PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Zmienna losowa

Rozkłady zmiennych losowych

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Podstawowe pojęcia – PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA

Przestrzeń probabilistyczna składa się z trzech elementów:

1. Zbiór wyników doświadczenia losowego (przestrzeń zdarzeń elementarnych)

Ω

= {ω

1

, ω

2

, ω

3

, …, ω

n

}

2. Zbiór

S

– ciało (zbiór) zdarzeń losowych. Zdarzenia losowe są zbiorami zdarzeń

elementarnych (czyli podzbiorami zbioru Ω).

3. Funkcja

P

, nazywana zwykle prawdopodobieństwem, która zdarzeniom losowym

przypisuje liczby interpretowane zwykle jako prawdopodobieństwo.

Obiekty Ω, S i P muszą spełniać warunki, określone przez aksjomaty rachunku

prawdopodobieństwa (patrz wykład nr 1).

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Zmienna losowa

Funkcję, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje liczbę
rzeczywistą nazywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ

Przy czym dla każdej liczby rzeczywistej r muszą być spełnione warunki:

{ω: X(ω) ≤ r }∈S

{ω: X(ω) < r }∈S

Oznacza to, że do zbioru zdarzeń losowych S muszą należeć wszystkie
zdarzenia typu „zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą lub równą r”
oraz „zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą niż r”.

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Przykład

Rozpatrzmy następującą przestrzeń probabilistyczną:
Ω = {a, b, c}
S={{a},{ b, c}, ∅, Ω}
P({a})= ½ P({b, c})= ½

oraz następujące funkcje X(ω) i Y(ω) określone na przestrzeni Ω:
X(a)=1 X(b)=2 X(c)=3
Y(a)=1 Y(b)=3 Y(c)=3

Czy funkcje X i Y są zmiennymi losowymi?

Sprawdźmy dla r=2. Zbiór, który wyznacza X(ω) ≤2 to zbiór {a, b}. Jak widać,

nie należy on do S. Funkcja X NIE JEST ZMIENNĄ LOSOWĄ

Natomiast Y JEST ZMIENNĄ LOSOWĄ, bo dla dowolnej wartości r, zbiorami,
które może wyznaczyć funkcja zdaniowa Y(ω)≤r mogą być jedynie zbiory: ∅,

gdy r < 1, {a}, gdy 1 ≤ r < 3 lub {a, b, c}=Ω, kiedy r ≥3 – a wszystkie te zbiory
należą do S.

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Dystrybuanta zmiennej losowej

Rozważmy eksperyment polegający na serii trzech rzutów rzetelną monetą.
Zmienna losowa X jest zdefiniowana jako „liczba wyrzuconych orłów”. Zmienna
ta może przyjąć wartości ze zbioru: {0, 1, 2, 3}

Prawdopodobieństwa uzyskania każdej z tych wartości wyznaczamy
korzystając z tzw. schematu Bernoulliego.

k

n

k

p

p

k

n

k

X

P

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

)

1

(

)

(

Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w serii n prób oblicza się ze
wzoru:

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

W naszym przykładzie mamy 3 próby. Jako „sukces” zdefiniujemy wyrzucenie
orła. Możemy zatem uzyskać od 0 do 3 orłów. Prawdopodobieństwa każdego z
tych wyników są następujące:

8

1

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

0

3

)

0

(

3

0

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

8

3

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

1

3

)

1

(

2

1

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

8

3

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

2

3

)

2

(

1

2

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

8

1

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

3

3

)

3

(

0

3

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

x

i

P(X=x

i

)

0

1/8

1

3/8

2

3/8

3

1/8

Rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X

Dystrybuanta zmiennej losowej

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Dystrybuantę F

X

(r) zmiennej losowej X definiuje się jako funkcję, która

każdej liczbie rzeczywistej r przyporządkowuje prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmie wartość nie
większą od r

F

X

(r) = P(X ≤ r)

x

i

P(X=x

i

)

P(X ≤ x

i

)

0

1/8

1/8

1

3/8

4/8

2

3/8

7/8

3

1/8

8/8

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

3

1

3

2

8

7

2

1

8

4

1

0

8

1

0

0

)

(

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

F

X

Dystrybuanta zmiennej losowej

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

3

1

3

2

8

7

2

1

8

4

1

0

8

1

0

0

)

(

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

F

X

r

F

x

(r)

Dystrybuanta zmiennej losowej

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Zmienna losowa skokowa

0

1

2

3

Wyobraźmy sobie prymitywną ruletkę,
która dzieli się na cztery przedziały.

Zdefiniowana jest przy tym zmienna
losowa X – liczba punktów uzyskanych
podczas gry.

Jeśli ruletka jest symetryczna – rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej X będzie
następujący:

x

i

P(X=x

i

)

0

¼

1

¼

2

¼

3

¼

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

x

i

P(X=x

i

)

P(X ≤ x

i

)

0

1/4

1/4

1

1/4

2/4

2

1/4

3/4

3

1/4

4/4

r

F

x

(r)

1

2

3

Zmienna losowa skokowa

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

r

F

x

(r)

1

2

3

0

1

2

3

3,5

0,5

1,5

2,5

Zmienna losowa skokowa

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

r

F

x

(r)

1

2

3

0

1

2

3

3,5

0,5

1,5

2,5

Zmienna losowa skokowa

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

r

F

x

(r)

1

2

3

Zmienna losowa ciągła

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

r

F

x

(r)

1

2

3

1

f(r)

r

4

1/4

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

f(r)

r

1/4

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
-  pokazuje, jak szybko zmienia się dystrybuanta (jest pochodną dystrybuanty)
-  pole pod wykresem funkcji gęstości wynosi 1

Przedstawiony tu wykres to funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla
rozkładu jednostajnego (równomiernego)

4

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Rozkład normalny

Jeśli na zewnątrz naszej ruletki umieścimy
magnes, wtedy kulka będzie się częściej
zatrzymywać w pobliżu magnesu.

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
zdającej sprawę z miejsca zatrzymania się
kulki nie będzie już jednostajny…

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0

5

10

15

20

25

x

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej
wykorzystywanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.

(

)

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

−

=

2

2

2

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

x

e

x

f

Rozkład normalny

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Rozkład normalny

0

0,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N(0,1)

N(3,1)

N(0,2)

N(3,2)

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Rozkład normalny

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:

-  jest symetryczna względem prostej x = µ
-  w punkcie x = µ osiąga wartość maksymalną
-  ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = µ - σ
oraz x = µ + σ
-  kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:
µ i σ. Parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej,
natomiast parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej.

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Rozkład normalny

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N (0,1)
N (3,1)

N (0,2)
N (3,2)

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO

Joanna Konieczna-Sałamatin

Rozkład normalny

Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego są
stablicowane. Tablice można znaleźć w dowolnym podręczniku do statystyki.

Są też w Internecie, np..

http://stat1.is.uw.edu.pl/statystyka