Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.3

dr Jolanta Dymkowska

Wybrane rozkłady zmiennej losowej

Zad.1 Rzucono pięć razy symetryczną monetą. Niech zdarzenie X oznacza liczbę wyrzuconych orłów. Wyznacz:

a) rozkład zm. los. X ,

b) p-stwo wyrzucenia co najmniej raz orła,

c) wartość oczekiwaną zm. los. X , jej wariancję i odchylenie standardowe,

d) dystrybuantę zm. los. X .

Zad.2 Rzucono cztery razy symetryczną kostką do gry. Niech zmienną losową X będzie liczba otrzymanych wyników

podzielnych przez 3. Wyznacz:

a) rozkład zm. los. X ,

b) wartość oczekiwaną zm. los. X , jej wariancję i odchylenie standardowe.

Zad.3 Na drodze ruchu pociągów znajduje się 6 semaforów, z których każdy zezwala na przejazd z p-stwem p = 0, 8 .

Niech

X

oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze zatrzymanie lub

stację docelową. Wyznaczyć:

a) rozkład zm. los. X ,

b) wartość oczekiwaną zm. los. X , jej wariancję i odchylenie standardowe,

c) p-stwo P (X

> 2) .

Zad.4 Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy i znane jest p-stwo uzyskania co namniej raz sukcesu w czterech

próbach: P (X

> 1) =

80
81

. Jakie jest p-stwo uzyskania sukcesu w jednej próbie?

Zad.5

Zmienna losowa

X

ma rozkład Poissona, przy czym

λ = 2 .

Obliczyć:

P (X < 3) ,

P (X > 5) ,

P (1 6 X 6 4) .

Zad.6 W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano stu pracowników pracujących na stanowiskach produkcyjnych, dokonu-

jąc w ciągu miesiąca obserwacji jakości ich produkcji. Otrzymano następujące wyniki:

Liczba braków

0

1

2

3

4

5

6

7

Liczba pracowników

15

33

26

16

6

2

1

1

Zakładając, że rozkład p-stwa występowania braków jest rozkładem Poissona, należy:

a) wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X , definiowaną liczbą braków powstałych w ciągu miesiąca,

b) znaleźć p-stwo, że losowo wybrany pracownik ma na swoim koncie dokładnie 5 braków.

Zad.7

W okręgu Włoszczowa - Południe zaobserwowano w ciągu 10 lat średnio 3 wykolejenia pociągów rocznie.

Zmienna losowa X , oznaczajaca liczbę wykolejeń rocznie, może przyjmować wartości:

0, 1, 2, . . . . Obliczyć

p-stwo, że:

a) liczba wypadków nie przekroczy jednego w ciągu roku,

b) liczba wypadków będzie równa dokładnie 5 w ciągu roku.

Zad.8 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 1) . Obliczyć: P (0 < X < 2) , P (X > 1, 5) , P (|X|

6 1) ,

P (X

2

− X > 1) .

Zad.9

Zmienna losowa

X

ma rozkład normalny

N (1, 2) .

Obliczyć:

P (−1 < X < 2) ,

P (X > −0, 5) ,

P (|X| 6 1, 5) .

Zad.10 Dokonując pomiaru długości pewnym przyrządem popełniamy błąd systematyczny 1 cm (z nadmiarem) i błąd

losowy o rozkładzie N (0; 0, 3) .

a) Obliczyć wartość oczekiwaną całkowitego błędu pomiaru.

b) P-stwo, że całkowity błąd pomiaru nie przekracza 1,5 cm.

c) P-stwo, że odczytany wynik pomiaru nie przekracza rzeczywistej wartości mierzonej wielkości.

Zad.11 Znaleźć rozkład p-stwa losowej pracy wykonanej przez losowę siłę o rozkładzie N (5, 2) na drodze s = 10 .

1