Zmienne losowe i ich rozkłady

teoretyczne

• Zmienne i ich rodzaje
• Rozkład empiryczny a teoretyczny
• Zmienne losowe
• Funkcje opisujące rozkład zmiennej

losowej

• Parametry rozkładu zmiennej losowej

Zmienne to wielkości (parametry, cechy), które

mierzymy,

kontrolujemy

lub

którymi

manipulujemy w trakcie badań.

Ogólnie zmienne zaliczamy do jednej z dwóch

kategorii:

1.      zmienne zależne (dependent variable)
2.      zmienne niezależne (independent variable)

Niezależnymi nazywamy takie zmienne, których

wartości możemy dobierać i zmieniać w

doświadczeniu (są to zmienne manipulowane

przez badacza).

Zmienne zależne mogą być jedynie mierzone lub

rejestrowane przez badacza, nie ma on wpływu na

to jakie wartości przyjmują.

Rozkład empiryczny a

teoretyczny

Jednym z podstawowych pojęć statystyki jest pojęcie

rozkładu.

Mówimy o rozkładzie pewnej cechy w określonej populacji, to znaczy
sposobie przypisywania wartości cechy poszczególnym elementom

populacji.

Przykłady
Intuicyjnie możemy wytłumaczyć pojęcie rozkładu dość jasno. Jeśli wśród
ludzi połowę stanowią mężczyźni, a połowę kobiety, liczby te

przedstawiają

właśnie rozkład cechy „płci” w populacji. Jeśli zawałowi serca ulega 20%
dorosłych Polaków, to cecha „zapadalność na zawał” ma rozkład 20%:80%.

Jeśli z kolei rozpatrujemy cechę „wykształcenie” i przyjmiemy trzy

kategorie:

wyższe, średnie, mniej niż niższe, to cecha ta ma w populacji dorosłych
Polaków rozkład 9%:23%:68%.

Rozkład otrzymany na podstawie badania

populacji lub jej części nazywamy rozkładem

empirycznym (z populacji lub próby).

Oczywiście istnieją też rozkłady teoretyczne –

przykłady to rozkłady normalne, dwumianowy

czy Poissona.

Podstawową cechą rozkładów teoretycznych

jest to, że wyrażają się one przez ściśle określone

formuły matematyczne. Formuły te pozwalają

badać własności rozkładów oraz wypisywać

tablice odpowiednich prawdopodobieństw.

Dla nas najważniejszą właściwością rozkładów

teoretycznych jest zgodność rozkładu wielu cech

w rzeczywistych populacjach z owymi rozkładami

teoretycznymi.

Rozkłady teoretyczne są dobrze przebadane i

w pewnym sensie wiemy o nich wszystko, a w

każdym razie wszystko, co nas interesuje.

Ustalenie zatem, że dana cecha ma rozkład

zbliżony do rozkładu teoretycznego, pozwala

zastosować do niej naszą wiedzę o tymże

rozkładzie.

Mówiąc o rozkładach, dotykamy jeszcze jednej

ważnej

kwestii,

mianowicie

porównania

populacji.

Ogólną

ideą

wielu

testów

statystycznych jest sprawdzanie, czy dwa dane

rozkłady tej samej cechy w różnych grupach są

tożsame. Na ogół interesująca jest odpowiedź

negatywna (rozkłady są różne), co świadczy o

zróżnicowaniu zjawiska.

Pojęcie zmiennej losowej i jej rodzaje

Zmienna losowa jest to funkcja przyporządkowująca
wartości liczbowe wynikom doświadczenia losowego
(zdarzeniom elementarnym).
Z wartościami zmiennej losowej związane są
określone prawdopodobieństwa, stąd mówi się
również, że zmienna losowa jest to taka zmienna,
która przybiera różne wartości z różnymi
prawdopodobieństwami.

Wyróżniamy zmienne losowe:
- skokowa (dyskretna),
- ciągła.

W celu wyjaśnienia pojęcia zmiennej losowej

rozważmy przykład doświadczenia polegającego

na rzucie kostką sześcienną.
Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór

ścianek

E={e

1

, e

2

, e

3

, e

4

, e

5

, e

6

}

Każdemu zdarzeniu elementarnemu

przyporządkowujemy liczbę oczek na ściance.
Otrzymamy wtedy zbiór

X={1, 2, 3, 4, 5, 6}

przyporządkowany zbiorowi E.

Zmienne losowe mogą mieć jednakowe zbiory

możliwych wartości, ale prawdopodobieństwa

tych wartości mogą być różne. Każdej możliwej

wartości zmiennej losowej X przyporządkowane

jest określone prawdopodobieństwo (P), tak

P(x

i

) = p

i

Zmienna losowa skokowa (dyskretna)

- jest to zmienna

przyjmująca skończoną lub co najwyżej przeliczalną
liczbę wartości. Zmienna taką jest na przykład rzut
monetą, rzut kostką, dobowa liczba urodzeń, liczba
małżeństw w Polsce, wydajność pracy robotnika
mierzona w sztukach wyrobów na godzinę.

P

i

= P(X=x

i

)

, co oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna

losowa X przyjmie konkretną wartość x

i

,

np.. P(x=5)

Zmienna losowa ciągła

- jest to zmienna, której zbiór

możliwych do realizacji jest nieskończony i
nieprzeliczalny, czyli może przyjmować wartości z
pewnego przedziału liczbowego. Zmienną taką jest na
przykład wzrost, waga, wiek poszczególnych osób,
grubość arkuszy blachy.

P

i

= P(X=x

i

)=0, ale p

i

=0<P(x

1

<X<x

2

)<1

, co oznacza, że

wartości zmiennej losowej X znajdują się w przedziale
od x

1

do x

2

Funkcje opisujące rozkład zmiennej losowej

Do funkcji opisujących rozkład zmiennej losowej należą:
- funkcja rozkładu prawdopodobieństwa,
- dystrybuanta dla zmiennej losowej,
- funkcja gęstości.

Niezależnie od typu, każdą zmienną losową X można
jednoznacznie określić za pomocą teoretycznej
dystrybuanty.

Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcje

F(x), zmiennej rzeczywistej x, określonej jako

F(x)=P(X<x)

Tak

zdefiniowana

dystrybuanta

ma

następujące

własności:



0≤F(x)≤1

 F(x) jest funkcją niemalejącą

 F(x) jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą

oraz

W wielu praktycznych przypadkach dystrybuanta F(x)

jest różniczkowalna i istnieje funkcja f(x)=dF(x)/dx,

zwana gęstością prawdopodobieństwa zmiennej

losowej X.

0

)

(

lim









x

F

x

0

)

(

lim







x

F

x

Parametry rozkładu zmiennej losowej

Rozkład zmiennej losowe, podobnie jak empiryczny

rozkład cechy można scharakteryzować za pomocą

parametrów rozkładu:

-

moment zwykły rzędu k zmiennej losowej,

-

moment zwykły rzędu pierwszego (wartość

oczekiwana),

-

moment centralny rzędu k zmiennej losowej,

-

moment centralny rzędu pierwszego i drugiego

(wariancja),

-

współczynnik asymetrii,

-

współczynnik skupienia,

-

mediana zmiennej losowej X to wartość Me spełniająca

nierównośći

P(X≤Me)≥0,5 i P(X ≥Me) ≥0,5

-

kwantyl rzędu p zmiennej losowej X to wartość K

p

spełniajaca nierówność

P(X≤ K

p

)≥p i P(X ≥ K

p

) ≥1-p,

0<p<1