Metoda bezpośrednia (wariant I) wyboru zmiennych stanu
Dany jest obiekt opisany transmitancją operatorową
( )
( )
( )
3
2
4
3
2
3
2
4
1
2
3
4
4
3
2
4
1
2
3
4
y s
s
6s
11s 6
G s
s
10s
35s
50s 24 u s
s
6s
11s 6
s
s
6s
11s
6s
s
10s
35s
50s 24 s
1 10s
35s
50s
24s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
=
=
+
+
+
+
−
+
−
−
+
−
=
⋅
=
+
+
+
+
+
+
+
+
Wyliczamy transformatę sygnału wyjściowego prowadzając transformatę dodatkowego
(pomocniczego) sygnału e(s)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
u s
y s
s
6s
11s
6s
1 10s
35s
50s
24s
s
6s
11s
6s
e s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+
−
⋅
=
+
+
+
+
=
−
+
−
⋅
przy czym
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
2
3
4
1
2
3
4
u s
e s
1 10s
35s
50s
24s
e s
1 10s
35s
50s
24s
u s
−
−
−
−
−
−
−
−
=
⇒
+
+
+
+
⎡
⎤
⋅ +
+
+
+
=
⎣
⎦
a stąd ostatecznie
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
3
4
1
1
1
1
2
1
3
e s
u s
10s
35s
50s
24s
e s
u s
10 s e s
35s
s e s
50s
s e s
24s
s e s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
+
+
+
⋅
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
oraz
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
2
1
3
y s
s e s
6s
s e s
11s
s e s
6s
s e s
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
+
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Na tej podstawie przyjmujemy
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
4
1
2
3
4
1
3
4
1
2
3
1
1
2
1
2
3
4
x s
s e s
s
24 x s
50x s
35x s
10x s
u s
x s
s x s
x s
s x s
x s
s x s
y s
6x s
11x s
6x s
x s
−
−
−
−
−
⎧
=
=
−
−
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
⎪
=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
=
⎩
= −
+
−
+
a ponieważ zachodzi
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
a s
s b s
s a s
b s
a t
b t
−
=
⇒
⋅
=
⇒
=
to
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
3
3
4
4
1
2
3
4
1
2
3
4
x t
x t
x t
x t
x t
x t
x t
24 x t
50x t
35x t
10x t
u t
y t
6x t
11x t
6x t
x t
⎧
=
⎪
=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
= −
−
−
−
+
⎩
= −
+
−
+
Ponieważ dążymy do opisu w ogólnej postaci
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
3
3
4
4
1
2
3
4
x t
x t
x t
x t
u t
x t
x t
x t
x t
t
t
t
t
t
t
x t
x t
y t
u t
x t
x t
⎧⎡
⎤
⎡
⎤
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
⎪⎢
⎥
⎢
⎥
=
+
⎧
⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎣
⎦
⇒
⎨
⎨
=
+
⎡
⎤
⎪
⎪
⎩
⎢
⎥
⎪
⎢
⎥
⎪
=
+
⎢
⎥
⎪
⎢
⎥
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎩
A
B
x
A x
Bu
y
C x
Du
C
D
to
[
]
[ ]
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
24
50
35
10
1
6
11
6
1
0
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣ ⎦
= −
−
=
A
B
C
D
Obliczenie macierzy transmitancji operatorowych na podstawie opisu w przestrzeni stanów
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
n
n
n
n
n
adj s
adj s
s
s
det s
det s
−
−
⋅
−
⋅
=
−
+ = ⋅
⋅ + =
+
−
−
1 A
C
1 A B
G
C 1 A B D C
B D
D
1 A
1 A
Dany jest obiekt opisany w przestrzeni stanów jak powyżej. Jego macierz charakterystyczna ma
postać
(
)
n
1 0 0 0
0
1
0
0
s
1 0
0
0 1 0 0
0
0
1
0
0
s
1
0
s
s
0 0 1 0
0
0
0
1
0
0
s
1
0 0 0 1
24
50
35
10
24 50 35 s 10
−
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
=
−
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
+
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
1 A
a stąd wyznacznik tej macierzy
(
)
(
)
( )
(
)( )
( )( )
(
)
( )
( )( )
(
)
( )
( )
(
)(
)
+
+
+
+
−
−
−
=
= +
⋅Δ + − ⋅Δ =
−
+
−
−
= +
−
− + − −
− =
⎡
−
− ⎤
= +
+
−
+ − −
=
⎢
⎥
⎣
⎦
=
+
+
−
−
+
−
−
=
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
= +
+
+
+
= +
+
n
44
34
4 4
3 4
1 1
1 2
3
3
4
3
2
s
1 0
0
0
s
1
0
det s
s 10
1
0
0
s
1
24 50 35 s 10
s
1 0
s
1 0
s 10
1
0
s
1
1
1
0
s
1
0
0
s
24 50 35
s
1
0
1
s 10 s
s 1
1
1
50 35
24 35
s s 10
s 35s 50 1
1 0 24 1
s
10s
35s
50s 24
s 1 s 2 s
1 A
(
)(
)
+
+
3 s 4
czyli wartości własne macierzy A:
2
3
4
s
1 s
2 s
3 s
4
= −
= −
= −
= −
1
Macierz dołączona macierzy charakterystycznej uwzględniająca specyficzną postać macierzy B:
(
)
T
41
41
42
42
n
43
43
41
42
43
44
44
44
*
*
*
*
* * *
0
0
*
*
*
*
* * *
0
0
adj s
*
*
*
*
* * *
0
0
* * *
1
1
Δ
Δ
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δ
Δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⋅ =
⋅
=
⋅
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δ
Δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
1 A B
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
+
−
Δ = −
−
= − − =
Δ = −
−
= +
=
−
−
−
−
Δ = −
= − −
=
Δ = −
− = +
=
−
4 1
4 2
41
42
4 3
4 4
2
2
3
3
43
43
1 0
0
s
0
0
1
s
1 0
1
1
1
1
0
1 0
1 s s
0
s
1
0
s
1
s
1 0
s
1 0
1
0
s
0
1
s
s
1
0
s
1
1 s
s
0
0
1
0
0
s
(
)
n
2
3
1
s
adj s
s
s
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⋅ =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 A B
stąd ostatecznie:
( )
(
)
(
)
[
]
(
)(
)(
)(
)
[ ]
( )
( )
(
)(
)(
)(
) (
)(
)(
)(
)
2
3
n
n
2
3
3
2
1
s
6 11
6 1
s
adj s
s
s
0
det s
s 1 s 2 s 3 s 4
6 1 11s
6 s
1 s
s
6s
11s 6
s 1 s 2 s 3 s 4
s 1 s 2 s 3 s 4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⋅
−
⋅
⎣ ⎦
=
+ =
+
=
−
+
+
+
+
− ⋅ +
+ − ⋅ + ⋅
+
+
−
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
C
1 A B
G
D
1 A
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
*
*
*
*
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
⎧
=
+
=
+
⎧
= ⋅
⎪
⎪
⎨
⎨
= ⋅
=
+
=
+
⎪
⎪
⎩
⎩
x
A x
Bu
q
A q
B u
x
T q
x
T q
y
Cx
Du
y
C q
D u
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
t
t
t
t
t
t
det
0
t
t
t
t
t
t
−
−
⎧
=
+
⎧
=
+
⎪
⎪
≠
⎨
⎨
=
+
=
+
⎪
⎪
⎩
⎩
Tq
A Tq
Bu
q
T A Tq
T Bu
T
y
CTq
Du
y
CTq
Du
*
1
*
1
*
*
−
−
=
=
=
=
A
T A T B
T B
C
CT
D
D
Wyznaczenie macierzy T liniowego przekształcenia dla pojedynczych wartości własnych:
[
]
1
2
3
4
i
det
0
=
⇒
≠
⇒
≠
T
v
v
v
v
T
v
0
gdzie v
i
jest prawostronnym wektorem własnym związanym z i-tą wartością własną s
i
(
)
(
)
i n
i
i n
s
det s
0
−
⋅ =
⇒
−
=
1 A v
0
1 A
a to oznacza, że dostajemy skalarny układ z większą liczbą niewiadomych (składowych wektora
własnego) niż liczba niezależnych liniowo równań:
(
)
i
1i
2i
i
1i
i
2i
3i
i
2i
i
3i
4i
i
3i
1i
2i
3i
i
4i
i
4i
s v
v
0
s
1 0
0
v
0
s v
v
0
0
s
1
0
v
0
s v
v
0
0
0
s
1
v
0
24v
50v
35v
s 10 v
0
24 50 35 s 10
v
0
⋅ −
=
−
⎧
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎪
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅
−
=
−
⎪
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⋅
=
⇒
⇒
⎨ ⋅ − =
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−
⎪
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪
+
+
+
+
=
+
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎩
(
)
2i
i
1i
2
3i
i
2i
i
1i
3
4i
i
3i
i
1i
2
3
1i
i
1i
i
1i
i
i
1i
v
s v
v
s v
s v
v
s v
s v
24v
50s v
35s v
s 10 s v
0
= ⋅
⎧
⎪ = ⋅ = ⋅
⎪
⇒
⇒
⎨ = ⋅ = ⋅
⎪
⎪
+
⋅ +
⋅ +
+
⋅ =
⎩
gdzie lewa strona ostatniego równania to wartość wielomianu charakterystycznego liczona dla
i-tego jego pierwiastka, czyli
1i
2i
i
1i
2i
i
1i
2
3i
i
1i
i
i
2
3i
i
1i
i
1i
3
2
2
np.v 1
4i
i
1i
i
i
3
4i
i
1i
3
3
1i
i
i
v
s v
1
1
v
s v
v
s v
s
s
v
s v
v
v
s v
s
s
v
s v
0 v
0
s
s
=
= ⋅
⎧
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= ⋅
⎧
⎪
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⋅
⎪
⎪
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⇒
⇒
= ⋅
⇒ =
⋅
=
⎨
⎨
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⋅
⎪
⎪ = ⋅
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎩
⎪ ⋅ =
⎩
⎣ ⎦
⎣ ⎦
v
[
]
3
1
2
4
1
2
3
4
2
2
2
2
3
1
2
4
3
3
3
3
3
1
2
4
1
1
1
1
1
1
1
1
s
s
s
s
1
2
3
4
s
s
s
s
1
4
9
16
s
s
s
s
1
8
27
64
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
T
v
v
v
v
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
1
1
1
1
1
48
52
18
2
1
2
3
4
72
114
48
6
1
1
4
9
16
48
84
42
6
12
1
8
27
64
12
22
12
2
T
A stąd nowy opis podaje się po obliczeniu macierzy:
−
−
=
=
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎣
⎦
−
−
−
−
=
=
*
1
*
1
48
52
18
2
0
1
0
0
1
1
1
1
72
114
48
6
0
0
1
0
1
2
3
4
1
48
84
42
6
0
0
0
1
1
4
9
16
12
12
22
12
2
24
50
35
10
1
8
27
64
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
48
52
18
2
72
114
48
1
12
A
T A T
B
T B
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
0
1
6 0
3
1
48
84
42
6 0
3
6
12
22
12
2 1
1
[
]
[
]
[ ]
⎡
⎤
⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥
=
= −
−
= −
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
= =
*
*
1
1
1
1
1
2
3
4
6 11
6 1
24
60
120
210
1
4
9
16
1
8
27
64
0
C
CT
D
D
Kolejny
przykład pokazuje zasadę postępowania dla macierzy stanu z wielokrotnymi
wartościami własnymi:
( )
( )
( )
2
2
3
4
4
3
2
1
2
3
4
y s
s
2s 1
s
2s
s
G s
s
5s
9s
7s 2 u s
1 5s
9s
7s
2s
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
stąd na podstawie metody bezpośredniej:
[
]
[ ]
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
2
7
9
5
1
1
2
1
0
0
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣ ⎦
=
−
=
A
B
C
D
oraz
(
)
n
s
1 0
0
0
s
1
0
s
0
0
s
1
2
7
9
s 5
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
+
⎣
⎦
1 A
(
)
(
) (
)
3
4
3
2
n
s
1 0
0
0
s
1
0
det s
s
5s
9s
7s 2
s 1 s 2
0
0
s
1
2
7
9
s 5
−
−
−
=
= +
+
+
+ = +
+
−
+
1 A
1
2
2
s
1
3
s
2
1
= −
υ =
= −
υ =
1
W przypadku s
i
wartości własnej o krotności υ
i
oblicza się wektor własny (główny, rodzicielski)
wraz z kolejnymi wektorami (potomkami) zgodnie z zależnością
(
)
(
)
(
)
(
)
υ −
υ −
⎧
−
⋅ =
⎪
−
⋅ = −
⎪⎪
−
⋅
= −
⎨
⎪
⎪
−
⋅
= −
⎪⎩
#
i
i
i n
i
i n
i1
i
i n
i2
i1
i n
i(
1)
i(
2)
s
s
s
s
1 A v
0
1 A v
v
1 A v
v
1 A v
v
W rozpatrywanym przypadku wektory główne mają postać
1i
i
1i
i
2i
i
i
i
1i
2
2
np.v 1
i
3i
i
i
3
3
i
4i
i
i
s
1 0
0
v
1
1
0
0
s
1
0
v
s
s
0
v
0
0
s
1
v
s
s
0
2
7
9
s 5
v
s
s
0
=
−
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⋅
=
⇒
=
⋅
=
⇒
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
v
1
2
1
1
1
2
1
4
1
8
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⇒
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
−
⎣ ⎦
⎣ ⎦
v
v
Natomiast dla s
1
trzeba obliczyć 2 wektory potomkowe:
(
)
1
111
211
1
111
1
211
311
1
1
211
1
2
2
1
311
411
1
1
311
1
3
3
111
211
311
1
411
1
1
411
1
s v
v
1
s
1 0
0
v
1
s v
v
s
0
s
1
0
v
s
s v
v
s
0
0
s
1
v
s
2v
7v
9v
s
5 v
s
2
7
9
s
5
v
s
⋅
−
= −
−
⎧
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡ ⎤
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⋅
−
= −
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⋅
= −
⇒
⇒
⎨ ⋅ − = −
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎪
+
+
+
+
= −
+
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣ ⎦
⎩
(
)
(
)
(
)
(
)
211
1
111
2
311
1
211
1
1
111
1
2
3
2
411
1
311
1
1
111
1
2
3
2
3
111
1
111
1
111
1
1
1
111
1
1
v
s v
1
v
s v
s
s v
2s
v
s v
s
s v
3s
2v
7 s v
1
9 s v
2s
s
5 s v
3s
s
0
= ⋅
+
⎧
⎪
= ⋅
+ = ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+ = ⋅
+
⎪
⎪
+
⋅
+ +
⋅
+
+
+
⋅
+
+ =
⎩
(
)
(
)
211
1
111
2
311
1
111
1
3
2
411
1
111
1
4
3
2
3
2
1
1
1
1
111
1
1
1
v
s v
1
v
s v
2s
v
s v
3s
s
5s
9s
7s
2 v
4s
15s
18s
7
0
= ⋅
+
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
+
+
+
+
+
+
+
+ =
⎩
gdzie lewa strona ostatniego równania to wartość wielomianu charakterystycznego liczona dla jego
pierwiastka, oraz 1-sza pochodna tego wielomianu również liczona dla jego 3-krotnego pierwiastka
czyli
211
1
111
211
1
111
2
311
1
111
1
2
311
1
111
1
3
2
411
1
111
1
3
2
411
1
111
1
111
v
s v
1
v
s v
1
v
s v
2s
v
s v
2s
v
s v
3s
v
s v
3s
0 v
0 0
= ⋅
+
⎧
= ⋅
+
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⎪
⇒
⇒
= ⋅
+
⇒
⎨
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
= ⋅
+
⎩
⎪ ⋅
+ =
⎩
=
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⇒
=
⋅
+
=
=
=
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
111
1
11
111
1
2
np.v
0
1
1
1
1
3
2
2
1
1
1
1
0
0
0
s
1
1
1
1 d
v
s
2s
2s
2
1! ds
s
3s
3s
3
v
v
A teraz kolejny wektor potomkowy:
(
)
⋅
−
=
−
⎧
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⋅
−
= −
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⋅
= −
⇒
⇒
⎨ ⋅ − = −
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎪
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎪
+
+
+
+
= −
+
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎩
1
112
212
1
112
1
212
312
1
212
1
312
412
1
1
312
1
2
2
112
212
312
1
412
1
1
412
1
s v
v
0
s
1 0
0
v
0
s v
v
1
0
s
1
0
v
1
s v
v
2s
0
0
s
1
v
2s
2v
7v
9v
s
5 v
3s
2
7
9
s
5
v
3s
(
)
(
)
(
)
(
)
= ⋅
⎧
⎪
= ⋅
+ = ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+
= ⋅
+
⎪
⎪
+
⋅
+
⋅
+ +
+
⋅
+
+
=
⎩
212
1
112
2
312
1
212
1
112
3
412
1
312
1
1
112
1
2
3
2
112
1
112
1
112
1
1
112
1
1
v
s v
v
s v
1 s v
1
v
s v
2s
s v
3s
2v
7 s v
9 s v
1
s
5 s v
3s
3s
0
(
)
(
)
= ⋅
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⇒
⇒
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
+
+
+
+
+
+
+ =
⎩
212
1
112
2
312
1
112
3
412
1
112
1
4
3
2
2
1
1
1
1
112
1
1
v
s v
v
s v
1
v
s v
3s
s
5s
9s
7s
2 v
6s
15s
9
0
gdzie lewa strona ostatniego równania to wartość wielomianu charakterystycznego liczona dla jego
pierwiastka, oraz 2-ga pochodna tego wielomianu również liczona dla jego 3-krotnego pierwiastka
czyli
= ⋅
⎧
= ⋅
⎧
⎪
= ⋅
+
⎪
⎪
⇒
⇒
= ⋅
+
⇒
⎨
⎨
= ⋅
+
⎪
⎪
= ⋅
+
⎩
⎪ ⋅
+ =
⎩
212
1
112
212
1
112
2
312
1
112
2
312
1
112
3
412
1
112
1
3
412
1
112
1
112
v
s v
v
s v
v
s v
1
v
s v
1
v
s v
3s
v
s v
3s
0 v
0 0
=
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⇒
=
⋅
+
=
=
=
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
112
2
1
12
112
1
2
2
np.v
0
1
1
3
1
1
1
1
0
0
0
s
0
0
0
1 d
v
s
1
1
1
2! ds
s
3s
3s
3
v
v
[
]
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
2
1
11
12
2
2
2
1
1
2
3
2
3
1
1
1
2
1
0
0
1
1
0
0
1
s
1
0
s
1
1
0
2
s
2s
1
s
1
2
1
4
s
3s
3s
s
1
3
3
8
T
v
v
v
v
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
1
1
1
0
0
1
2
3
3
1
1
1
0
2
0
2
3
1
1
2
1
4
2
5
4
1
1
3
3
8
1
3
3
1
T
A stąd nowy opis podaje się po obliczeniu macierzy:
−
−
=
=
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤ ⎡
⎢
⎥ ⎢
−
−
−
⎢
⎥ ⎢
=
=
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
−
−
−
−
⎣
⎦ ⎣
*
1
*
1
2
3
3
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
2
3
1
0
0
1
0
1
1
0
2
2
5
4
1
0
0
0
1
1
2
1
4
1
3
3
1
2
7
9
5
1
3
3
8
1
1
0
0
0
1
1 0
0
0
1 0
0
0
0
2
2
3
3
1 0
0
2
3
1 0
2
5
4
1 0
1
3
3
1 1
A
T A T
B
T B
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
−
⎥ ⎢ ⎥
=
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
−
⎦ ⎣ ⎦
1
1
1
1
[
]
[
]
[ ]
⎡
⎤
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
=
=
−
=
−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
−
−
−
⎣
⎦
= =
*
*
1
0
0
1
1
1
0
2
1
2 1 0
4
4 1 9
1
2
1
4
1
3
3
8
0
C
CT
D
D
Przy czym wydzielona część w macierzy stanu to tzw. blok Jordana związany z wielokrotną
wartością własną.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zmienne stanu zadania
Plaszczyzna-konspekt, Metoda płaszczyzny fazowej stosuje się do układów drugiego rzędu, których zmie
Zmienne stanu, » E=50-86
Zmienne stanu spraw, Elektrotechnika, Sygnały i układy, laboratorium, sprawozdania, Ćw 3
opengl zmienne stanu
opengl zmienne stanu
Układy rozrządu o zmiennych fazach prezentacja stanu pracy
Spoleczno ekonomiczne uwarunkowania somatyczne stanu zdrowia ludnosci Polski
003 zmienne systemowe
Badanie korelacji zmiennych
prąd zmienny malej czestotliwosci (2)
Ocena stanu czystosci wod Zalewu Szczecinskiego ppt
Najbardziej charakterystyczne odchylenia od stanu prawidłowego w badaniu
FiR Zmienne losowe1
ocena stanu odżywienia
4 operacje na zmiennych I
więcej podobnych podstron