Dwuwymiarowa zmienna losowa oraz dwuwymiarowy rozkład empiryczny

!"

#

$%& %

& &'

Zad. 1. Wyniki badania losowej próby 200 osób, pytanych o zamiar wzi cia udziału w najbli szych

wyborach przedstawiały si nast puj co: ze 100 badanych kobiet 60 twierdziło, e decyduje si głosowa

natomiast w próbie m czyzn, znajdowało si 60 takich, którzy nie zamierzali i na wybory. Czy

zale no mi dzy powy szymi zmiennymi jest istotna statystycznie?

Zad. 2. 100 losowo wybranych dystrybutorów zbadano ze wzgl du na rodzaj wydatków inwestycyjnych

oraz zakres prowadzonej działalno ci w ostatnim kwartale. Wynik badania przedstawia poni sza tabela:

Zakres prowadzonej działalno ci

Inwestycje w kapitał ludzki Inwestycje w rodki produkcji

Lokalna

20

0

Regionalna

20

20

Ogólnokrajowa

10

30

Z jakim ryzykiem bł du pierwszego rodzaju mo na uzna zale no stochastyczn mi dzy rodzajem

wydatków inwestycyjnych oraz zakres prowadzonej działalno ci za statystycznie istotn ?

Zad. 3. Zbadano losow grup kierowców ze wzgl du na płe kierowcy (X) i liczb stłuczek (Y).

Otrzymano nast puj cy rozkład:

x \ y

0

1

2

n

i.

m

14

8

13

k

6

0

9

n

.j

50

2

=4,67

a) Podaj rozkład warunkowy Y|X=k oraz jego interpretacj ; b) Czy hipotetyczna liczba m czyzn, którzy

mieli 1 stłuczk jest wy sza od hipotetycznej liczby kobiet które miały 2 stłuczki? (prosz uzasadni ).

c) Czy na podstawie wyników z próby, mo na twierdzi , e kobiety prowadz ostro niej samochód?

Zad. 4. Prosz dwukrotnie wypełni poni sz tablic tak, aby: a) współczynnik Cramera równał si 0;
b)

0

)

(

)

(

)

(

2

3

2

2

2

1

=

=

=

y

S

y

S

y

S

oraz prosz poda i zinterpretowa warto wska nika korelacji cechy Y

wzgl dem cechy X, jaki musi nast pi w tym przypadku.

a)

y

j

b)

y

j

x

i

0

1

2

n

i.

x

i

0

1

2

n

i.

2

20

2

20

3

50

3

50

4

30

4

30

n

.j

20

50

30

100

n

.j

20

50

30

100

___________

Zad. 5. (egz. 2003) Badaj c zale no mi dzy wydatkami na promocje (w tys. zł) -X , a warto ci

sprzeda y (w tys. zł) -Y w losowo wybranych punktach sprzeda y pewnej sieci dystrybucji uzyskano

nast puj ce dane:

x

i

3

2

4

5

6

y

i

4

6

8

12

10

a) prosz oceni sił i kierunek korelacji liniowej pomi dzy zmiennymi je li obliczone na podstawie
próby nieobci one odchylenia standardowe wynosz :

=

)

(

ˆ x

S

1,58,

=

)

(

ˆ y

S

3,16.

b) czy badana zale no jest istotna statystycznie? (Nale y przyj poziom istotno ci 0,01 i zało y

normalno rozkładu obu zmiennych.)

Zad.6. (egz. 2003) Czy w populacji siedleckich przedsi biorstw obroty (Y w mln zł) s dodatnio

skorelowane z nakładami na informatyk (X w tys. zł), je li wiadomo, e obliczona na podstawie

wyników 18 elementowej losowej próby suma iloczynów obu zmiennych wyniosła 30700 (mln zł

*

tys.

zł), rednie obroty 19 mln zł, rednie nakłady 88 tys. zł a współczynniki zmienno ci odpowiednio 10% i

25%?.

Dodatkowe informacje: rozkład obu zmiennych jest normalny, wariancje obliczono jako realizacje

obci onych estymatorów wariancji.

___________

Dwuwymiarowa zmienna losowa oraz dwuwymiarowy rozkład empiryczny

!"

#

$%& %

& &'

Zad. 7. Dla 100 punktów gastronomicznych zbadanych ze wzgl du na dzienny utarg (X, w tys. zł) i liczb

zatrudnionych osób (Y) otrzymano wyniki:
y

j

4

6

8

10

j

x

5

7

9

10

S

j

2

(x)

2,6 2,4 2,6 3

n

.j

10 40 30 20

Oce sił zale no ci utargu wzgl dem liczby zatrudnionych.

Wykre l odpowiedni empiryczn krzyw regresji.

Jakie informacje s niezb dne by wykre li drug empiryczn krzyw

regresji?

Zad. 8. Badanie zale no ci mi dzy zdolno ciami matematycznymi (X) a ocen uzyskan na dyplomie

uko czenia studiów (Y) 100 losowo wybranych studentów SGH dostarczyło nast puj cych danych:

Poziom zdolno ci

Liczba studentów

rednia ocena uzyskana na dyplomie

słabe

20

3

rednie

50

4

du e

30

5

Wiedz c, e wariancja w próbie S

2

(y) = 0,8 prosz oceni zale no mi dzy badanymi zmiennymi.

Czy zale no ta jest istotna statystycznie?

PRACA DOMOWA

Zad. 9. Dany jest nast puj cy rozkład zmiennej dwuwymiarowej:

a) Prosz wyznaczy warto oczekiwan , wariancj

oraz kowariancj zmiennej dwuwymiarowej (X,Y);

b) Prosz wyznaczy regresj pierwszego rodzaju

zmiennej losowej Y wzgl dem zmiennej X.

Zad. 10. Je li liczebno ci brzegowe wynosz odpowiednio: dla cechy X: 30, 50, 20, dla cechy Y: 50, 30,

20, wyznaczy liczebno ci rozkładu ł cznego je li wiadomo, e V = 0.

Zad. 11. Przypuszcza si , e ryzyko rozwodu jest zwi zane z wiekiem zawarcia zwi zku mał e skiego.

Dla grupy 400 m czyzn zbadanej w roku t, którzy zawarli mał e stwo 5 lat wcze niej, uzyskano

nast puj ce dane:

wiek w momencie zawarcia mał e stwa

Stan cywilny

do 18 lat

19-25

ponad 25 lat

Rozwiedziony

100

80

20

nie rozwiedziony

80

70

50

Prosz oceni , czy ryzyko rozwodu jest zale ne od wieku w momencie zawarcia mał e stwa. Jak silna

jest badana zale no ?

Zad. 12. Badaj c zale no stawki godzinowej w zł (Y) od sta u pracy w latach (X) administratorów

danych, dla losowej próby 125 administratorów danych otrzymano nast puj ce wyniki:

y

j

0-2 3-5

6-8

9-11

j

x

46,7 76

107,4 128,6

n

.

j

15

40

35

35

=

x

95,8

S

2

(x) = 1621,3

=

y 6,2

S

2

(y) = 9,1

ij

j

i

j

i

n

y

x

= 84040

a) Jak silna jest zale no stawki godzinowej w zł (Y) od sta u pracy w latach (X)? (Prosz wyznaczy

i zinterpretowa odpowiedni miernik). Czy zale no ta jest statystycznie istotna?

b) Czy na podstawie powy szych wyników mo na powiedzie , e w populacji generalnej

administratorów danych rednia stawka za godzin ro nie wraz ze wzrostem sta u?

Zad. 13. Ranking 5 najwi kszych uczelni w Polsce w opinii pracowników i studentów tych uczelni

przedstawia si nast puj co:

uczelnia

A

B

C

D

E

pracowników

4

1

3

5

2

Ranking według

studentów

5

1

4

3

2

Na podstawie podanych informacji prosz :

a) zmierzy sił współzale no ci pomi dzy ocenami

pracowników i studentów,

b) oceni czy otrzymany wynik jest statystycznie istotny.

warto ci zmiennych

y

j

x

i

2

3

4

0,5

0

6

0,3

0

8

0,1

0,1