cz

b

ą

z

p

rz

ed

zi

u

o

d

0

d

o

1

.

Z

ó

żm

y

,

że

w

u

rn

ie

j

es

t

p

·1

0

0

%

k

u

l

b

ia

ły

ch

i

(

1

-p

1

0

0

%

k

u

l

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

a

st

ąd

,

że

P

(B

)

=

p

i

P

(C

)

=

1

-p

L

o

su

je

m

y

z

t

ej

u

rn

y

n

ra

zy

p

o

j

ed

n

ej

k

u

li

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

n

as

r

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

o

p

is

u

ce

j

li

cz

b

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

w

y

lo

so

w

an

y

ch

.

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

z

l

o

so

w

an

ie

m

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

k

u

l

z

u

rn

y

j

es

t

z

k

o

le

i

w

n

o

w

n

e

z

n

as

p

u

cy

m

d

o

św

ia

d

cz

en

ie

m

l

o

so

w

y

m

n

az

y

w

an

y

m

sc

h

em

a

te

m

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

.

background image

R

o

zw

m

y

d

o

św

ia

d

cz

en

ie

l

o

so

w

e,

k

re

g

o

w

y

n

ik

ie

m

m

o

że

b

y

ć

ty

lk

o

su

k

ce

s”

al

b

o

p

o

ra

żk

a”

.

T

ak

ie

d

o

św

ia

d

cz

en

ie

n

az

y

w

a

si

ę

p

b

ą

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

.

N

p

.

u

rn

a

za

w

ie

ra

k

u

le

z

ie

lo

n

e,

c

za

rn

e,

b

ia

łe

i

c

ze

rw

o

n

e;

l

o

su

je

m

y

z

t

ej

u

rn

y

je

d

n

ą

k

u

.

Ja

k

o

su

k

ce

s”

m

o

że

m

y

p

rz

y

ć

w

y

lo

so

w

an

ie

k

u

li

z

ie

lo

n

ej

,

a

ja

k

o

p

o

ra

żk

ę

w

y

lo

so

w

an

ie

k

u

li

i

n

n

eg

o

k

o

lo

ru

,

n

z

ie

lo

n

y

.

P

o

w

ta

rz

am

y

t

o

d

o

św

ia

d

cz

en

ie

n

ra

zy

(

n

je

st

z

g

ó

ry

u

st

al

o

n

ą

li

cz

b

ą)

,

m

ó

w

c

in

ac

ze

j,

w

y

k

o

n

u

je

m

y

n

p

b

(

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

).

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

su

k

ce

su

w

p

o

je

d

y

n

cz

y

m

d

o

św

ia

d

cz

en

iu

j

es

t

za

w

sz

e

ta

k

ie

s

am

o

,

a

w

c

n

ie

z

m

ie

n

ia

s

p

rz

y

k

o

le

jn

y

ch

p

o

w

rz

en

ia

ch

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

(

p

rz

y

l

o

so

w

an

iu

k

u

li

z

u

rn

y

z

ap

ew

n

ia

m

y

s

p

n

ie

n

ie

t

eg

o

w

ar

u

n

k

u

p

rz

ez

z

w

ra

ca

n

ie

z

a

k

d

y

m

r

az

em

w

y

lo

so

w

an

ej

k

u

li

d

o

u

rn

y

).

W

y

n

ik

d

an

eg

o

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

n

ie

m

a

w

p

ły

w

u

n

a

w

y

n

ik

ż

ad

n

eg

o

i

n

n

eg

o

z

p

o

w

ta

rz

an

y

ch

d

o

św

ia

d

cz

(

n

p

.

„s

u

k

ce

s”

p

rz

y

p

ie

rw

sz

y

m

p

o

w

rz

en

iu

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

n

ie

w

p

ły

w

a

w

ż

ad

en

s

p

o

b

n

a

w

y

n

ik

d

ru

g

ie

g

o

i

k

o

le

jn

y

ch

p

o

w

rz

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

).

R

o

zw

am

y

z

m

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą,

k

ra

o

p

is

u

je

l

ic

zb

ę

„s

u

k

ce

w

w

n

p

o

w

rz

en

ia

ch

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

(

p

b

y

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

).

R

o

zk

ła

d

t

ej

z

m

ie

n

n

ej

lo

so

w

ej

n

az

y

w

a

si

ę

ro

zk

ła

d

em

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

.

background image

R

o

zw

am

y

z

m

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą,

k

ra

o

p

is

u

je

l

ic

zb

ę

„s

u

k

ce

w

w

n

p

o

w

rz

en

ia

ch

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

(

p

b

y

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

).

R

o

zk

ła

d

t

ej

z

m

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

n

az

y

w

a

si

ę

ro

zk

ła

d

em

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

.

P

o

w

y

żs

z

m

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

n

az

y

w

a

si

ę

zm

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

o

r

o

zk

ła

d

zi

e

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

(

al

b

o

k

ce

j:

d

w

u

m

ia

n

o

w

ą

zm

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą)

.

Je

śl

i

li

cz

b

a

p

b

j

es

t

w

n

a

n

,

to

l

ic

zb

a

„s

u

k

ce

w

m

o

że

b

y

ć

w

n

a

0

,

1

,

2

,

..

.,

n

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

p

rz

y

ci

a

p

rz

ez

d

w

u

m

ia

n

o

w

ą

zm

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

o

k

re

śl

o

n

ej

w

ar

to

śc

i

k

„s

u

k

ce

w

m

o

żn

a

w

y

li

cz

y

ć

n

a

p

o

d

st

aw

ie

d

rz

ew

k

a”

.

M

et

o

d

a

ta

j

es

t

je

d

n

ak

u

ci

ąż

li

w

a

p

rz

y

d

u

ży

ch

w

ar

to

śc

ia

ch

n

.

W

y

g

o

d

n

ie

j

je

st

k

o

rz

y

st

z

g

o

to

w

eg

o

w

zo

ru

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

.

N

ie

ch

X

b

ęd

zi

e

zm

ie

n

n

ą

lo

so

w

ą

o

r

o

zk

ła

d

zi

e

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

,

g

d

zi

e

li

cz

b

a

p

b

je

st

r

ó

w

n

a

n

,

za

ś

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

su

k

ce

su

w

p

o

je

d

y

n

cz

ej

p

b

ie

w

y

n

o

si

p

.

M

o

żn

a

to

k

tk

o

z

an

o

to

w

p

is

c

X

~

B

in

(n

;

p

)

(s

k

t

B

in

p

o

ch

o

d

zi

o

d

a

n

g

.

b

in

o

m

ia

l

(d

w

u

m

ia

n

o

w

y

))

.

N

ie

ch

k

b

ęd

zi

e

li

cz

b

ą

„s

u

k

ce

w

(k

m

o

że

0

,

1

,

2

,

..

.,

n

).

W

r

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

n

a

w

y

zn

ac

ze

n

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a,

ż

e

w

n

p

b

ac

h

b

ęd

zi

e

k

„s

u

k

ce

w

”:

k
n

k

p

p

k

n

k

X
P

 

 

=

=

)

(

)

(

1

background image

Z

ó

żm

y

,

że

w

u

rn

ie

j

es

t

2

5

%

k

u

l

b

ia

ły

ch

i

7

5

%

k

u

l

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

a

st

ąd

,

że

P

(B

)

=

0

,2

5

i

P

(C

)

=

0

,7

5

L

o

su

je

m

y

z

t

ej

u

rn

y

3

r

az

y

p

o

j

ed

n

ej

k

u

li

z

e

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

n

a

s

ro

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

z

m

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

X

o

p

is

u

ce

j

li

cz

b

ę

k

u

l

b

ia

ły

ch

w

śr

ó

d

w

y

lo

so

w

a

n

y

ch

.

„s

u

k

ce

s”

w

y

lo

so

w

an

ie

k

u

li

b

ia

łe

j

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

su

k

ce

su

p

=

0

,2

5

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

j

es

t

p

o

w

ta

rz

an

e

n

=

3

r

az

y

L

ic

zb

a

„s

u

k

ce

w

k

m

o

że

p

rz

y

ć

w

ar

to

ść

0

,

1

,

2

l

u

b

3

P

rz

y

k

ła

d

o

w

o

:

140625

0

75

0

25

0

1

2

3

25

0
1

25

0

2

3

2

1

2

2
3

2

,

,

,

!

!

!

)
,

(

,

)

(

=

=

 

 

=

=

X
P

background image

„s

u

k

ce

s”

w

y

lo

so

w

an

ie

k

u

li

b

ia

łe

j

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

su

k

ce

su

p

=

0

,2

5

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

j

es

t

p

o

w

ta

rz

an

e

n

=

3

r

az

y

L

ic

zb

a

„s

u

k

ce

w

k

m

o

że

p

rz

y

ć

w

ar

to

ść

0

,

1

,

2

l

u

b

3

P

rz

y

k

ła

d

o

w

o

:

W

o

b

li

cz

en

ia

ch

w

y

g

o

d

n

ie

j

es

t

w

y

k

o

rz

y

st

p

ro

g

ra

m

R

:

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

2

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

1

4

0

6

2

5

d

b

i

n

o

m

(

x

,

s

i

z

e

,

p

r

o

b

)

x

o

z

n

a

c

z

a

l

i

c

z

b

ę

s

u

k

c

e

s

ó

w

(

k

)

s

i

z

e

o

z

n

a

c

z

a

l

i

c

z

b

ę

p

r

ó

b

(

n

)

p

r

o

b

o

z

n

a

c

z

a

p

r

a

w

d

o

p

o

d

o

b

i

e

ń

s

t

w

o

s

u

k

c

e

s

u

(

p

)

140625

0

75

0

25

0

1

2

3

25

0
1

25

0

2

3

2

1

2

2
3

2

,

,

,

!

!

!

)
,

(

,

)

(

=

=

 

 

=

=

X
P

background image

„s

u

k

ce

s”

w

y

lo

so

w

an

ie

k

u

li

b

ia

łe

j

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

su

k

ce

su

p

=

0

,2

5

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

j

es

t

p

o

w

ta

rz

an

e

n

=

3

r

az

y

L

ic

zb

a

„s

u

k

ce

w

k

m

o

że

p

rz

y

ć

w

ar

to

ść

0

,

1

,

2

l

u

b

3

W

y

zn

ac

zy

m

y

r

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

X

o

p

is

u

ce

j

li

cz

b

ę

„s

u

k

ce

w

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

4

2

1

8

7

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

1

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

4

2

1

8

7

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

2

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

1

4

0

6

2

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

3

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

0

1

5

6

2

5

background image

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

c

(

0

,

1

,

2

,

3

)

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

4

2

1

8

7

5

0

.

4

2

1

8

7

5

0

.

1

4

0

6

2

5

0

.

0

1

5

6

2

5

>

0

:

3

[

1

]

0

1

2

3

>

3

:

0

[

1

]

3

2

1

0

>

2

:

5

[

1

]

2

3

4

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

3

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

0

.

4

2

1

8

7

5

0

.

4

2

1

8

7

5

0

.

1

4

0

6

2

5

0

.

0

1

5

6

2

5

background image

K

sz

ta

łt

r

o

zk

ła

d

u

d

w

u

m

ia

n

o

w

eg

o

z

al

y

o

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

„s

u

k

ce

su

p

.

Z

ó

żm

y

,

że

w

y

k

o

n

y

w

an

y

ch

j

es

t

n

=

1

0

p

b

.

p

=

0

,5

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

p

=

0

,5

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

background image

>

r

o

u

n

d

(

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

1

0

,

s

i

z

e

=

1

0

,

p

r

o

b

=

0

.

5

)

,

5

)

0

.

0

0

0

9

8

0

.

0

0

9

7

7

0

.

0

4

3

9

5

0

.

1

1

7

1

9

0

.

2

0

5

0

8

0

.

2

4

6

0

9

0

.

2

0

5

0

8

0

.

1

1

7

1

9

0

.

0

4

3

9

5

0

.

0

0

9

7

7

0

.

0

0

0

9

8

R

o

zk

ła

d

j

es

t

sy

m

et

ry

cz

n

y

p

=

0

,5

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

background image

p

=

0

,8

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

>

r

o

u

n

d

(

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

1

0

,

s

i

z

e

=

1

0

,

p

r

o

b

=

0

.

8

)

,

7

)

0

.

0

0

0

0

0

0

1

0

.

0

0

0

0

0

4

1

0

.

0

0

0

0

7

3

7

0

.

0

0

0

7

8

6

4

0

.

0

0

5

5

0

5

0

0

.

0

2

6

4

2

4

1

0

.

0

8

8

0

8

0

4

0

.

2

0

1

3

2

6

6

0

.

3

0

1

9

8

9

9

0

.

2

6

8

4

3

5

5

0

.

1

0

7

3

7

4

2

R

o

zk

ła

d

m

a

zn

ac

zn

ą

as

y

m

et

ri

ę

le

w

o

st

ro

n

n

ą

(u

je

m

n

ą)

background image

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

1

0

,

s

i

z

e

=

1

0

,

p

r

o

b

=

0

.

1

)

0

.

3

4

8

6

7

8

4

4

0

1

0

.

3

8

7

4

2

0

4

8

9

0

0

.

1

9

3

7

1

0

2

4

4

5

0

.

0

5

7

3

9

5

6

2

8

0

0

.

0

1

1

1

6

0

2

6

1

0

0

.

0

0

1

4

8

8

0

3

4

8

0

.

0

0

0

1

3

7

7

8

1

0

0

.

0

0

0

0

0

8

7

4

8

0

0

.

0

0

0

0

0

0

3

6

4

5

0

.

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R

o

zk

ła

d

m

a

zn

ac

zn

ą

as

y

m

et

ri

ę

p

ra

w

o

st

ro

n

n

ą

(d

o

d

at

n

)

p

=

0

,1

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

background image

R

o

zk

ła

d

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

X

m

o

że

b

y

ć

sc

h

ar

ak

te

ry

zo

w

an

y

p

rz

ez

w

a

rt

o

ść

ś

re

d

n

i

w

a

ri

a

n

cj

ę

(l

u

b

o

d

ch

y

le

n

ie

s

ta

n

d

a

rd

o

w

e)

.

W

a

rt

o

ść

ś

re

d

n

ia

r

o

zk

ła

d

u

je

st

n

az

y

w

an

a

w

ar

to

śc

o

cz

ek

iw

an

ą

te

g

o

ro

zk

ła

d

u

(

al

b

o

w

ar

to

śc

o

cz

ek

iw

an

ą

zm

ie

n

n

ej

l

o

so

w

ej

o

t

y

m

ro

zk

ła

d

zi

e)

i

o

zn

ac

za

n

a

zw

y

k

le

p

rz

ez

m

(n

ie

k

ie

d

y

m

X

)

a

lb

o

E

X

.

W

a

ri

a

n

cj

a

r

o

zk

ła

d

u

je

st

o

zn

ac

za

n

a

zw

y

k

le

p

rz

ez

s

2

(n

ie

k

ie

d

y

s

X

2

)

lu

b

V

a

rX

al

b

o

D

2

X

.

Je

śl

i

X

~

B

in

(n

;p

),

t

o

E

X

=

n

·p

,

V

ar

X

=

n

·p

·(

1

-p

)

background image

Je

śl

i

n

je

st

d

u

że

o

ra

z

n

·p

·(

1

-p

)

¥

9

,

to

ro

zk

ła

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

o

że

b

y

ć

p

rz

y

b

li

żo

n

y

ro

zk

ła

d

em

n

o

rm

a

ln

y

m

.

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

0.0

0

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

0.1

0

X

~

B

in

(n

=

5

0

,p

=

0

,5

)

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

0.0

0

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

0.1

0

X

~

B

in

(n

=

5

0

,p

=

0

,5

)

lic

zb

a

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

background image

R

o

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

n

ie

t

y

lk

o

p

rz

y

b

li

ża

r

o

zk

ła

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

,

al

e

je

st

u

ży

w

an

y

d

o

m

o

d

el

o

w

an

ia

r

o

zk

ła

d

ó

w

w

ie

lu

c

ec

h

c

g

ły

ch

w

p

rz

y

ro

d

zi

e

i

w

n

au

k

ac

h

s

p

o

łe

cz

n

y

ch

.

M

o

żn

a

p

rz

y

p

u

sz

cz

,

że

c

ec

h

a

m

a

ro

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

,

je

śl

i

h

is

to

g

ra

m

t

ej

ce

ch

y

j

es

t

m

n

ie

j

w

ce

j

sy

m

et

ry

cz

n

y

i

m

a

w

y

ra

źn

e

m

ak

si

m

u

m

,

w

o

k

ó

ł

k

re

g

o

k

o

n

ce

n

tr

u

je

s

w

k

sz

o

ść

w

ar

to

śc

i.

K

rz

y

w

a

n

o

rm

a

ln

a

background image

K

rz

y

w

a

n

o

rm

a

ln

a

(k

rz

y

w

a

G

a

u

ss

a

,

k

rz

y

w

a

d

zw

o

n

o

w

a

)

x

y

2

2

2

2

1

σ

µ

π

σ

)

(

=

x

e

y

e

º

2

.7

1

8

2

8

2

p

º

3

.1

4

1

5

9

3

m

-

w

ar

to

ść

o

cz

ek

iw

an

a

ro

zk

ła

d

u

n

o

rm

al

n

eg

o

s

-

o

d

ch

y

le

n

ie

s

ta

n

d

ar

d

o

w

e

ro

zk

ła

d

u

n

o

rm

al

n

eg

o

O

zn

a

cz

en

ie

r

o

zk

ła

d

u

X

~

N

(

m

,s

2

)

background image

x

y

0

4

N

(

m

=

4

,s

2

=

4

)

N

(

m

=

0

,s

2

=

1

)

(r

o

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

s

ta

n

d

ar

y

zo

w

an

y

,

ro

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

s

ta

n

d

ar

d

o

w

y

)

background image

x

y

µ

1

µ

2

T

en

r

o

zk

ła

d

m

a

m

n

ie

js

ś

re

d

n

P

ar

am

et

r

m

d

ec

y

d

u

je

o

p

o

ło

że

n

iu

r

o

zk

ła

d

u

.

O

b

a

ro

zk

ła

d

y

m

aj

ą

id

en

ty

cz

n

e

ro

zp

ro

sz

en

ie

.

x

y

µ

1

=

µ

2

T

en

r

o

zk

ła

d

m

a

w

k

sz

ą

w

a

ri

a

n

cj

ę

s

2

P

ar

am

et

r

s

2

d

ec

y

d

u

je

o

r

o

zp

ro

sz

en

iu

r

o

zk

ła

d

u

.

O

b

a

ro

zk

ła

d

y

m

aj

ą

id

en

ty

cz

n

e

p

o

ło

że

n

ie

.

background image

x

y

P

o

le

o

b

sz

ar

u

p

o

d

k

rz

y

w

ą

n

o

rm

al

n

ą

je

st

r

ó

w

n

e

1

2

2

2

2

1

σ

µ

π

σ

)

(

=

x

e

y

L

in

ia

o

r

ó

w

n

an

iu

p

rz

ed

st

aw

ia

g

ęs

to

ść

ro

zk

ła

d

u

n

o

rm

al

n

eg

o

.

R

o

zk

ła

d

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

j

es

t

p

rz

y

k

ła

d

em

r

o

zk

ła

d

u

s

k

o

k

o

w

eg

o

(d

y

sk

re

tn

eg

o

)

R

o

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

j

es

t

p

rz

y

k

ła

d

em

ro

zk

ła

d

u

c

g

łe

g

o

.

R

o

zk

ła

d

y

s

k

o

k

o

w

e

p

rz

y

jm

u

p

rz

el

ic

za

ln

ą

li

cz

b

ę

w

ar

to

śc

i,

z

su

m

a

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

p

rz

y

ci

a

ty

ch

w

ar

to

śc

i

je

st

r

ó

w

n

a

1

.

R

o

zk

ła

d

y

c

g

łe

m

o

g

ą

p

rz

y

ć

d

o

w

o

ln

ą

w

ar

to

ść

z

o

k

re

śl

o

n

eg

o

p

rz

ed

zi

u

l

ic

zb

o

w

eg

o

.

D

la

r

o

zk

ła

d

ó

w

c

g

ły

ch

p

o

le

p

o

d

k

rz

y

w

ą

g

ęs

to

śc

i

je

st

r

ó

w

n

e

1

.

background image

Z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

m

a

m

ia

r

ó

w

n

ą

0

,6

8

2

7

Je

śl

i

ce

ch

a

m

a

ro

zk

ła

d

N

(

m

,s

2

),

t

o

w

o

b

b

ie

j

ed

n

eg

o

o

d

ch

y

le

n

ia

s

ta

n

d

ar

d

o

w

eg

o

o

d

ś

re

d

n

ie

j,

c

zy

li

w

p

rz

ed

zi

al

e

(m

s

,

m

+

s

)

zn

aj

d

u

je

s

6

8

,2

7

%

w

ar

to

śc

i

te

j

ce

ch

y

.

x

y

µ

µ

σ

µ

+

σ

background image

Z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

m

a

m

ia

r

ó

w

n

ą

0

,9

5

4

5

Je

śl

i

ce

ch

a

m

a

ro

zk

ła

d

N

(

m

,s

2

),

t

o

w

o

b

b

ie

d

w

ó

ch

o

d

ch

y

le

ń

st

an

d

ar

d

o

w

y

ch

o

d

ś

re

d

n

ie

j,

c

zy

li

w

p

rz

ed

zi

al

e

(m

2

s

,

m

+

2

s

)

zn

aj

d

u

je

s

9

5

,4

5

%

w

ar

to

śc

i

te

j

ce

ch

y

.

x

y

µ

µ

2

σ

µ

+

2

σ

background image

Z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

m

a

m

ia

r

ó

w

n

ą

0

,9

9

7

3

Je

śl

i

ce

ch

a

m

a

ro

zk

ła

d

N

(

m

,s

2

),

t

o

w

o

b

b

ie

t

rz

ec

h

o

d

ch

y

le

ń

st

an

d

ar

d

o

w

y

ch

o

d

ś

re

d

n

ie

j,

c

zy

li

w

p

rz

ed

zi

al

e

(m

3

s

,

m

+

3

s

)

zn

aj

d

u

je

s

9

9

,7

3

%

w

ar

to

śc

i

te

j

ce

ch

y

,

a

w

c

n

ie

m

al

w

sz

y

st

k

ie

w

ar

to

śc

i

te

j

ce

ch

y

.

x

y

µ

µ

3

σ

µ

+

3

σ

background image

0

4

X

~

N

(

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

Il

e

w

y

n

o

si

z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

?

>

p

n

o

r

m

(

4

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

0

.

9

7

7

2

4

9

9

0

4

X

~

N

(

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

>

1

-

p

n

o

r

m

(

4

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

0

.

0

2

2

7

5

0

1

3

background image

X

~

N

(

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

Il

e

w

y

n

o

si

z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

?

0

2

,7

3

,3

>

p

n

o

r

m

(

3

.

3

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

-

p

n

o

r

m

(

2

.

7

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

0

.

4

5

1

4

9

3

8

background image

X

~

N

(

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

Il

e

w

y

n

o

si

z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

?

>

1

-

(

p

n

o

r

m

(

3

.

3

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

-

p

n

o

r

m

(

2

.

7

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

)

[

1

]

0

.

5

4

8

5

0

6

2

0

2

,7

3

,3

background image

0

x

p

D

la

j

ak

ie

j

w

ar

to

śc

i

x

p

za

ci

en

io

w

an

e

p

o

le

j

es

t

w

n

e

0

,9

5

?

X

~

N

(

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

>

q

n

o

r

m

(

0

.

9

5

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

3

.

8

2

2

4

2

7

P

o

sz

u

k

iw

an

a

w

ar

to

ść

x

p

je

st

k

w

a

n

ty

le

m

r

d

u

0

,9

5

ro

zk

ła

d

u

N

(

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

background image

K

w

a

n

ty

le

m

rz

ęd

u

p

ro

zk

ła

d

u

c

g

łe

g

o

n

az

y

w

a

si

ę

li

cz

b

ę

x

p

m

aj

ąc

ą

ta

k

ą

w

ła

sn

o

ść

,

że

p

o

le

f

ig

u

ry

l

ąc

ej

n

ad

o

si

ą

O

X

,

p

o

d

k

rz

y

w

ą

g

ęs

to

śc

i

i

n

a

le

w

o

o

d

p

ro

st

ej

o

r

ó

w

n

an

iu

x

=

x

p

m

a

m

ia

w

n

ą

p

.

P

ro

st

a

o

r

ó

w

n

an

iu

x

=

x

p

K

rz

y

w

a

g

ęs

to

śc

i

Z

ak

re

sk

o

w

an

e

p

o

le

m

a

m

ia

r

ó

w

n

ą

p

x

p

K

w

a

n

ty

l

rz

ęd

u

p

background image

0

0

,1

0

,2

0

,3

0

,4

0

,5

-4

-2

0

2

4

P

o

la

p

o

d

k

rz

y

w

ą

g

ę

s

to

ś

c

i

ro

z

k

ła

d

u

N

(0

;1

)

s

ą

s

ta

b

li

c

o

w

a

n

e

U

st

al

o

n

a

li

cz

b

a

a

Z

ak

re

sk

o

w

an

e

p

o

le

m

o

że

b

y

ć

o

d

cz

y

ta

n

e

z

ta

b

li

c

st

at

y

st

y

cz

n

y

ch

P

ro

st

o

p

ad

ła

d

o

p

o

zi

o

m

ej

o

si

o

w

n

an

iu

x

=

a

background image

T

a

b

li

c

a

d

y

s

tr

y

b

u

a

n

ty

r

o

z

k

ła

d

u

n

o

rm

a

ln

e

g

o

s

ta

n

d

a

ry

z

o

w

a

n

e

g

o

0

,0

0

0

,0

1

0

,0

2

0

,0

3

0

,0

4

0

,0

5

0

,0

6

0

,0

7

0

,0

8

0

,0

9

0

,0

0

,5

0

0

0

0

,5

0

4

0

0

,5

0

8

0

0

,5

1

2

0

0

,5

1

6

0

0

,5

1

9

9

0

,5

2

3

9

0

,5

2

7

9

0

,5

3

1

9

0

,5

3

5

9

0

,1

0

,5

3

9

8

0

,5

4

3

8

0

,5

4

7

8

0

,5

5

1

7

0

,5

5

5

7

0

,5

5

9

6

0

,5

6

3

6

0

,5

6

7

5

0

,5

7

1

4

0

,5

7

5

3

0

,2

0

,5

7

9

3

0

,5

8

3

2

0

,5

8

7

1

0

,5

9

1

0

0

,5

9

4

8

0

,5

9

8

7

0

,6

0

2

6

0

,6

0

6

4

0

,6

1

0

3

0

,6

1

4

1

0

,3

0

,6

1

7

9

0

,6

2

1

7

0

,6

2

5

5

0

,6

2

9

3

0

,6

3

3

1

0

,6

3

6

8

0

,6

4

0

6

0

,6

4

4

3

0

,6

4

8

0

0

,6

5

1

7

0

,4

0

,6

5

5

4

0

,6

5

9

1

0

,6

6

2

8

0

,6

6

6

4

0

,6

7

0

0

0

,6

7

3

6

0

,6

7

7

2

0

,6

8

0

8

0

,6

8

4

4

0

,6

8

7

9

0

,5

0

,6

9

1

5

0

,6

9

5

0

0

,6

9

8

5

0

,7

0

1

9

0

,7

0

5

4

0

,7

0

8

8

0

,7

1

2

3

0

,7

1

5

7

0

,7

1

9

0

0

,7

2

2

4

0

,6

0

,7

2

5

7

0

,7

2

9

1

0

,7

3

2

4

0

,7

3

5

7

0

,7

3

8

9

0

,7

4

2

2

0

,7

4

5

4

0

,7

4

8

6

0

,7

5

1

7

0

,7

5

4

9

0

,7

0

,7

5

8

0

0

,7

6

1

1

0

,7

6

4

2

0

,7

6

7

3

0

,7

7

0

4

0

,7

7

3

4

0

,7

7

6

4

0

,7

7

9

4

0

,7

8

2

3

0

,7

8

5

2

0

,8

0

,7

8

8

1

0

,7

9

1

0

0

,7

9

3

9

0

,7

9

6

7

0

,7

9

9

5

0

,8

0

2

3

0

,8

0

5

1

0

,8

0

7

8

0

,8

1

0

6

0

,8

1

3

3

0

,9

0

,8

1

5

9

0

,8

1

8

6

0

,8

2

1

2

0

,8

2

3

8

0

,8

2

6

4

0

,8

2

8

9

0

,8

3

1

5

0

,8

3

4

0

0

,8

3

6

5

0

,8

3

8

9

1

,0

0

,8

4

1

3

0

,8

4

3

8

0

,8

4

6

1

0

,8

4

8

5

0

,8

5

0

8

0

,8

5

3

1

0

,8

5

5

4

0

,8

5

7

7

0

,8

5

9

9

0

,8

6

2

1

1

,1

0

,8

6

4

3

0

,8

6

6

5

0

,8

6

8

6

0

,8

7

0

8

0

,8

7

2

9

0

,8

7

4

9

0

,8

7

7

0

0

,8

7

9

0

0

,8

8

1

0

0

,8

8

3

0

1

,2

0

,8

8

4

9

0

,8

8

6

9

0

,8

8

8

8

0

,8

9

0

7

0

,8

9

2

5

0

,8

9

4

4

0

,8

9

6

2

0

,8

9

8

0

0

,8

9

9

7

0

,9

0

1

5

1

,3

0

,9

0

3

2

0

,9

0

4

9

0

,9

0

6

6

0

,9

0

8

2

0

,9

0

9

9

0

,9

1

1

5

0

,9

1

3

1

0

,9

1

4

7

0

,9

1

6

2

0

,9

1

7

7

1

,4

0

,9

1

9

2

0

,9

2

0

7

0

,9

2

2

2

0

,9

2

3

6

0

,9

2

5

1

0

,9

2

6

5

0

,9

2

7

9

0

,9

2

9

2

0

,9

3

0

6

0

,9

3

1

9

1

,5

0

,9

3

3

2

0

,9

3

4

5

0

,9

3

5

7

0

,9

3

7

0

0

,9

3

8

2

0

,9

3

9

4

0

,9

4

0

6

0

,9

4

1

8

0

,9

4

2

9

0

,9

4

4

1

1

,6

0

,9

4

5

2

0

,9

4

6

3

0

,9

4

7

4

0

,9

4

8

4

0

,9

4

9

5

0

,9

5

0

5

0

,9

5

1

5

0

,9

5

2

5

0

,9

5

3

5

0

,9

5

4

5

1

,7

0

,9

5

5

4

0

,9

5

6

4

0

,9

5

7

3

0

,9

5

8

2

0

,9

5

9

1

0

,9

5

9

9

0

,9

6

0

8

0

,9

6

1

6

0

,9

6

2

5

0

,9

6

3

3

1

,8

0

,9

6

4

1

0

,9

6

4

9

0

,9

6

5

6

0

,9

6

6

4

0

,9

6

7

1

0

,9

6

7

8

0

,9

6

8

6

0

,9

6

9

3

0

,9

6

9

9

0

,9

7

0

6

1

,9

0

,9

7

1

3

0

,9

7

1

9

0

,9

7

2

6

0

,9

7

3

2

0

,9

7

3

8

0

,9

7

4

4

0

,9

7

5

0

0

,9

7

5

6

0

,9

7

6

1

0

,9

7

6

7

2

,0

0

,9

7

7

2

0

,9

7

7

8

0

,9

7

8

3

0

,9

7

8

8

0

,9

7

9

3

0

,9

7

9

8

0

,9

8

0

3

0

,9

8

0

8

0

,9

8

1

2

0

,9

8

1

7

2

,1

0

,9

8

2

1

0

,9

8

2

6

0

,9

8

3

0

0

,9

8

3

4

0

,9

8

3

8

0

,9

8

4

2

0

,9

8

4

6

0

,9

8

5

0

0

,9

8

5

4

0

,9

8

5

7

background image

Z

ó

żm

y

,

że

w

zr

o

st

d

o

ro

y

ch

m

ęż

cz

y

zn

m

a

ro

zk

ła

d

N

(

m

=

1

7

5

,s

2

=

5

2

).

x

y

µ

µ

σ

µ

+

σ

P

o

le

j

es

t

w

n

e

0

,6

8

2

7

W

y

n

ik

a

st

ąd

n

p

.,

ż

e

6

8

,2

7

%

m

ęż

cz

y

zn

m

a

o

d

1

7

0

d

o

1

8

9

c

m

w

zr

o

st

u

o

k

o

ło

1

5

,9

%

m

ęż

cz

y

zn

m

a

p

o

w

y

że

j

1

8

0

c

m

w

zr

o

st

u

o

k

o

ło

1

5

,9

%

m

ęż

cz

y

zn

m

a

p

o

n

ej

1

8

0

c

m

w

zr

o

st

u

P

o

le

j

es

t

w

n

e

(1

-

0

,6

8

2

7

)/

2

=

0

,1

5

8

6

5

P

o

le

j

es

t

w

n

e

0

,1

5

8

6

5

background image

Z

ó

żm

y

,

że

w

zr

o

st

d

o

ro

y

ch

m

ęż

cz

y

zn

m

a

ro

zk

ła

d

N

(

m

=

1

7

5

,s

2

=

5

2

).

Ja

k

i

o

d

se

te

k

m

ęż

cz

y

zn

m

a

p

o

n

ej

1

8

2

c

m

w

zr

o

st

u

?

1

5

0

1

6

0

1

7

0

1

8

0

1

9

0

2

0

0

0.0

0

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

w

zr

o

s

t

w

c

m

sto

ść

ro

zk

ła

du

>

p

n

o

r

m

(

1

8

2

,

m

e

a

n

=

1

7

5

,

s

d

=

5

)

[

1

]

0

.

9

1

9

2

4

3

3

background image

Is

tn

ie

r

o

zk

ła

d

y

c

g

łe

i

n

n

e,

n

r

o

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

,

n

p

.

ro

zk

ła

d

je

d

n

o

st

a

jn

y

.

H

is

to

g

ra

m

d

la

1

0

0

0

w

a

rt

o

śc

i

ce

ch

y

,

k

ra

m

o

że

b

y

ć

o

p

is

a

n

a

p

r

ze

z

ro

zk

ła

d

j

ed

n

o

st

a

jn

y

n

a

p

rz

ed

zi

a

le

(

1

5

0

,

2

0

0

)

W

a

rt

o

ś

c

i

c

e

c

h

y

sto

ść

1

0

0

1

5

0

2

0

0

2

5

0

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

W

a

rt

o

ś

c

i

c

e

c

h

y

Cz

ęs

to

ść

w

ys

po

wa

nia

1

0

0

1

5

0

2

0

0

2

5

0

0

50

10

0

15

0

background image

In

n

y

p

rz

y

k

ła

d

r

o

zk

ła

d

u

c

g

łe

g

o

:

ro

zk

ła

d

w

y

k

ła

d

n

ic

zy

W

a

rt

o

ś

c

i

c

e

c

h

y

Cz

ęs

to

ść

w

ys

po

wa

nia

0

2

4

6

8

1

0

0

10

0

20

0

30

0

40

0

50

0

60

0

70

0

H

is

to

g

ra

m

d

la

1

0

0

0

w

a

rt

o

śc

i

ce

ch

y

,

k

ra

m

o

że

b

y

ć

o

p

is

a

n

a

p

r

ze

z

ro

zk

ła

d

w

y

k

ła

d

n

ic

zy

z

e

śr

ed

n

1

W

a

rt

o

ś

c

i

c

e

c

h

y

sto

ść

0

2

4

6

8

1

0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

background image

Z

ó

żm

y

,

że

w

zr

o

st

d

o

ro

y

ch

m

ęż

cz

y

zn

w

p

o

p

u

la

cj

i

o

p

is

y

w

an

y

j

es

t

p

rz

ez

r

o

zk

ła

d

n

o

rm

al

n

y

N

(

m

=

1

7

5

,s

2

=

5

2

).

L

o

su

je

m

y

z

t

ej

p

o

p

u

la

cj

i

b

ar

d

zo

w

ie

le

p

b

,

p

rz

y

c

zy

m

k

d

a

p

b

a

li

cz

y

9

e

le

m

en

w

.

p

b

a

n

r

1

:

1

7

2

1

7

6

1

7

5

1

7

9

1

7

6

1

7

7

1

7

2

1

7

9

1

7

1

p

b

a

n

r

2

:

1

7

3

1

7

5

1

7

5

1

7

4

1

7

9

1

7

6

1

7

5

1

7

3

1

7

8

p

b

a

n

r

3

:

1

7

0

1

8

7

1

7

3

1

7

9

1

7

6

1

7

9

1

7

1

1

7

3

1

7

1

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

N

as

p

n

ie

d

la

k

d

ej

p

b

y

l

ic

zy

m

y

ś

re

d

n

:

śr

ed

n

ia

d

la

p

b

y

n

r

1

:

1

7

6

,4

śr

ed

n

ia

d

la

p

b

y

n

r

2

:

1

7

4

,8

śr

ed

n

ia

d

la

p

b

y

n

r

3

:

1

7

6

,0

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

background image

R

y

su

je

m

y

h

is

to

g

ra

m

r

o

zk

ła

d

u

ś

re

d

n

ic

h

z

p

b

y

ś

re

d

n

ie

z

p

b

lic

zb

a p

b

1

6

8

1

7

0

1

7

2

1

7

4

1

7

6

1

7

8

1

8

0

1

8

2

0

50

0

10

00

15

00

20

00

25

00

ś

re

d

n

ie

z

p

b

sto

ść

1

6

8

1

7

0

1

7

2

1

7

4

1

7

6

1

7

8

1

8

0

1

8

2

0.0

0

0.0

5

0.1

0

0.1

5

0.2

0

0.2

5

background image

P

ra

w

d

zi

w

e

je

st

n

as

p

u

ce

t

w

ie

rd

ze

n

ie

:

J

li

p

b

y

(d

o

w

o

ln

eg

o

r

o

zm

ia

ru

)

p

o

ch

o

d

z

ro

zk

ła

d

u

n

o

rm

a

ln

eg

o

N

(m

,

s

2

),

to

ś

re

d

n

ie

z

p

b

m

a

ro

zk

ła

d

n

o

rm

a

ln

y

z

w

a

rt

o

śc

śr

ed

n

m

o

ra

z

w

a

ri

a

n

cj

ą

s

2

/n

.

P

ra

w

d

zi

w

e

je

st

t

ak

że

n

as

p

u

ce

t

w

ie

rd

ze

n

ie

:

J

li

p

b

y

(d

u

że

g

o

r

o

zm

ia

ru

,

co

n

a

jm

n

ie

j

3

0

)

p

o

ch

o

d

z

d

o

w

o

ln

eg

o

ro

zk

ła

d

u

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

,

k

ry

m

a

w

a

rt

o

ść

śr

ed

n

m

i

w

a

ri

a

n

cj

ę

s

2

,

to

ś

re

d

n

ie

z

p

b

m

a

ro

zk

ła

d

n

o

rm

a

ln

y

z

w

a

rt

o

śc

śr

ed

n

m

o

ra

z

w

a

ri

a

n

cj

ą

s

2

/n

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
02 ROZKŁAD NORMALNY, JEDNOSTANJY i DWUMIANOWY
02b Rozkład normalnyid 4039 ppt
Tablica standaryzowanego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej równej zeru i wariancji równej j
T3 Rozkład normalny
sad-materialy-pomocnicze, Rozkład Normalny N, Rozkład Normalny N(0,1)
Rozkład normalny, sql
rozklad normalny
statystyka wykłady, Wyklad5-6, Rozkład normalny
6 Statystyka w badaniach Rozkład normalny
tablice statystyczne wartosci krytyczne rozkladu normalnego
03 Tablica standardowego rozkladu normalnego
dystrybuanta-rozkladu-normalnego-standaryzowanego
rozklad normalny, centyle
Wykład3 rozkład normalny
3408 rozklad normalny
1 Rozkład normalny

więcej podobnych podstron