background image

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

.

R

o

zk

ła

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

.

R

o

zk

ła

d

 n

o

rm

a

ln

y

.

background image

Z

d

a

rz

en

ia

 l

o

so

w

e

to

 t

ak

ie

 z

d

ar

ze

n

ia

k

re

 m

o

g

ą 

za

ć 

lu

b

 n

ie

w

 d

an

y

m

 e

k

sp

er

y

m

en

ci

(d

o

św

ia

d

cz

en

iu

).

N

p

w

 e

k

sp

er

y

m

en

ci

p

o

le

g

aj

ąc

y

m

 n

rz

u

ci

k

o

st

k

ą 

d

o

 g

ry

p

rz

y

k

ła

d

o

w

zd

ar

ze

n

ia

 l

o

so

w

to

:

-

w

y

p

ad

n

ci

„s

st

k

i”

-

w

y

p

ad

n

ci

p

ar

zy

st

ej

 l

ic

zb

y

 o

cz

ek

-

w

y

p

ad

n

ci

li

cz

b

y

 o

cz

ek

 w

k

sz

ej

n

 4

O

g

ó

ln

ie

 m

o

Ŝn

w

sk

az

 a

Ŝ 

3

2

 r

ó

Ŝn

zd

ar

ze

n

ia

 l

o

so

w

w

 t

y

m

 

ek

sp

er

y

m

en

ci

e.

Je

śl

b

ęd

zi

em

y

 w

ie

lo

k

ro

tn

ie

 p

o

w

ta

rz

 t

en

 e

k

sp

er

y

m

en

t,

 t

o

 n

ie

 w

sz

y

st

k

ie

ty

ch

 z

d

ar

ze

ń

 b

ęd

ą 

p

o

ja

w

ia

ć 

si

ę 

w

n

ie

 c

st

o

.

N

ie

k

re

 z

 n

ic

h

 w

y

st

ąp

 c

śc

ie

j,

 n

 i

n

n

e:

 n

p

w

y

p

ad

n

ci

p

ar

zy

st

ej

 

li

cz

b

y

 o

cz

ek

 z

d

ar

zy

 s

 z

n

ac

zn

ie

 c

śc

ie

j,

 n

 w

y

p

ad

n

ci

„s

st

k

i”

.

background image

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

w

y

ra

Ŝa

 l

ic

zb

o

w

o

 s

za

n

 z

aj

śc

ia

 d

an

eg

o

 

zd

ar

ze

n

ia

.

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 j

es

w

y

ra

Ŝo

n

u

ła

m

k

ie

m

 z

aw

ar

ty

m

 p

o

m

d

zy

0

 i

 1

 (

n

ie

k

ie

d

y

 t

ak

Ŝe

 j

ak

o

 p

ro

ce

n

p

o

m

d

zy

 0

%

 i

 1

0

0

%

)

Je

śl

je

d

n

o

k

ro

tn

ie

 r

zu

ca

m

y

 s

y

m

et

ry

cz

n

ą 

m

o

n

et

ą,

 t

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 w

y

p

ad

n

ci

o

w

y

n

o

si

 0

,5

 (

al

b

o

 5

0

%

)

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 w

y

p

ad

n

ci

o

lu

b

 r

es

zk

w

y

n

o

si

 1

 (

al

b

o

 

1

0

0

%

);

 w

y

p

ad

n

ci

o

lu

b

 r

es

zk

je

st

 z

d

a

rz

en

ie

m

 p

ew

n

ym

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 w

y

p

ad

n

ci

in

n

eg

o

 w

y

n

ik

u

n

 o

rz

 l

u

b

 r

es

zk

 

w

y

n

o

si

 0

 (

al

b

o

 0

%

);

 w

y

p

ad

n

ci

w

 j

ed

n

o

k

ro

tn

y

m

 r

zu

ci

m

o

n

et

ą 

in

n

eg

o

 w

y

n

ik

u

n

 o

rz

 l

u

b

 r

es

zk

je

st

 z

d

a

rz

en

ie

m

 n

ie

m

o

Ŝl

iw

ym

.

background image

Je

śl

rz

u

ca

m

y

 s

y

m

et

ry

cz

n

ą 

sz

ci

en

n

ą 

k

o

st

k

ą 

d

o

 g

ry

to

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 w

y

p

ad

n

ci

1

 o

cz

k

je

st

 r

ó

w

n

1

/6

.

C

st

o

śc

io

w

a

 i

n

te

rp

re

ta

cj

a

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

:

je

śl

w

y

k

o

n

am

y

 b

ar

d

zo

 w

ie

le

 r

zu

w

 t

ą 

k

o

st

k

ą,

 t

o

 m

o

Ŝn

o

cz

ek

iw

Ŝe

 o

k

o

ło

 1

/6

 t

y

ch

 r

zu

w

 z

ak

o

ń

cz

y

 s

 w

y

rz

u

ce

n

ie

m

 1

 o

cz

k

a.

N

p

je

śl

rz

u

ci

m

y

 2

4

0

0

 r

az

y

to

 m

o

Ŝn

si

ę 

sp

o

d

zi

ew

Ŝe

 o

k

o

ło

 4

0

0

 

ra

zy

 w

y

rz

u

ci

m

y

 1

 o

cz

k

o

.

Im

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 j

es

b

li

Ŝs

ze

 1

 (

1

0

0

%

),

 t

y

m

 z

d

ar

ze

n

ie

 j

es

b

ar

d

zi

ej

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e.

 J

li

 z

d

ar

ze

n

ie

 j

es

p

ew

n

e,

 t

o

 j

eg

o

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 j

es

w

n

1

.

Im

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 j

es

b

li

Ŝs

ze

 0

 (

0

%

),

 t

y

m

 z

d

ar

ze

n

ie

 j

es

m

n

ie

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e.

 J

li

 z

d

ar

ze

n

ie

 j

es

n

ie

m

o

Ŝl

iw

e,

 t

o

 j

eg

o

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 j

es

w

n

0

.

background image

Z

d

a

r

ze

n

ia

 l

o

so

w

m

o

g

ą

 s

 w

y

k

lu

c

za

ć

n

p

w

 p

o

je

d

y

n

cz

y

m

 r

zu

ci

k

o

st

k

ą 

n

ie

 

je

st

 m

o

Ŝl

iw

je

d

n

o

cz

es

n

za

ci

zd

ar

ze

n

ia

 p

o

le

g

aj

ąc

eg

o

n

w

y

rz

u

ce

n

iu

 1

 o

cz

k

2

 o

cz

ek

.

Je

śl

zd

ar

ze

n

ia

 A

 i

 B

 w

y

k

lu

cz

aj

ą 

si

ę,

 t

o

 

P

(A

 l

u

b

 B

=

 P

(A

+

 P

(B

)

P

(1

 o

cz

k

o

 l

u

b

 2

 o

cz

k

a)

 =

 P

(1

 o

cz

k

o

+

 P

(2

 o

cz

k

a)

 =

 1

/6

  

+

 1

/6

 =

 2

/6

Z

d

a

r

ze

n

ia

 l

o

so

w

m

o

g

ą

 b

y

ć 

n

ie

za

le

Ŝn

e.

Z

d

ar

ze

n

ia

 s

ą 

n

ie

za

le

Ŝn

e,

 j

li

 z

aj

śc

ie

 j

ed

n

eg

o

 z

 t

y

ch

 z

d

ar

ze

ń

 n

ie

 m

w

p

ły

w

u

 

n

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 z

aj

śc

ia

 d

ru

g

ie

g

o

 z

 t

y

ch

 z

d

ar

ze

ń

w

y

rz

u

ce

n

ie

 2

 o

cz

ek

 

w

 p

ie

rw

sz

y

m

 r

zu

ci

k

o

st

k

ą 

n

ie

 z

m

ie

n

ia

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zd

ar

ze

n

ia

Ŝe

w

 d

ru

g

im

 r

zu

ci

w

y

rz

u

ci

m

y

 6

 o

cz

ek

.

Je

śl

zd

ar

ze

n

ia

 A

 i

 B

 s

ą 

n

ie

za

le

Ŝn

e,

 t

o

 

P

(A

 i

 B

=

 P

(A

·

P

(B

)

P

(2

 o

cz

k

w

 p

ie

rw

sz

y

m

 r

zu

ci

6

 o

cz

ek

 w

 d

ru

g

im

 r

zu

ci

e)

 =

 

=

 P

(2

 o

cz

k

w

 p

ie

rw

sz

y

m

 r

zu

ci

e)

 ·

P

(6

 o

cz

ek

 w

 d

ru

g

im

 r

zu

ci

e)

 =

 1

/6

 ·

1

/6

 =

 1

/3

6

background image

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

 p

o

le

g

n

d

w

u

k

ro

tn

y

m

 r

zu

ci

m

o

n

et

ą.

o

rz

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

o

rz

o

rz

re

sz

k

a

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

1

/2

1

/2

M

o

Ŝl

iw

w

y

n

ik

p

rz

eb

ie

g

u

 t

eg

o

 d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 (

zd

a

rz

en

ia

 e

le

m

en

ta

rn

e)

 

to

:

(o

rz

o

rz

),

 (

o

rz

re

sz

k

a)

(r

es

zk

a,

 o

rz

),

 (

re

sz

k

a,

 r

es

zk

a)

M

o

Ŝl

iw

w

y

n

ik

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 t

w

o

rz

ą 

p

rz

es

tr

ze

ń

 (

zb

r)

 z

d

a

rz

 

el

em

en

ta

rn

y

ch

.

background image

W

sz

y

st

k

ie

 z

d

ar

ze

n

ia

 e

le

m

en

ta

rn

w

 t

y

m

 d

o

św

ia

d

cz

en

iu

 s

ą 

je

d

n

ak

o

w

o

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e.

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 k

d

eg

o

 z

 n

ic

h

 j

es

w

n

0

,2

5

.

o

rz

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

o

rz

o

rz

re

sz

k

a

re

sz

k

a

1

/2

1

/2

1

/2

1

/2

In

te

rp

re

ta

cj

a:

Je

śl

b

ar

d

zo

 w

ie

le

 r

az

y

 p

o

w

rz

y

m

y

 

d

o

św

ia

d

cz

en

ie

 p

o

le

g

aj

ąc

n

d

w

u

k

ro

tn

y

m

 

rz

u

ci

m

o

n

et

ą,

 t

o

 m

o

Ŝn

o

cz

ek

iw

Ŝe

 n

p

w

y

n

ik

 (

o

rz

o

rz

p

o

ja

w

si

ę 

w

 ¼

 t

y

ch

 

d

o

św

ia

d

cz

.

background image

(o

rz

o

rz

),

 (

o

rz

re

sz

k

a)

(r

es

zk

a,

 o

rz

),

 (

re

sz

k

a,

 r

es

zk

a)

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 k

d

eg

o

 z

 p

o

w

y

Ŝs

zy

ch

 z

d

ar

ze

ń

  

el

em

en

ta

rn

y

ch

je

st

 r

ó

w

n

0

,2

5

.

Z

a

łó

Ŝm

y,

 Ŝ

in

te

re

su

je

 n

a

s

1

.

li

cz

b

a

 o

ó

w

ja

ka

 m

o

Ŝe

 p

o

ja

w

 s

 w

 d

w

u

kr

o

tn

ym

 r

zu

ci

m

o

n

et

ą

2

.

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 w

ys

p

ie

n

ia

 d

a

n

ej

 l

ic

zb

o

ó

w

.

L

ic

zb

o

ó

w

 j

es

zm

ie

n

n

ą

 l

o

so

w

ą

cz

y

li

 w

ar

to

śc

 l

ic

zb

o

w

ą 

za

le

Ŝn

ą

o

d

 p

rz

y

p

ad

k

u

 (

za

le

Ŝn

o

d

 w

y

n

ik

u

 d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 l

o

so

w

eg

o

).

Z

m

ie

n

n

ta

 m

o

Ŝe

 p

rz

y

ć 

tr

zy

 w

ar

to

śc

i:

0

 (

b

ra

k

 o

ó

w

),

 1

 (

je

d

en

 o

rz

),

 2

 (

d

w

o

y

)

Je

śl

o

zn

ac

zm

y

 t

ę 

zm

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

p

rz

ez

 X

to

 m

o

Ŝn

za

p

is

Ŝe

P

(X

 =

 0

=

 P

((

re

sz

k

a,

re

sz

k

a)

=

 0

,2

5

P

(X

 =

 1

=

 P

((

o

rz

,r

es

zk

a)

+

 P

((

re

sz

k

a,

o

rz

))

 =

 0

,2

5

+

0

,2

5

 =

  

0

,5

0

P

(X

 =

 2

=

 P

((

o

rz

,o

rz

))

 =

 0

,2

5

background image

Je

śl

o

k

re

śl

im

y

m

o

Ŝl

iw

w

a

rt

o

śc

i,

 j

a

k

ie

 m

o

Ŝe

 p

rz

y

ć 

zm

ie

n

n

a

 l

o

so

w

a

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

ja

k

im

te

 w

a

rt

o

śc

w

y

st

ą

p

to

 m

ó

w

im

y

Ŝe

 o

k

re

śl

o

n

y

 j

es

ro

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

te

zm

ie

n

n

ej

 

lo

so

w

ej

.

background image

R

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

w

y

g

o

d

n

ie

 j

es

p

rz

ed

st

aw

ia

ć 

w

 t

ab

el

i/

lu

b

 n

w

y

k

re

si

e.

L

ic

zb

o

ó

w

 

0

 

1

 

2

 

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 0

,2

5

 0

,5

0

 0

,2

5

 

 

lic

zb

a

 o

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

0.2

5

0.5

0

0.7

5

1.0

0

background image

W

 u

rn

ie

 z

n

aj

d

u

je

 s

 j

ed

n

ak

o

w

li

cz

b

k

u

b

ia

ły

ch

 i

 c

za

rn

y

ch

Je

śl

B

 o

zn

ac

za

 

w

y

lo

so

w

an

ie

 k

u

li

 b

ia

łę

j,

 z

 C

 c

za

rn

ej

to

 P

(B

=

 P

(C

=

 0

,5

.

L

o

su

je

m

y

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

 k

o

le

jn

o

 d

w

ie

 k

u

le

.

B

C

1

/2

1

/2

B

B

C

C

1

/2

1

/2

1

/2

1

/2

M

o

Ŝl

iw

w

y

n

ik

p

rz

eb

ie

g

u

 t

eg

o

 d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 (

zd

ar

ze

n

ia

 e

le

m

en

ta

rn

e)

 

to

(B

B

),

 (

B

C

),

 (

C

B

),

 (

C

C

).

W

sz

y

st

k

ie

 z

d

ar

ze

n

ia

 e

le

m

en

ta

rn

 j

ed

n

ak

o

w

o

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e,

 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 k

d

eg

o

 z

 n

ic

h

 j

es

w

n

0

,2

5

.

background image

L

ic

zb

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 d

w

ó

ch

 w

y

lo

so

w

an

y

ch

 j

es

zm

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą;

o

zn

ac

zm

y

 j

ą 

p

rz

ez

 Y

.

P

rz

es

tr

ze

ń

 z

d

ar

ze

ń

 e

le

m

en

ta

rn

y

ch

 z

aw

ie

ra

 n

as

p

u

ce

 e

le

m

en

ty

:

(B

B

),

 (

B

C

),

 (

C

B

),

 (

C

C

).

R

o

zk

ła

d

 z

m

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 Y

Z

m

ie

n

n

lo

so

w

X

 o

p

is

u

ca

 l

ic

zb

ę 

o

ó

w

 w

 d

w

ó

ch

 r

zu

ta

ch

 m

o

n

et

ą

zm

ie

n

n

lo

so

w

Y

 o

p

is

u

ca

 l

ic

zb

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 d

w

ó

ch

 

w

y

lo

so

w

an

y

ch

 m

aj

ą 

te

 s

a

m

ro

zk

ła

d

y

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

.

L

o

so

w

an

ie

 (

ze

 z

w

ra

ca

n

ie

m

k

u

u

rn

y

 m

o

Ŝe

 b

y

ć 

m

o

d

el

em

d

la

 r

zu

tu

 

m

o

n

et

ą.

L

ic

zb

k

u

b

ia

ły

ch

 

0

 

1

 

2

 

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 0

,2

5

 0

,5

0

 0

,2

5

 

 

background image

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

 u

rn

ie

 j

es

2

5

%

 k

u

b

ia

ły

ch

 i

 7

5

%

 k

u

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

st

ąd

Ŝe

 P

(B

=

 0

,2

5

 i

 P

(C

=

 0

,7

5

L

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 u

rn

y

 3

 r

az

y

 p

o

 j

ed

n

ej

 k

u

li

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

.

B

C

B

B

C

C

B

B

B

B

C

C

C

C

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

background image

8

 m

o

Ŝl

iw

y

ch

 w

y

n

ik

ó

w

:

(B

,B

,B

),

 (

B

,B

,C

),

 (

B

,C

,B

),

 (

B

,C

,C

),

 (

C

,B

,B

),

 (

C

,B

,C

),

 (

C

,C

,B

),

 (

C

,C

,C

)

W

y

n

ik

te

 n

ie

 s

ą

 j

ed

n

a

k

o

w

o

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

n

e

.

B

C

B

B

C

C

B

B

B

B

C

C

C

C

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

background image

P

(B

,B

,B

=

 0

,2

5

·0

,2

5

·0

,2

5

 =

 0

,0

1

5

6

2

5

P

(B

,B

,C

=

 0

,2

5

·0

,2

5

·0

,7

5

 =

 0

,0

4

6

8

7

5

B

C

B

B

C

C

B

B

B

B

C

C

C

C

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,2

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

0

,7

5

background image

P

(B

,B

,B

=

 0

,2

5

·0

,2

5

·0

,2

5

 =

 0

,0

1

5

6

2

5

P

(B

,B

,C

=

 0

,2

5

·0

,2

5

·0

,7

5

 =

 0

,0

4

6

8

7

5

P

(B

,C

,B

=

 0

,2

5

·0

,7

5

·0

,2

5

 =

 0

,0

4

6

8

7

5

P

(B

,C

,C

=

 0

,2

5

·0

,7

5

·0

,7

5

 =

 0

,1

4

0

6

2

5

P

(C

,B

,B

=

 0

,7

5

·0

,2

5

·0

,2

5

 =

 0

,0

4

6

8

7

5

P

(C

,B

,C

=

 0

,7

5

·0

,2

5

·0

,7

5

 =

 0

,1

4

0

6

2

5

P

(C

,C

,B

=

 0

,7

5

·0

,7

5

·0

,2

5

 =

 0

,1

4

0

6

2

5

P

(C

,C

,C

=

 0

,7

5

·0

,7

5

·0

,7

5

 =

 0

,4

2

1

8

7

5

A

0

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 0

 k

u

b

ia

ły

ch

P

(A

0

=

 0

,4

2

1

8

7

5

A

1

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 1

 k

u

 b

ia

łą

P

(A

1

=

 P

(B

,C

,C

+

 P

(C

,B

,C

+

 P

(C

,C

,B

=

 3

·

0

,1

4

0

6

2

5

 =

 0

,4

2

1

8

7

5

A

2

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 2

 k

u

le

 b

ia

łe

P

(A

2

=

 P

(B

,B

,C

+

 P

(B

,C

,B

+

 P

(C

,B

,B

=

 3

·

0

,0

4

6

8

7

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

A

3

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 3

 k

u

le

 b

ia

łe

P

(A

3

=

 0

,0

1

5

6

2

5

S

u

m

je

st

 r

ó

w

n

1

background image

A

0

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 0

 k

u

b

ia

ły

ch

P

(A

0

=

 0

,4

2

1

8

7

5

A

1

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 1

 k

u

 b

ia

łą

P

(A

1

=

 P

(B

,C

,C

+

 P

(C

,B

,C

+

 P

(C

,C

,B

=

 3

·

0

,1

4

0

6

2

5

 =

 0

,4

2

1

8

7

5

A

2

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 2

 k

u

le

 b

ia

łe

P

(A

2

=

 P

(B

,B

,C

+

 P

(B

,C

,B

+

 P

(C

,B

,B

=

 3

·

0

,0

4

6

8

7

5

=

0

,1

4

0

6

2

5

A

3

 –

w

y

lo

so

w

an

o

 3

 k

u

le

 b

ia

łe

P

(A

3

=

 0

,0

1

5

6

2

5

N

ie

ch

 X

 o

zn

ac

za

 z

m

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

o

p

is

u

 l

ic

zb

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 

tr

ze

ch

 k

u

w

y

lo

so

w

an

y

ch

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

.

P

(X

=

0

=

0

,4

2

1

8

7

5

P

(X

=

1

=

0

,4

2

1

8

7

5

P

(X

=

2

=

0

,1

4

0

6

2

5

P

(X

=

3

=

0

,0

1

5

6

2

5

background image

N

ie

ch

 X

 o

zn

ac

za

 z

m

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

o

p

is

u

 l

ic

zb

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

.

P

(X

=

0

=

0

,4

2

1

8

7

5

P

(X

=

1

=

0

,4

2

1

8

7

5

P

(X

=

2

=

0

,1

4

0

6

2

5

P

(X

=

3

=

0

,0

1

5

6

2

5

R

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 X

L

ic

zb

k

u

b

ia

ły

ch

 

0

 

1

 

2

 

3

 

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 

0

,4

2

1

8

7

5

 

0

,4

2

1

8

7

5

 

0

,1

4

0

6

2

5

 

0

,0

1

5

6

2

5

 

 

lic

zb

a

 k

u

l b

ia

ły

c

h

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

background image

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

 u

rn

ie

 j

es

2

5

%

 k

u

b

ia

ły

ch

 i

 7

5

%

 k

u

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

st

ąd

Ŝe

 P

(B

=

 0

,2

5

 i

 P

(C

=

 0

,7

5

L

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 u

rn

y

 3

 r

az

y

 p

o

 j

ed

n

ej

 k

u

li

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

 n

as

 r

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 

o

p

is

u

ce

li

cz

b

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 w

y

lo

so

w

an

y

ch

.

T

ak

 s

fo

rm

u

ło

w

an

y

 p

ro

b

le

m

 j

es

sz

cz

eg

ó

ln

y

m

 p

rz

y

p

a

d

k

ie

m

 

n

a

st

ęp

u

ce

g

o

 p

ro

b

le

m

u

 o

g

ó

ln

ie

js

ze

g

o

:

N

ie

ch

 p

b

ęd

zi

li

cz

b

ą 

p

rz

ed

zi

u

 o

d

 0

 d

o

 1

.

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

 u

rn

ie

 j

es

p

·1

0

0

%

 k

u

b

ia

ły

ch

 i

 (

1

-p

1

0

0

 %

 k

u

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

st

ąd

Ŝe

 P

(B

=

 p

P

(C

=

 1

-p

L

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 u

rn

y

 n

ra

zy

 p

o

 j

ed

n

ej

 k

u

li

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

 n

as

 r

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 

o

p

is

u

ce

li

cz

b

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 w

y

lo

so

w

an

y

ch

.

background image

N

ie

ch

 p

b

ęd

zi

li

cz

b

ą 

p

rz

ed

zi

u

 o

d

 0

 d

o

 1

.

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

 u

rn

ie

 j

es

p

·1

0

0

%

 k

u

b

ia

ły

ch

 i

 (

1

-p

1

0

0

 %

 k

u

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

st

ąd

Ŝe

 P

(B

=

 p

P

(C

=

 1

-p

L

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 u

rn

y

 n

ra

zy

 p

o

 j

ed

n

ej

 k

u

li

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

 n

as

 r

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 

o

p

is

u

ce

li

cz

b

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 w

y

lo

so

w

an

y

ch

.

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

 z

 l

o

so

w

an

ie

m

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

 k

u

u

rn

y

 j

es

k

o

le

i

w

n

o

w

n

n

as

p

u

cy

m

 d

o

św

ia

d

cz

en

ie

m

 l

o

so

w

y

m

 n

az

y

w

an

y

m

 

sc

h

em

a

te

m

 B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

.

background image

R

o

zw

m

y

 d

o

św

ia

d

cz

en

ie

 l

o

so

w

e,

 k

re

g

o

 w

y

n

ik

ie

m

 m

o

Ŝe

 b

y

ć 

ty

lk

o

 „

su

k

ce

s”

 

al

b

o

 „

p

o

ra

Ŝk

a”

T

ak

ie

 d

o

św

ia

d

cz

en

ie

 n

az

y

w

si

ę 

p

b

ą 

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

.

N

p

u

rn

za

w

ie

ra

 k

u

le

 z

ie

lo

n

e,

 c

za

rn

e,

 b

ia

łe

 i

 c

ze

rw

o

n

e;

 l

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 u

rn

y

 

je

d

n

ą 

k

u

Ja

k

o

 „

su

k

ce

s”

 m

o

Ŝe

m

y

 p

rz

y

ć 

w

y

lo

so

w

an

ie

 k

u

li

 z

ie

lo

n

ej

ja

k

o

 

p

o

ra

Ŝk

ę 

w

y

lo

so

w

an

ie

 k

u

li

 i

n

n

eg

o

 k

o

lo

ru

n

 z

ie

lo

n

y

.

P

o

w

ta

rz

am

y

 t

o

 d

o

św

ia

d

cz

en

ie

 n

ra

zy

 (

n

je

st

 z

 g

ó

ry

 u

st

al

o

n

ą 

li

cz

b

ą)

m

ó

w

in

ac

ze

j,

 w

y

k

o

n

u

je

m

y

 n

p

b

 (

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

).

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 „

su

k

ce

su

” 

w

 p

o

je

d

y

n

cz

y

m

 d

o

św

ia

d

cz

en

iu

 j

es

za

w

sz

ta

k

ie

 s

am

o

w

n

ie

 z

m

ie

n

ia

 s

 p

rz

y

 k

o

le

jn

y

ch

 p

o

w

rz

en

ia

ch

 

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 (

p

rz

y

 l

o

so

w

an

iu

 k

u

li

 z

 u

rn

y

 z

ap

ew

n

ia

m

y

 s

p

n

ie

n

ie

 t

eg

o

 

w

ar

u

n

k

u

 p

rz

ez

 z

w

ra

ca

n

ie

 z

k

d

y

m

 r

az

em

 w

y

lo

so

w

an

ej

 k

u

li

 d

o

 u

rn

y

).

W

y

n

ik

 d

an

eg

o

 d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 n

ie

 m

w

p

ły

w

u

 n

w

y

n

ik

 Ŝ

ad

n

eg

o

 i

n

n

eg

o

p

o

w

ta

rz

an

y

ch

 d

o

św

ia

d

cz

 (

n

p

„s

u

k

ce

s”

 p

rz

y

 p

ie

rw

sz

y

m

 p

o

w

rz

en

iu

 

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 n

ie

 w

p

ły

w

w

 Ŝ

ad

en

 s

p

o

b

 n

w

y

n

ik

 d

ru

g

ie

g

o

 i

 k

o

le

jn

y

ch

 

p

o

w

rz

 d

o

św

ia

d

cz

en

ia

).

R

o

zw

am

y

 z

m

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą,

 k

ra

 o

p

is

u

je

 l

ic

zb

ę 

„s

u

k

ce

w

” 

w

 n

p

o

w

rz

en

ia

ch

 d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 (

p

b

y

 B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

).

 R

o

zk

ła

d

 t

ej

 z

m

ie

n

n

ej

 

lo

so

w

ej

 n

az

y

w

si

ę 

ro

zk

ła

d

em

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

.

background image

R

o

zw

am

y

 z

m

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą,

 k

ra

 o

p

is

u

je

 l

ic

zb

ę 

„s

u

k

ce

w

” 

w

 n

p

o

w

rz

en

ia

ch

 

d

o

św

ia

d

cz

en

ia

 (

p

b

y

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

).

 R

o

zk

ła

d

 t

ej

 z

m

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 n

az

y

w

si

ę 

ro

zk

ła

d

em

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

.

P

o

w

y

Ŝs

 z

m

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

n

az

y

w

si

ę 

zm

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

o

 r

o

zk

ła

d

zi

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

 (

al

b

o

 k

ce

j:

 d

w

u

m

ia

n

o

w

ą 

zm

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą)

.

Je

śl

li

cz

b

p

b

 j

es

w

n

n

to

 l

ic

zb

„s

u

k

ce

w

” 

m

o

Ŝe

 b

y

ć 

w

n

0

1

2

..

.,

 n

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

p

rz

y

ci

p

rz

ez

 d

w

u

m

ia

n

o

w

ą 

zm

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

o

k

re

śl

o

n

ej

 

w

ar

to

śc

k

„s

u

k

ce

w

” 

m

o

Ŝn

w

y

li

cz

y

ć 

n

p

o

d

st

aw

ie

 „

d

rz

ew

k

a”

M

et

o

d

ta

 j

es

je

d

n

ak

 u

ci

ąŜ

li

w

p

rz

y

 d

u

Ŝy

ch

 w

ar

to

śc

ia

ch

 n

W

y

g

o

d

n

ie

je

st

 k

o

rz

y

st

 z

 g

o

to

w

eg

o

 

w

zo

ru

 B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

.

N

ie

ch

 X

 b

ęd

zi

zm

ie

n

n

ą 

lo

so

w

ą 

o

 r

o

zk

ła

d

zi

d

w

u

m

ia

n

o

w

y

m

g

d

zi

li

cz

b

p

b

 

je

st

 r

ó

w

n

n

za

ś 

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 „

su

k

ce

su

” 

w

 p

o

je

d

y

n

cz

ej

 p

b

ie

 w

y

n

o

si

 p

.

M

o

Ŝn

to

 k

tk

o

 z

an

o

to

w

 p

is

X

 ~

 B

in

(n

p

)

(s

k

B

in

 p

o

ch

o

d

zi

 o

d

 a

n

g

b

in

o

m

ia

l

(d

w

u

m

ia

n

o

w

y

))

.

N

ie

ch

 k

 b

ęd

zi

li

cz

b

ą 

„s

u

k

ce

w

” 

(k

m

o

Ŝe

 0

1

2

..

.,

 n

).

 W

B

er

n

o

u

ll

ie

g

o

n

w

y

zn

ac

ze

n

ie

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a,

 Ŝ

w

 n

p

b

ac

h

 b

ęd

zi

k

„s

u

k

ce

w

”:

k
n

k

p

p

k

n

k

X
P

 

 

=

=

)

(

)

(

1

background image

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

 u

rn

ie

 j

es

2

5

%

 k

u

b

ia

ły

ch

 i

 7

5

%

 k

u

cz

ar

n

y

ch

.

W

y

n

ik

st

ąd

Ŝe

 P

(B

=

 0

,2

5

 i

 P

(C

=

 0

,7

5

L

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 u

rn

y

 3

 r

az

y

 p

o

 j

ed

n

ej

 k

u

li

 z

zw

ra

ca

n

ie

m

.

In

te

re

su

je

 n

a

ro

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

 z

m

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 X

 

o

p

is

u

ce

li

cz

b

ę 

k

u

b

ia

ły

ch

 w

śr

ó

d

 w

y

lo

so

w

a

n

y

ch

.

„s

u

k

ce

s”

 –

w

y

lo

so

w

an

ie

 k

u

li

 b

ia

łe

j

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 „

su

k

ce

su

” 

p

=

 0

,2

5

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

 j

es

p

o

w

ta

rz

an

n

=

 3

 r

az

y

L

ic

zb

„s

u

k

ce

w

” 

k

m

o

Ŝe

 p

rz

y

ć 

w

ar

to

ść

 0

1

2

 l

u

b

 3

P

rz

y

k

ła

d

o

w

o

:

140625

0

75

0

25

0

1

2

3

25

0
1

25

0

2

3

2

1

2

2
3

2

,

,

,

!

!

!

)
,

(

,

)

(

=

=

 

 

=

=

X
P

background image

„s

u

k

ce

s”

 –

w

y

lo

so

w

an

ie

 k

u

li

 b

ia

łe

j

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 „

su

k

ce

su

” 

p

=

 0

,2

5

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

 j

es

p

o

w

ta

rz

an

n

=

 3

 r

az

y

L

ic

zb

„s

u

k

ce

w

” 

k

m

o

Ŝe

 p

rz

y

ć 

w

ar

to

ść

 0

1

2

 l

u

b

 3

P

rz

y

k

ła

d

o

w

o

:

W

 o

b

li

cz

en

ia

ch

 w

y

g

o

d

n

ie

 j

es

w

y

k

o

rz

y

st

 p

ro

g

ra

m

 R

:

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

2

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

1

4

0

6

2

5

d

b

i

n

o

m

(

x

,

s

i

z

e

,

p

r

o

b

)

x

 

o

z

n

a

c

z

a

 

l

i

c

z

b

ę

 

s

u

k

c

e

s

ó

w

(

k

)

s

i

z

e

o

z

n

a

c

z

a

 

l

i

c

z

b

ę

 

p

r

ó

b

 

(

n

)

p

r

o

b

o

z

n

a

c

z

a

 

p

r

a

w

d

o

p

o

d

o

b

i

e

ń

s

t

w

o

 

s

u

k

c

e

s

u

 

(

p

)

140625

0

75

0

25

0

1

2

3

25

0
1

25

0

2

3

2

1

2

2
3

2

,

,

,

!

!

!

)
,

(

,

)

(

=

=

 

 

=

=

X
P

background image

„s

u

k

ce

s”

 –

w

y

lo

so

w

an

ie

 k

u

li

 b

ia

łe

j

P

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

o

 „

su

k

ce

su

” 

p

=

 0

,2

5

D

o

św

ia

d

cz

en

ie

 j

es

p

o

w

ta

rz

an

n

=

 3

 r

az

y

L

ic

zb

„s

u

k

ce

w

” 

k

m

o

Ŝe

 p

rz

y

ć 

w

ar

to

ść

 0

1

2

 l

u

b

 3

W

y

zn

ac

zy

m

y

 r

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 X

 

o

p

is

u

ce

li

cz

b

ę 

„s

u

k

ce

w

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

4

2

1

8

7

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

1

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

4

2

1

8

7

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

2

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

1

4

0

6

2

5

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

3

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

0

1

5

6

2

5

background image

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

c

(

0

,

1

,

2

,

3

)

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

4

2

1

8

7

5

 

0

.

4

2

1

8

7

5

 

0

.

1

4

0

6

2

5

 

0

.

0

1

5

6

2

5

>

 

0

:

3

[

1

]

 

0

 

1

 

2

 

3

>

 

3

:

0

[

1

]

 

3

 

2

 

1

 

0

>

 

2

:

5

[

1

]

 

2

 

3

 

4

 

5

>

 

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

3

,

s

i

z

e

=

3

,

p

r

o

b

=

0

.

2

5

)

[

1

]

 

0

.

4

2

1

8

7

5

 

0

.

4

2

1

8

7

5

 

0

.

1

4

0

6

2

5

 

0

.

0

1

5

6

2

5

background image

K

sz

ta

łt

 r

o

zk

ła

d

u

 d

w

u

m

ia

n

o

w

eg

o

 z

al

y

 o

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

„s

u

k

ce

su

” 

p

.

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

y

k

o

n

y

w

an

y

ch

 j

es

n

 =

 1

0

 p

b

.

p

=

0

,5

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

p

=

0

,5

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

background image

>

r

o

u

n

d

(

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

1

0

,

s

i

z

e

=

1

0

,

p

r

o

b

=

0

.

5

)

,

5

)

0

.

0

0

0

9

8

0

.

0

0

9

7

7

0

.

0

4

3

9

5

0

.

1

1

7

1

9

0

.

2

0

5

0

8

0

.

2

4

6

0

9

0

.

2

0

5

0

8

0

.

1

1

7

1

9

0

.

0

4

3

9

5

0

.

0

0

9

7

7

0

.

0

0

0

9

8

R

o

zk

ła

d

 j

es

sy

m

et

ry

cz

n

y

p

=

0

,5

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

background image

p

=

0

,8

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

>

r

o

u

n

d

(

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

1

0

,

s

i

z

e

=

1

0

,

p

r

o

b

=

0

.

8

)

,

7

)

0

.

0

0

0

0

0

0

1

0

.

0

0

0

0

0

4

1

0

.

0

0

0

0

7

3

7

0

.

0

0

0

7

8

6

4

0

.

0

0

5

5

0

5

0

0

.

0

2

6

4

2

4

1

0

.

0

8

8

0

8

0

4

0

.

2

0

1

3

2

6

6

0

.

3

0

1

9

8

9

9

0

.

2

6

8

4

3

5

5

0

.

1

0

7

3

7

4

2

R

o

zk

ła

d

 m

zn

ac

zn

ą 

as

y

m

et

ri

ę 

le

w

o

st

ro

n

n

ą 

(u

je

m

n

ą)

background image

>

d

b

i

n

o

m

(

x

=

0

:

1

0

,

s

i

z

e

=

1

0

,

p

r

o

b

=

0

.

1

)

0

.

3

4

8

6

7

8

4

4

0

1

 

0

.

3

8

7

4

2

0

4

8

9

0

 

0

.

1

9

3

7

1

0

2

4

4

5

 

0

.

0

5

7

3

9

5

6

2

8

0

 

0

.

0

1

1

1

6

0

2

6

1

0

0

.

0

0

1

4

8

8

0

3

4

8

 

0

.

0

0

0

1

3

7

7

8

1

0

 

0

.

0

0

0

0

0

8

7

4

8

0

 

0

.

0

0

0

0

0

0

3

6

4

5

 

0

.

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R

o

zk

ła

d

 m

zn

ac

zn

ą 

as

y

m

et

ri

ę 

p

ra

w

o

st

ro

n

n

ą 

(d

o

d

at

n

)

p

=

0

,1

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

background image

R

o

zk

ła

d

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 X

 m

o

Ŝe

 b

y

ć 

sc

h

ar

ak

te

ry

zo

w

an

y

 p

rz

ez

 w

a

rt

o

ść

 ś

re

d

n

 i

 w

a

ri

a

n

cj

ę 

(l

u

b

 

o

d

ch

y

le

n

ie

 s

ta

n

d

a

rd

o

w

e)

.

W

a

rt

o

ść

 ś

re

d

n

ia

 r

o

zk

ła

d

u

je

st

 n

az

y

w

an

w

ar

to

śc

 o

cz

ek

iw

an

ą 

te

g

o

 

ro

zk

ła

d

u

 (

al

b

o

 w

ar

to

śc

 o

cz

ek

iw

an

ą 

zm

ie

n

n

ej

 l

o

so

w

ej

 o

 t

y

m

 

ro

zk

ła

d

zi

e)

 i

 o

zn

ac

za

n

zw

y

k

le

 p

rz

ez

  

m

(n

ie

k

ie

d

y

 

m

X

 a

lb

o

 

E

X

.

W

a

ri

a

n

cj

a

 r

o

zk

ła

d

u

je

st

 o

zn

ac

za

n

zw

y

k

le

 p

rz

ez

 

s

2

(n

ie

k

ie

d

y

 

s

X

2

lu

b

 

V

a

rX

al

b

o

 

D

2

X

.

Je

śl

X

 ~

 B

in

(n

;p

),

 t

o

 E

X

 =

 n

·p

V

ar

X

=

 n

·p

·(

1

-p

background image

Je

śl

n

je

st

 d

u

Ŝe

 o

ra

n

·p

·(

1

-p

¥

9

to

ro

zk

ła

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 m

o

Ŝe

 

b

y

ć

p

rz

y

b

li

Ŝo

n

y

 

ro

zk

ła

d

em

 n

o

rm

a

ln

y

m

.

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

0.0

0

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

0.1

0

X

 ~

 B

in

(n

=

5

0

,p

=

0

,5

)

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

0.0

0

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

0.1

0

X

 ~

 B

in

(n

=

5

0

,p

=

0

,5

)

lic

zb

a

 ”

s

u

k

c

e

s

ó

w

pra

wd

op

od

ob

ie

ńs

tw

o

background image

R

o

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

 n

ie

 t

y

lk

o

 p

rz

y

b

li

Ŝa

 r

o

zk

ła

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

al

je

st

 

u

Ŝy

w

an

y

 d

o

 m

o

d

el

o

w

an

ia

 r

o

zk

ła

d

ó

w

 w

ie

lu

 c

ec

h

 c

g

ły

ch

 w

 p

rz

y

ro

d

zi

w

 n

au

k

ac

h

 s

p

o

łe

cz

n

y

ch

.

M

o

Ŝn

p

rz

y

p

u

sz

cz

Ŝe

 c

ec

h

m

ro

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

je

śl

h

is

to

g

ra

m

 t

ej

 

ce

ch

y

 j

es

m

n

ie

w

ce

sy

m

et

ry

cz

n

y

 i

 m

w

y

ra

źn

m

ak

si

m

u

m

w

o

k

ó

ł

k

re

g

o

 k

o

n

ce

n

tr

u

je

 s

 w

k

sz

o

ść

 w

ar

to

śc

i.

K

rz

y

w

a

 n

o

rm

a

ln

a

background image

K

rz

y

w

a

 n

o

rm

a

ln

a

(k

rz

y

w

a

 G

a

u

ss

a

k

rz

y

w

a

 d

zw

o

n

o

w

a

)

x

y

2

2

2

2

1

σ

µ

π

σ

)

(

=

x

e

y

e

º

2

.7

1

8

2

8

2

p

º

3

.1

4

1

5

9

3

m

-

w

ar

to

ść

o

cz

ek

iw

an

ro

zk

ła

d

u

 

n

o

rm

al

n

eg

o

s

-

o

d

ch

y

le

n

ie

 s

ta

n

d

ar

d

o

w

ro

zk

ła

d

u

 

n

o

rm

al

n

eg

o

O

zn

a

cz

en

ie

 r

o

zk

ła

d

u

 X

 ~

 N

m

,s

2

)

background image

x

y

0

4

N

m

=

4

,s

2

=

4

)

N

m

=

0

,s

2

=

1

)

(r

o

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

 s

ta

n

d

ar

y

zo

w

an

y

ro

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

 s

ta

n

d

ar

d

o

w

y

)

background image

x

y

µ

1

µ

2

T

en

 r

o

zk

ła

d

 m

a

 

m

n

ie

js

 ś

re

d

n

P

ar

am

et

m

d

ec

y

d

u

je

o

 p

o

ło

Ŝe

n

iu

 r

o

zk

ła

d

u

.

O

b

ro

zk

ła

d

y

 m

aj

ą

id

en

ty

cz

n

ro

zp

ro

sz

en

ie

.

x

y

µ

1

=

µ

2

T

en

 r

o

zk

ła

d

 m

a

 w

k

sz

ą

 w

a

ri

a

n

cj

ę 

s

2

P

ar

am

et

s

2

d

ec

y

d

u

je

o

 r

o

zp

ro

sz

en

iu

 r

o

zk

ła

d

u

.

O

b

ro

zk

ła

d

y

 m

aj

ą

id

en

ty

cz

n

p

o

ło

Ŝe

n

ie

.

background image

x

y

P

o

le

 o

b

sz

ar

u

 p

o

d

 k

rz

y

w

ą 

n

o

rm

al

n

ą

je

st

 r

ó

w

n

1

2

2

2

2

1

σ

µ

π

σ

)

(

=

x

e

y

L

in

ia

 o

 r

ó

w

n

an

iu

p

rz

ed

st

aw

ia

 

g

ęs

to

ść

ro

zk

ła

d

u

 

n

o

rm

al

n

eg

o

.

R

o

zk

ła

d

 d

w

u

m

ia

n

o

w

y

 j

es

p

rz

y

k

ła

d

em

 r

o

zk

ła

d

u

 s

k

o

k

o

w

eg

o

 

(d

y

sk

re

tn

eg

o

)

R

o

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

 j

es

p

rz

y

k

ła

d

em

 

ro

zk

ła

d

u

 c

g

łe

g

o

.

R

o

zk

ła

d

y

 s

k

o

k

o

w

p

rz

y

jm

u

 p

rz

el

ic

za

ln

ą 

li

cz

b

ę 

w

ar

to

śc

i,

 z

 

su

m

p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

 p

rz

y

ci

ty

ch

 w

ar

to

śc

je

st

 r

ó

w

n

1

.

R

o

zk

ła

d

y

 c

g

łe

 m

o

g

ą 

p

rz

y

ć 

d

o

w

o

ln

ą 

w

ar

to

ść

 z

 o

k

re

śl

o

n

eg

o

 

p

rz

ed

zi

u

 l

ic

zb

o

w

eg

o

D

la

 r

o

zk

ła

d

ó

w

 c

g

ły

ch

 p

o

le

 p

o

d

 k

rz

y

w

ą 

g

ęs

to

śc

je

st

 r

ó

w

n

1

.

background image

Z

ac

ie

n

io

w

an

p

o

le

 m

m

ia

 r

ó

w

n

ą 

0

,6

8

2

7

Je

śl

ce

ch

m

ro

zk

ła

d

 N

m

,s

2

),

 t

o

 w

 o

b

b

ie

 j

ed

n

eg

o

 o

d

ch

y

le

n

ia

 s

ta

n

d

ar

d

o

w

eg

o

o

d

 ś

re

d

n

ie

j,

 c

zy

li

 w

 p

rz

ed

zi

al

(m

s

m

+

 s

zn

aj

d

u

je

 s

6

8

,2

7

%

w

ar

to

śc

te

ce

ch

y

.

x

y

µ

µ

σ

µ

+

σ

background image

Z

ac

ie

n

io

w

an

p

o

le

 m

m

ia

 r

ó

w

n

ą 

0

,9

5

4

5

Je

śl

ce

ch

m

ro

zk

ła

d

 N

m

,s

2

),

 t

o

 w

 o

b

b

ie

 d

w

ó

ch

 o

d

ch

y

le

ń

st

an

d

ar

d

o

w

y

ch

o

d

 ś

re

d

n

ie

j,

 c

zy

li

 w

 p

rz

ed

zi

al

(m

2

s

m

+

 2

s

zn

aj

d

u

je

 s

9

5

,4

5

%

w

ar

to

śc

te

ce

ch

y

.

x

y

µ

µ

2

σ

µ

+

2

σ

background image

Z

ac

ie

n

io

w

an

p

o

le

 m

m

ia

 r

ó

w

n

ą 

0

,9

9

7

3

Je

śl

ce

ch

m

ro

zk

ła

d

 N

m

,s

2

),

 t

o

 w

 o

b

b

ie

 t

rz

ec

h

 o

d

ch

y

le

ń

st

an

d

ar

d

o

w

y

ch

o

d

 ś

re

d

n

ie

j,

 c

zy

li

 w

 p

rz

ed

zi

al

(m

3

s

m

+

 3

s

zn

aj

d

u

je

 s

9

9

,7

3

%

w

ar

to

śc

te

ce

ch

y

w

n

ie

m

al

 w

sz

y

st

k

ie

 w

ar

to

śc

te

ce

ch

y

.

x

y

µ

µ

3

σ

µ

+

3

σ

background image

0

4

X

~

N

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

Il

w

y

n

o

si

 z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

?

>

p

n

o

r

m

(

4

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

 

0

.

9

7

7

2

4

9

9

0

4

X

~

N

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

>

 

1

-

p

n

o

r

m

(

4

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

 

0

.

0

2

2

7

5

0

1

3

background image

X

~

N

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

Il

w

y

n

o

si

 z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

?

0

2

,7

3

,3

>

p

n

o

r

m

(

3

.

3

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

-

p

n

o

r

m

(

2

.

7

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

 

0

.

4

5

1

4

9

3

8

background image

X

~

N

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

Il

w

y

n

o

si

 z

ac

ie

n

io

w

an

e

p

o

le

?

>

 

1

-

(

p

n

o

r

m

(

3

.

3

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

-

p

n

o

r

m

(

2

.

7

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

)

[

1

]

 

0

.

5

4

8

5

0

6

2

0

2

,7

3

,3

background image

0

x

p

D

la

 j

ak

ie

w

ar

to

śc

x

p

za

ci

en

io

w

an

p

o

le

 j

es

w

n

0

,9

5

?

X

~

N

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

>

q

n

o

r

m

(

0

.

9

5

,

m

e

a

n

=

3

,

s

d

=

0

.

5

)

[

1

]

 

3

.

8

2

2

4

2

7

P

o

sz

u

k

iw

an

w

ar

to

ść

 

x

p

je

st

 k

w

a

n

ty

le

m

 r

d

u

 0

,9

5

ro

zk

ła

d

u

 

N

m

=

3

,s

2

=

0

.5

2

)

background image

K

w

a

n

ty

le

m

rz

ęd

u

 p

ro

zk

ła

d

u

 c

g

łe

g

o

 n

az

y

w

si

ę

li

cz

b

ę

x

p

m

aj

ąc

ą

ta

k

ą

w

ła

sn

o

ść

Ŝe

 p

o

le

 f

ig

u

ry

 l

ąc

ej

 n

ad

 o

si

ą

O

X

p

o

d

 k

rz

y

w

ą

g

ęs

to

śc

n

le

w

o

 o

d

 p

ro

st

ej

 o

 r

ó

w

n

an

iu

 x

 =

 x

p

m

m

ia

w

n

ą

p

.

P

ro

st

o

 r

ó

w

n

an

iu

 x

 =

 x

p

K

rz

y

w

g

ęs

to

śc

i

Z

ak

re

sk

o

w

an

p

o

le

 m

m

ia

 r

ó

w

n

ą 

p

x

p

K

w

a

n

ty

rz

ęd

u

 p

background image

0

0

,1

0

,2

0

,3

0

,4

0

,5

-4

-2

0

2

4

P

o

la

 p

o

d

 k

rz

y

w

ą

 g

ę

s

to

ś

c

ro

z

k

ła

d

u

 N

(0

;1

s

ą

 

s

ta

b

li

c

o

w

a

n

e

U

st

al

o

n

li

cz

b

a

Z

ak

re

sk

o

w

an

p

o

le

 m

o

Ŝe

 

b

y

ć 

o

d

cz

y

ta

n

ta

b

li

st

at

y

st

y

cz

n

y

ch

P

ro

st

o

p

ad

ła

 d

o

 p

o

zi

o

m

ej

 o

si

 o

 

w

n

an

iu

 x

=

a

background image

T

a

b

li

c

a

 d

y

s

tr

y

b

u

a

n

ty

 r

o

z

k

ła

d

u

 n

o

rm

a

ln

e

g

o

 s

ta

n

d

a

ry

z

o

w

a

n

e

g

o

0

,0

0

0

,0

1

0

,0

2

0

,0

3

0

,0

4

0

,0

5

0

,0

6

0

,0

7

0

,0

8

0

,0

9

0

,0

0

,5

0

0

0

0

,5

0

4

0

0

,5

0

8

0

0

,5

1

2

0

0

,5

1

6

0

0

,5

1

9

9

0

,5

2

3

9

0

,5

2

7

9

0

,5

3

1

9

0

,5

3

5

9

0

,1

0

,5

3

9

8

0

,5

4

3

8

0

,5

4

7

8

0

,5

5

1

7

0

,5

5

5

7

0

,5

5

9

6

0

,5

6

3

6

0

,5

6

7

5

0

,5

7

1

4

0

,5

7

5

3

0

,2

0

,5

7

9

3

0

,5

8

3

2

0

,5

8

7

1

0

,5

9

1

0

0

,5

9

4

8

0

,5

9

8

7

0

,6

0

2

6

0

,6

0

6

4

0

,6

1

0

3

0

,6

1

4

1

0

,3

0

,6

1

7

9

0

,6

2

1

7

0

,6

2

5

5

0

,6

2

9

3

0

,6

3

3

1

0

,6

3

6

8

0

,6

4

0

6

0

,6

4

4

3

0

,6

4

8

0

0

,6

5

1

7

0

,4

0

,6

5

5

4

0

,6

5

9

1

0

,6

6

2

8

0

,6

6

6

4

0

,6

7

0

0

0

,6

7

3

6

0

,6

7

7

2

0

,6

8

0

8

0

,6

8

4

4

0

,6

8

7

9

0

,5

0

,6

9

1

5

0

,6

9

5

0

0

,6

9

8

5

0

,7

0

1

9

0

,7

0

5

4

0

,7

0

8

8

0

,7

1

2

3

0

,7

1

5

7

0

,7

1

9

0

0

,7

2

2

4

0

,6

0

,7

2

5

7

0

,7

2

9

1

0

,7

3

2

4

0

,7

3

5

7

0

,7

3

8

9

0

,7

4

2

2

0

,7

4

5

4

0

,7

4

8

6

0

,7

5

1

7

0

,7

5

4

9

0

,7

0

,7

5

8

0

0

,7

6

1

1

0

,7

6

4

2

0

,7

6

7

3

0

,7

7

0

4

0

,7

7

3

4

0

,7

7

6

4

0

,7

7

9

4

0

,7

8

2

3

0

,7

8

5

2

0

,8

0

,7

8

8

1

0

,7

9

1

0

0

,7

9

3

9

0

,7

9

6

7

0

,7

9

9

5

0

,8

0

2

3

0

,8

0

5

1

0

,8

0

7

8

0

,8

1

0

6

0

,8

1

3

3

0

,9

0

,8

1

5

9

0

,8

1

8

6

0

,8

2

1

2

0

,8

2

3

8

0

,8

2

6

4

0

,8

2

8

9

0

,8

3

1

5

0

,8

3

4

0

0

,8

3

6

5

0

,8

3

8

9

1

,0

0

,8

4

1

3

0

,8

4

3

8

0

,8

4

6

1

0

,8

4

8

5

0

,8

5

0

8

0

,8

5

3

1

0

,8

5

5

4

0

,8

5

7

7

0

,8

5

9

9

0

,8

6

2

1

1

,1

0

,8

6

4

3

0

,8

6

6

5

0

,8

6

8

6

0

,8

7

0

8

0

,8

7

2

9

0

,8

7

4

9

0

,8

7

7

0

0

,8

7

9

0

0

,8

8

1

0

0

,8

8

3

0

1

,2

0

,8

8

4

9

0

,8

8

6

9

0

,8

8

8

8

0

,8

9

0

7

0

,8

9

2

5

0

,8

9

4

4

0

,8

9

6

2

0

,8

9

8

0

0

,8

9

9

7

0

,9

0

1

5

1

,3

0

,9

0

3

2

0

,9

0

4

9

0

,9

0

6

6

0

,9

0

8

2

0

,9

0

9

9

0

,9

1

1

5

0

,9

1

3

1

0

,9

1

4

7

0

,9

1

6

2

0

,9

1

7

7

1

,4

0

,9

1

9

2

0

,9

2

0

7

0

,9

2

2

2

0

,9

2

3

6

0

,9

2

5

1

0

,9

2

6

5

0

,9

2

7

9

0

,9

2

9

2

0

,9

3

0

6

0

,9

3

1

9

1

,5

0

,9

3

3

2

0

,9

3

4

5

0

,9

3

5

7

0

,9

3

7

0

0

,9

3

8

2

0

,9

3

9

4

0

,9

4

0

6

0

,9

4

1

8

0

,9

4

2

9

0

,9

4

4

1

1

,6

0

,9

4

5

2

0

,9

4

6

3

0

,9

4

7

4

0

,9

4

8

4

0

,9

4

9

5

0

,9

5

0

5

0

,9

5

1

5

0

,9

5

2

5

0

,9

5

3

5

0

,9

5

4

5

1

,7

0

,9

5

5

4

0

,9

5

6

4

0

,9

5

7

3

0

,9

5

8

2

0

,9

5

9

1

0

,9

5

9

9

0

,9

6

0

8

0

,9

6

1

6

0

,9

6

2

5

0

,9

6

3

3

1

,8

0

,9

6

4

1

0

,9

6

4

9

0

,9

6

5

6

0

,9

6

6

4

0

,9

6

7

1

0

,9

6

7

8

0

,9

6

8

6

0

,9

6

9

3

0

,9

6

9

9

0

,9

7

0

6

1

,9

0

,9

7

1

3

0

,9

7

1

9

0

,9

7

2

6

0

,9

7

3

2

0

,9

7

3

8

0

,9

7

4

4

0

,9

7

5

0

0

,9

7

5

6

0

,9

7

6

1

0

,9

7

6

7

2

,0

0

,9

7

7

2

0

,9

7

7

8

0

,9

7

8

3

0

,9

7

8

8

0

,9

7

9

3

0

,9

7

9

8

0

,9

8

0

3

0

,9

8

0

8

0

,9

8

1

2

0

,9

8

1

7

2

,1

0

,9

8

2

1

0

,9

8

2

6

0

,9

8

3

0

0

,9

8

3

4

0

,9

8

3

8

0

,9

8

4

2

0

,9

8

4

6

0

,9

8

5

0

0

,9

8

5

4

0

,9

8

5

7

background image

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

zr

o

st

 d

o

ro

y

ch

 m

ęŜ

cz

y

zn

 m

ro

zk

ła

d

 N

m

=

1

7

5

,s

2

=

5

2

).

x

y

µ

µ

σ

µ

+

σ

P

o

le

 j

es

w

n

0

,6

8

2

7

W

y

n

ik

st

ąd

 n

p

.,

 Ŝ

e

6

8

,2

7

%

 m

ęŜ

cz

y

zn

 m

o

d

 1

7

0

 d

o

 1

8

9

 c

m

 w

zr

o

st

u

o

k

o

ło

 1

5

,9

%

 m

ęŜ

cz

y

zn

 m

p

o

w

y

Ŝe

1

8

0

 c

m

 w

zr

o

st

u

 

o

k

o

ło

 1

5

,9

%

 m

ęŜ

cz

y

zn

 m

p

o

n

ej

 1

8

0

 c

m

 w

zr

o

st

u

P

o

le

 j

es

w

n

(1

-

0

,6

8

2

7

)/

2

 =

 0

,1

5

8

6

5

 

P

o

le

 j

es

t

w

n

0

,1

5

8

6

5

background image

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

zr

o

st

 d

o

ro

y

ch

 m

ęŜ

cz

y

zn

 m

ro

zk

ła

d

 N

m

=

1

7

5

,s

2

=

5

2

).

Ja

k

o

d

se

te

k

 m

ęŜ

cz

y

zn

 m

p

o

n

ej

 1

8

2

 c

m

 w

zr

o

st

u

?

1

5

0

1

6

0

1

7

0

1

8

0

1

9

0

2

0

0

0.0

0

0.0

2

0.0

4

0.0

6

0.0

8

w

zr

o

s

w

 c

m

sto

ść

 ro

zk

ła

du

>

p

n

o

r

m

(

1

8

2

,

m

e

a

n

=

1

7

5

,

s

d

=

5

)

[

1

]

 

0

.

9

1

9

2

4

3

3

background image

Is

tn

ie

 r

o

zk

ła

d

y

 c

g

łe

 i

n

n

e,

 n

 r

o

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

n

p

ro

zk

ła

d

 

je

d

n

o

st

a

jn

y

.

H

is

to

g

ra

m

 d

la

 1

0

0

0

 w

a

rt

o

śc

ce

ch

y

,

k

ra

 m

o

Ŝe

 b

y

ć 

o

p

is

a

n

a

 p

r

ze

ro

zk

ła

d

 j

ed

n

o

st

a

jn

y

n

a

 p

rz

ed

zi

a

le

 (

1

5

0

2

0

0

)

W

a

rt

o

ś

c

c

e

c

h

y

sto

ść

1

0

0

1

5

0

2

0

0

2

5

0

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

W

a

rt

o

ś

c

c

e

c

h

y

Cz

ęs

to

ść

 w

ys

po

wa

nia

1

0

0

1

5

0

2

0

0

2

5

0

0

50

10

0

15

0

background image

In

n

y

 p

rz

y

k

ła

d

 r

o

zk

ła

d

u

 c

g

łe

g

o

ro

zk

ła

d

 w

y

k

ła

d

n

ic

zy

W

a

rt

o

ś

c

c

e

c

h

y

Cz

ęs

to

ść

 w

ys

po

wa

nia

0

2

4

6

8

1

0

0

10

0

20

0

30

0

40

0

50

0

60

0

70

0

H

is

to

g

ra

m

 d

la

 1

0

0

0

 w

a

rt

o

śc

ce

ch

y

,

k

ra

 m

o

Ŝe

 b

y

ć 

o

p

is

a

n

a

 p

r

ze

ro

zk

ła

d

 w

y

k

ła

d

n

ic

zy

 z

śr

ed

n

 1

W

a

rt

o

ś

c

c

e

c

h

y

sto

ść

0

2

4

6

8

1

0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

background image

Z

ó

Ŝm

y

Ŝe

 w

zr

o

st

 d

o

ro

y

ch

 m

ęŜ

cz

y

zn

 w

 p

o

p

u

la

cj

o

p

is

y

w

an

y

 j

es

t

p

rz

ez

 r

o

zk

ła

d

 n

o

rm

al

n

y

 N

m

=

1

7

5

,s

2

=

5

2

).

L

o

su

je

m

y

 z

 t

ej

 p

o

p

u

la

cj

b

ar

d

zo

 w

ie

le

 p

b

p

rz

y

 c

zy

m

 k

d

p

b

li

cz

y

 9

 e

le

m

en

w

.

p

b

n

1

  

 1

7

2

  

1

7

6

  

1

7

5

  

1

7

9

  

1

7

6

  

1

7

7

  

1

7

2

  

1

7

9

  

1

7

1

p

b

n

2

  

 1

7

3

  

1

7

5

  

1

7

5

  

1

7

4

  

1

7

9

  

1

7

6

  

1

7

5

  

1

7

3

  

1

7

8

p

b

n

3

  

 1

7

0

  

1

8

7

  

1

7

3

  

1

7

9

  

1

7

6

  

1

7

9

  

1

7

1

  

1

7

3

  

1

7

1

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

N

as

p

n

ie

 d

la

 k

d

ej

 p

b

y

 l

ic

zy

m

y

 ś

re

d

n

:

śr

ed

n

ia

 d

la

 p

b

y

 n

1

1

7

6

,4

śr

ed

n

ia

 d

la

 p

b

y

 n

2

1

7

4

,8

śr

ed

n

ia

 d

la

 p

b

y

 n

3

1

7

6

,0

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

background image

R

y

su

je

m

y

 h

is

to

g

ra

m

 r

o

zk

ła

d

u

 ś

re

d

n

ic

h

 z

 p

b

y

ś

re

d

n

ie

 z

 p

b

lic

zb

a p

b

1

6

8

1

7

0

1

7

2

1

7

4

1

7

6

1

7

8

1

8

0

1

8

2

0

50

0

10

00

15

00

20

00

25

00

ś

re

d

n

ie

 z

 p

b

sto

ść

1

6

8

1

7

0

1

7

2

1

7

4

1

7

6

1

7

8

1

8

0

1

8

2

0.0

0

0.0

5

0.1

0

0.1

5

0.2

0

0.2

5

background image

P

ra

w

d

zi

w

je

st

 n

as

p

u

ce

 t

w

ie

rd

ze

n

ie

:

J

li

 p

b

y

(d

o

w

o

ln

eg

o

 r

o

zm

ia

ru

)

p

o

ch

o

d

ro

zk

ła

d

u

 

n

o

rm

a

ln

eg

o

 N

(m

,

s

2

),

to

 ś

re

d

n

ie

 z

 p

b

 m

a

ro

zk

ła

d

 n

o

rm

a

ln

y

 z

 w

a

rt

o

śc

śr

ed

n

m

o

ra

z

w

a

ri

a

n

cj

ą

s

2

/n

.

P

ra

w

d

zi

w

je

st

 t

ak

Ŝe

 n

as

p

u

ce

 t

w

ie

rd

ze

n

ie

:

J

li

 p

b

y

(d

u

Ŝe

g

o

 r

o

zm

ia

ru

co

 n

a

jm

n

ie

3

0

)

p

o

ch

o

d

z

d

o

w

o

ln

eg

o

ro

zk

ła

d

u

 p

ra

w

d

o

p

o

d

o

b

ie

ń

st

w

a

k

ry

 m

a

 w

a

rt

o

ść

 

śr

ed

n

 m

w

a

ri

a

n

cj

ę

s

2

,

to

 ś

re

d

n

ie

 z

 p

b

 m

a

ro

zk

ła

d

 n

o

rm

a

ln

y

 z

 w

a

rt

o

śc

śr

ed

n

m

o

ra

z

w

a

ri

a

n

cj

ą

s

2

/n

.