PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Zmienna losowa 

Rozkłady zmiennych losowych 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Podstawowe pojęcia – PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA 

Przestrzeń probabilistyczna składa się z trzech elementów: 
 
1. Zbiór wyników doświadczenia losowego (przestrzeń zdarzeń elementarnych) 

Ω

= {ω

1

, ω

2

, ω

3

, …, ω

n

} 

2. Zbiór 

S

 – ciało (zbiór) zdarzeń losowych. Zdarzenia losowe są zbiorami zdarzeń 

elementarnych (czyli podzbiorami zbioru Ω). 
 
3. Funkcja 

P

, nazywana zwykle prawdopodobieństwem, która zdarzeniom losowym 

przypisuje liczby interpretowane zwykle jako prawdopodobieństwo. 

Obiekty Ω, S i P muszą spełniać warunki, określone przez aksjomaty rachunku 

prawdopodobieństwa (patrz wykład nr 1). 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Zmienna losowa 

Funkcję, która każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowuje liczbę 
rzeczywistą nazywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ 
 
Przy czym dla każdej liczby rzeczywistej r muszą być spełnione warunki: 

{ω: X(ω) ≤ r }∈S 

{ω: X(ω) < r }∈S 

 

 
Oznacza to, że do zbioru zdarzeń losowych S muszą należeć wszystkie 
zdarzenia typu „zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą lub równą r” 
oraz „zmienna losowa X przyjęła wartość mniejszą niż r”. 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Przykład 

Rozpatrzmy następującą przestrzeń probabilistyczną: 
Ω = {a, b, c} 
S={{a},{ b, c}, ∅, Ω} 
P({a})= ½ P({b, c})= ½ 
 
oraz następujące funkcje X(ω) i Y(ω) określone na przestrzeni Ω: 
X(a)=1   X(b)=2   X(c)=3 
Y(a)=1   Y(b)=3   Y(c)=3 
 
Czy funkcje X i Y są zmiennymi losowymi? 

Sprawdźmy dla r=2. Zbiór, który wyznacza X(ω) ≤2 to zbiór {a, b}. Jak widać,  

nie należy on do S. Funkcja X NIE JEST ZMIENNĄ LOSOWĄ 
 
Natomiast Y JEST ZMIENNĄ LOSOWĄ, bo dla dowolnej wartości r, zbiorami, 
które może wyznaczyć funkcja zdaniowa Y(ω)≤r mogą być jedynie zbiory: ∅, 

gdy r < 1, {a}, gdy 1 ≤ r < 3 lub {a, b, c}=Ω, kiedy r ≥3 – a wszystkie te zbiory 
należą do S. 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Dystrybuanta zmiennej losowej 

Rozważmy eksperyment polegający na serii trzech rzutów rzetelną monetą. 
Zmienna losowa X jest zdefiniowana jako „liczba wyrzuconych orłów”. Zmienna 
ta może przyjąć wartości ze zbioru: {0, 1, 2, 3} 
 
Prawdopodobieństwa uzyskania każdej z tych wartości wyznaczamy 
korzystając z tzw. schematu Bernoulliego. 

k

n

k

p

p

k

n

k

X

P

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

)

1

(

)

(

Prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w serii n prób oblicza się ze 
wzoru: 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

W naszym przykładzie mamy 3 próby. Jako „sukces” zdefiniujemy wyrzucenie 
orła. Możemy zatem uzyskać od 0 do 3 orłów. Prawdopodobieństwa każdego z 
tych wyników są następujące: 

8

1

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

0

3

)

0

(

3

0

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

8

3

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

1

3

)

1

(

2

1

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

8

3

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

2

3

)

2

(

1

2

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

8

1

)

5

,

0

1

(

)

5

,

0

(

3

3

)

3

(

0

3

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

X

P

x

i 

P(X=x

i

) 

0 

1/8 

1 

3/8 

2 

3/8 

3 

1/8 

Rozkład prawdopodobieństwa 
zmiennej losowej X 

Dystrybuanta zmiennej losowej 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Dystrybuantę F

X

(r) zmiennej losowej X definiuje się jako funkcję, która 

każdej liczbie rzeczywistej r przyporządkowuje prawdopodobieństwo 
zdarzenia polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmie wartość nie 
większą od r 
 

F

X

(r) = P(X ≤ r) 

 

x

i 

P(X=x

i

) 

P(X ≤ x

i

) 

0 

1/8 

1/8 

1 

3/8 

4/8 

2 

3/8 

7/8 

3 

1/8 

8/8 

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

3

1

3

2

8

7

2

1

8

4

1

0

8

1

0

0

)

(

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

F

X

Dystrybuanta zmiennej losowej 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

3

1

3

2

8

7

2

1

8

4

1

0

8

1

0

0

)

(

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

dla

r

F

X

r 

F

x

(r) 

Dystrybuanta zmiennej losowej 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Zmienna losowa skokowa 

0 

1 

2 

3 

Wyobraźmy sobie prymitywną ruletkę, 
która dzieli się na cztery przedziały.  

Zdefiniowana jest przy tym zmienna 
losowa X – liczba punktów uzyskanych 
podczas gry. 

Jeśli ruletka jest symetryczna – rozkład 
prawdopodobieństwa zmiennej X będzie 
następujący: 

x

i 

P(X=x

i

) 

0 

¼ 

1 

¼ 

2 

¼ 

3 

¼ 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

x

i 

P(X=x

i

) 

P(X ≤ x

i

) 

0 

1/4 

1/4 

1 

1/4 

2/4 

2 

1/4 

3/4 

3 

1/4 

4/4 

r 

F

x

(r) 

1 

2 

3 

Zmienna losowa skokowa 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

r 

F

x

(r) 

1 

2 

3 

0 

1 

2 

3 

3,5 

0,5 

1,5 

2,5 

Zmienna losowa skokowa 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

r 

F

x

(r) 

1 

2 

3 

0 

1 

2 

3 

3,5 

0,5 

1,5 

2,5 

Zmienna losowa skokowa 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

r 

F

x

(r) 

1 

2 

3 

Zmienna losowa ciągła 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa 

r 

F

x

(r) 

1 

2 

3 

1 

f(r) 

r 

4 

1/4 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa 

f(r) 

r 

1/4 

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa  
-  pokazuje, jak szybko zmienia się dystrybuanta (jest pochodną dystrybuanty) 
-  pole pod wykresem funkcji gęstości wynosi 1 

Przedstawiony tu wykres to funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla 
rozkładu jednostajnego (równomiernego) 

4 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Rozkład normalny 

Jeśli na zewnątrz naszej ruletki umieścimy 
magnes, wtedy kulka będzie się częściej 
zatrzymywać w pobliżu magnesu. 
 
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej 
zdającej sprawę z miejsca zatrzymania się 
kulki nie będzie już jednostajny… 

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0

5

10

15

20

25

x

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej 
wykorzystywanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej.  

(

)

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

−

=

2

2

2

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

x

e

x

f

Rozkład normalny 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Rozkład normalny 

0

0,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N(0,1)

N(3,1)

N(0,2)

N(3,2)

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Rozkład normalny 

Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym: 

 

-  jest symetryczna względem prostej x = µ  
-  w punkcie x = µ osiąga wartość maksymalną 
-  ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = µ - σ 
  oraz x = µ + σ 
-  kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów: 
 µ i σ. Parametr µ decyduje o przesunięciu krzywej, 
 natomiast parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej. 
 

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Rozkład normalny 

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

N (0,1)
N (3,1)

N (0,2)
N (3,2)

PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 

Joanna Konieczna-Sałamatin 

Rozkład normalny 

Wartości dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego są 
stablicowane. Tablice można znaleźć w dowolnym podręczniku do statystyki. 
 
Są też w Internecie, np.. 
 
http://stat1.is.uw.edu.pl/statystyka