dr inż. Magdalena Topczewska Ćwiczenia nr 5
Zmienna losowa dwuwymiarowa
Zakres teorii
• Zmienna losowa dwuwymiarowa dyskretna i ciag la
,
– funkcja rozk ladu prawdopodobieństwa
– dystrybuanta
– rozk lady brzegowe
– rozk lady warunkowe
– rozk lady zmiennej losowej dwuwymiarowej
– charakterystyki zmiennej losowej dwuwymiarowej Zadania
Zad 1.
Niech (X, Y ) bedzie dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego o wartościach i prawdopodobieństwach
,
,
,
,
podanych w tabeli. Znaleźć rozk lady brzegowe i sprawdzić, czy zmienne sa niezależne.
,
Y \X
x1
x2
x3
y1
0.25
0.23
0.12
y2
0.2
0.1
0.1
Zad 2.
Niech (X, Y ) bedzie dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego o wartościach i prawdopodobieństwach
,
,
,
,
podanych w tabeli. Znaleźć rozk lady brzegowe i sprawdzić, czy zmienne sa niezależne.
,
Y \X
0
1
2
3
−1
1
0
1
0
8
8
0
1
1
0
1
4
4
8
1
0
0
1
0
8
Zad 3.
Dobrać sta la c, by funkcja
,
x + cxy
dla 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1
f (x, y) =
0
w p.p.
by la funkcja gestości.
,
,
Zad 4.
Znaleźć sta la a, by funkcja f (x, y) by la funkcja gestości zmiennej losowej (X, Y ), a nastepnie znaleźć rozk lady
,
,
,
,
brzegowe zmiennych X i Y , znajac gestość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej
,
,
1
dla |x| 6 2, |y| 6 2
f (x, y) =
a
0
w p.p.
Zad 5.
Gestościa zmiennej losowej (X, Y ) jest
,
,
e−x−y
dla x, y > 0
f (x, y) =
0
w p.p.
Znaleźć gestości f
,
X (x) i fY (y) rozk ladów brzegowych zmiennych losowych X i Y .
Zad 6.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma nastepujacy rozk lad p
, p
, p
i p
. Znaleźć
,
,
11 = 3
8
12 = 3
8
21 = 1
8
22 = 1
8
rozk lady brzegowe zmiennych X i Y . Zbadać, czy zmienne losowe X i Y sa niezależne.
,
1
Znaleźć dystrybuante zmiennej losowej (X, Y ), której gestościa jest funkcja
,
,
,
x − xy
dla 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1
f (x, y) =
0
w p.p.
Zad 8.
Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) o wartościach i prawdopodobieństwach podanych w tabeli Y \X
−1
0
1
2
−2
1
1
0
1
5
10
10
0
1
0
1
1
15
5
15
2
1
1
1
0
10
10
15
1. Czy zmienne losowe X i Y sa niezależne?
,
2. Znaleźć rozk lad zmiennej losowej warunkowej X/Y = 2.
3. Znaleźć rozk lad zmiennej losowej warunkowej Y /X = 1.
Zad 9.
Rzucamy 5 razy moneta. Niech X oznacza liczbe or lów otrzymanych w tych rzutach, Y - liczbe serii or lów,
,
,
,
Z zaś – d lugość najd luższej serii or lów. Wypisać wszystkie zdarzenia elementarne w opisanym doświadczeniu.
Wyznaczyć:
1. rozk lad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ), 2. rozk lady brzegowe poszczególnych zmiennych, 3. rozk lad dwuwymiarowej zmiennej (X, Z) oraz obliczyć P (X = 3, Z <= 2), (w ciagu elementów dwóch rodzajów każdy maksymalny podciag elementów jednego rodzaju nazywamy seria).
,
,
,
Zad 10.
W 10-cio elementowej partii pewnego towaru sa 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech
,
zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych wśród 2 wylosowanych sztuk, Y – przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, 0 – jeśli nie jest wadliwa. Wyznaczyć rozk lad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ). Zbadać, czy zmienne sa niezależne. Znaleźć rozk lad zmiennej losowej
,
warunkowej X/Y = 1.
2