Maciej Sac, Marek Blok
2015-04-10
Metody probabilistyczne i statystyka
ćwiczenia
Ćw. 4. Zmienne losowe (wielkości losowe)
Zagadnienia: zmienne losowe i ich charakterystyki probabilistyczne
Zmienna losowa (wielkość losowa)
Ze zmienną losową X mamy do czynienia, gdy istnieje funkcja
𝑥(𝜔) przyporządkowująca wartości
liczbowe losowym zdarzeniom elementarnym
𝜔.
Dziedzina:
wszystkie zdarzenia elementarne
𝜔 ∈ 𝛺
Przeciwdziedzina:
podzbiór R
Realizacja:
𝑥
𝑖
= 𝑥(𝜔
𝑖
)
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją argumentu x określającą prawdopodobieństwo
przyjęcia przez tę zmienną losową wartości mniejszej od x.
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥)
Własności:
1)
𝐹(𝑥) jest określona w dziedzinie liczb rzeczywistych w przedziale od −∞ do ∞.
2)
𝐹(𝑥) jest funkcja niemalejącą
3)
𝐹(−∞) = 0
4)
𝐹(∞) = 1
5)
𝐹(𝑥) jest lewostronnie ciągła: 𝐹(𝑥
−
) = 𝐹(𝑥)
6)
𝑃(𝑥
1
≤ 𝑋 < 𝑥
2
) = 𝐹(𝑥
2
) − 𝐹(𝑥
1
)
7)
𝑃(𝑋 = 𝑥
1
) = 𝐹(𝑥
1
+
) − 𝐹(𝑥
1
)
Komplementarna dystrybuanta:
𝐶(𝑥) = 1 − 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥)
Zmienne losowe ciągłe i dyskretne
Zmienna losowa jest typu ciągłego, jeżeli jej dystrybuanta
𝐹(𝑥) jest funkcją ciągłą i przeliczalna
jest liczba argumentów, dla których nie jest ona różniczkowalna.
Zmienna losowa jest typu dyskretnego, jeżeli jej dystrybuanta
𝐹(𝑥) jest typu schodkowego.
Zmienna losowa jest typu mieszanego, jeżeli jej dystrybuanta
𝐹(𝑥) jest nieciągła, ale jednocześnie
nie jest typu schodkowego.
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej jej pochodną jej dystrybuanty
𝑝(𝑥) =
𝑑𝐹(𝑥)
𝑑𝑥
Własności:
1)
𝑝(𝑥) ≥ 0
2)
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑝(𝑧)𝑑𝑧
𝑥
−∞
(z.l. ciągła);
𝐹(𝑥) = ∑
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑛
)
𝑥
𝑛
<𝑥
,
𝑛 = 1,2,3, … (z.l. dyskretna)
3) warunek normalizacyjny:
∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
(z.l. ciągła); ∑
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑛
) = 1
𝑛
(z.l. dyskretna)
4)
𝑃(𝑥
1
≤ 𝑋 ≤ 𝑥
2
) = ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
2
𝑥
1
(z.l. ciągła);
𝑃(𝑥
1
≤ 𝑋 ≤ 𝑥
2
) = ∑
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑛
)
𝑥
1
≤𝑥
𝑛
≤𝑥
2
(z.l.
dyskretna)
Maciej Sac, Marek Blok
2015-04-10
Histogram – doświadczalne wyznaczanie gęstości prawdopodobieństwa
– obserwujemy N realizacji X,
– zakres zaobserwowanych realizacji dzielimy na przedziały o równej szerokości ∆,
– k
i
zaobserwowanych realizacji mieści się w i-tym przedziale,
– na i-tym przedziale rysujemy słupek o wysokości (k
i
/N)/∆,
– przy N → ∞, ∆ → 0 otrzymujemy p(x).
Zad. 1. Rozpatrzmy eksperyment polegający na rzucie kostką sześciościenną. Zmienne losowa X
przyjmuje wartości odpowiadające wynikowi rzutu. Zapisz możliwe realizacje zmiennej losowej X.
Zapisz prawdopodobieństwo wystąpienia każdej realizacji. Zapisz dystrybuantę zmiennej losowej X
oraz narysuj jej wykres.
Zad. 2. Dana jest zmienna losowa ciągła X o rozkładzie prawdopodobieństwa
𝑝(𝑥) = {
𝐶𝑥
2
dla 𝑥 ∈ (0,1)
0 dla pozostałych 𝑥
. Wyznacz stałą C. Wyznacz F(x). Oblicz
𝑃(
1
3
≤ 𝑋 < 4).
Odp.
𝐶 = 3, 𝑃 (
1
3
≤ 𝑋 < 4) =
26
27
Zad. 3. Optyczny system inspekcji ma na celu rozróżnienie trzech typów elementów.
Prawdopodobieństwo poprawnej klasyfikacji dowolnego elementu wynosi 0.98. Załóżmy, że
inspekcji są poddawane trzy elementy i ich klasyfikacja jest niezależna. Niech zmienna losowa X
oznacza liczbę poprawnie sklasyfikowanych elementów. Określ rozkład prawdopodobieństwa oraz
dystrybuantę zmiennej losowej X.
Zad. 4. Pracownik spóźnia się do pracy o
𝑖 minut (zdarzenie 𝑆
𝑖
), gdzie i = 0, 1, 2, ... Przyjmując
𝑃(𝑆
𝑖
) = 0.5
𝑖+1
oraz, że za każdą minutę spóźnienia płaci on 50 groszy, znaleźć rozkład
Maciej Sac, Marek Blok
2015-04-10
prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę karnych opłat. Następnie obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że zapłaci on 2 złote lub więcej.
Odp.
𝑃(𝑋 = 𝑥
𝑖
) = 0.5
2𝑥
𝑖
+1
dla
𝑥
𝑖
= 0, 0.5, 1.0, …; 𝐹(𝑥) = 1 − 0.5
⌈2𝑥⌉
;
𝑃(𝑋 ≥ 2) =
1
16
.
Zad. 5. Badając eksperymentalny kanał transmisyjny określono, że liczba błędów obserwowana w
przesyłanych 8-mio bitowych słowach kodowych jest zmienną losową o następującej dystrybuancie
𝐹(𝑥) = {
0
𝑥 ≤ 0
0.7 0 < 𝑥 ≤ 3
0.9 3 < 𝑥 ≤ 6
1
6 < 𝑥
Określić następujące prawdopodobieństwa
a)
𝑃(𝑋 < 7); b) 𝑃(𝑋 ≤ 4); c) 𝑃(𝑋 > 7); d) 𝑃(𝑋 ≤ 5) e) 𝑃(𝑋 > 4); f) 𝑃(𝑋 ≤ 2).
Ile błędów obserwowano w odbieranych słowach kodowych? Określ prawdopodobieństwa tych
zdarzeń.
Odp.
a)
1; b) 0.9; c) 0; d) 0.9; e) 0.1; f) 0.7; 𝑃(𝑋 = 0) = 0.7; 𝑃(𝑋 = 3) = 0.2; 𝑃(𝑋 = 6) = 0.1
Zad. 6. Przyjmując
𝑝(𝑥) = 𝑥/8 dla 3 < 𝑥 < 5 wyznacz dystrybuantę 𝐹(𝑥) oraz określić
następujące prawdopodobieństwa
a)
𝑃(𝑋 < 4);
b)
𝑃(𝑋 > 3.5);
c)
𝑃(4 < 𝑋 < 5);
d)
𝑃(𝑋 < 4.5); e) 𝑃(𝑋 < 3.5 lub 𝑋 > 4.5)
Odp.
𝐹(𝑥) =
1
16
(𝑥
2
− 9)
a)
0.4375; b) 0.7969; c) 0.5625; d) 0.7031; e) 0.5
Zad. 7. W klasie sprawdzono ile słów są w stanie napisać uczniowie w ciągu jednej minuty i
uzyskano następujące wyniki: 25, 19, 23, 29, 34, 26, 30, 40, 33, 20, 35, 35, 25, 29, 36, 22, 31.
Sporządź tabelę częstości i narysuj histogram.
Zad. 8. Dana jest zmienna losowa X ciągła o dystrybuancie
𝐹(𝑥) = {
0
𝑥 ≤ −1
1
2
+
1
𝜋
arcsin 𝑥 −1 < 𝑥 < 1
1
𝑥 ≥ 1
a) narysuj wykres
𝐹(𝑥),
b) oblicz
𝑃 (−
1
2
≤ 𝑋 <
1
2
),
c) wyznacz
𝑝(𝑥).
Zad. 9. Dana jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa
𝑝(𝑥) = 𝐶
1
1+𝑥
2
. Wyznacz stałą C oraz
dystrybuantę zmiennej losowej X.
Materiały źródłowe:
1. B. Czaplewski, notatki.
2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska, “Probabilistyka stosowana”, Wydawnictwo PG, 2004.
3. D. C. Montgomery, G. C. Runger, “Applied Statistics and Probability for Engineers”, Willey,
2003.
Maciej Sac, Marek Blok
2015-04-10
4. M. Kay, “Intuitive Probability and Random Processes Using MATLAB”, Springer, 2006.
5. J. Konorski, “Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna”, materiały do
wykładu, WETI PG, Gdańsk, 2014.
6. http://www.gaston.k12.nc.us/schools/cramerton/faculty/kllasky/Course%20Outline%20and%20
Syllabus/Textbook/Ch%2003/Text%203.5.pdf