Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
1
ROZDZIAŁ 7
ROZKŁAD
I PARAMETRY
ROZKŁADU ZMIENNEJ
DWUWYMIAROWEJ
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
1
ROZDZIAŁ 7
ROZKŁAD
I PARAMETRY
ROZKŁADU ZMIENNEJ
DWUWYMIAROWEJ
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
2
7.1
ROZKŁAD EMPIRYCZNY I PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ
DWUWYMIAROWEJ
Zadanie 7.1.1
Zbadano 100 uczniów uczestniczących w zajęciach wyrównawczych z matematyki ze względu na
dzienny czas (w godz.) poświęcony na rozwiązywanie zadań z tego przedmiotu (zmienna X) oraz dzienny
czas (w godz.) poświecony na gry komputerowe (zmienna Y).. Uzyskane informacje zawiera poniŜsza
tablica korelacyjna:
j
x
\
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
0,5
1,5
2,5
3,5
6
12
10
2
14
6
6
4
16
2
1
1
14
0
3
3
a.
Wyznacz rozkłady brzegowe i warunkowe oraz parametry tych rozkładów dla czasu poświęconego na
rozwiązywanie zadań z matematyki oraz czasu gry na komputerze. Podaj interpretację słowną
uzyskanych wyników dla średnich brzegowych i warunkowych zmiennej X i Y.
b.
Znając średnie warunkowe zmiennej X wyznacz średnią brzegową tej zmiennej.
ROZWIĄZANIE:
dane:
j
x \
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
.
i
n
0,5
1,5
2,5
3,5
6
12
10
2
14
6
6
4
16
2
1
1
14
0
3
3
50
20
20
10
.
1
n
.
2
n
.
3
n
j
n
.
30
30
20
20
100
n
1
.
n
2
.
n
3
.
n
4
.
n
szukane:
a.
►► rozkład brzegowy zmiennej Y
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
.
i
n
j
n
.
30
30
20
20
100
parametry rozkładu
8
,
1
)
20
5
,
3
20
5
,
2
30
5
,
1
30
5
,
0
(
100
1
1
4
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
n
y
}
20
)
8
,
1
5
,
3
(
20
)
8
,
1
5
,
2
(
30
)
8
,
1
5
,
1
(
30
)
8
,
1
5
,
0
{(
100
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
.
2
2
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
y
n
Y
S
Średni czas poświęcony na rozwiązywanie zadań z matematyki w badanej grupie wynosi 1,8godz.
► rozkład zmiennej Y pod warunkiem, Ŝe zmienna X przyjmuje wartość 0,5
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
.
1
n
0,5
6
14
16
14
50
parametry rozkładu
26
,
2
)
14
5
,
3
16
5
,
2
14
5
,
1
6
5
,
0
(
50
1
1
4
1
1
1
.
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
n
y
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
3
}
14
)
26
,
2
5
,
3
(
16
)
26
,
2
5
,
2
(
14
)
26
,
2
5
,
1
(
6
)
26
,
2
5
,
0
{(
60
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
1
2
1
.
1
2
1
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
y
n
Y
S
W grupie osób, które poświęcają dziennie 0,5godz. na grę na komputerze równocześnie przeciętnie
2,26godz. przeznaczają na rozwiązywanie zadań z matematyki.
► rozkład zmiennej Y pod warunkiem, Ŝe zmienna X przyjmuje wartość 1,5
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
.
2
n
1,5
12
6
2
0
20
parametry rozkładu
0
,
1
)
0
5
,
3
2
5
,
2
6
5
,
1
12
5
,
0
(
20
1
1
4
1
2
2
.
2
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
n
y
}
0
)
0
,
1
5
,
3
(
2
)
0
,
1
5
,
2
(
6
)
0
,
1
5
,
1
(
12
)
0
,
1
5
,
0
{(
60
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
2
2
2
.
2
2
2
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
y
n
Y
S
Średni dzienny czas rozwiązywania zadań z matematyki w grupie osób, które poświęcają dziennie
1,5godz.na grę na komputerze wynosi 1,0godz.
► rozkład zmiennej Y pod warunkiem, Ŝe zmienna X przyjmuje wartość 2,5
j
x \
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
.
i
n
2,5
10
6
1
3
20
parametry rozkładu
35
,
1
)
3
5
,
3
1
5
,
2
6
5
,
1
10
5
,
0
(
20
1
1
4
1
3
3
.
3
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
n
y
}
3
)
35
,
1
5
,
3
(
1
)
35
,
1
5
,
2
(
6
)
35
,
1
5
,
1
(
10
)
35
,
1
5
,
0
{(
20
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
3
2
3
.
3
2
3
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
y
n
Y
S
W zbiorowości osób, które przeznaczają dziennie 2,5godz. na grę na komputerze średni dzienny czas
rozwiązywania zadań z matematyki wynosi 1,35godz.
► rozkład zmiennej Y pod warunkiem, Ŝe zmienna X przyjmuje wartość 3,5
j
x \
i
y
0,5
1,5
2,5
3,5
.
i
n
3,5
2
4
1
3
10
parametry rozkładu
0
,
2
)
3
5
,
3
1
5
,
2
4
5
,
1
2
5
,
0
(
10
1
1
4
1
4
4
.
4
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
n
y
}
3
)
0
,
2
5
,
3
(
1
)
0
,
2
5
,
2
(
4
)
0
,
2
5
,
1
(
2
)
0
,
2
5
,
0
{(
10
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
4
2
4
.
4
2
4
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
i
j
i
n
y
y
n
Y
S
Przeciętny dzienny czas poświęcony na rozwiązywanie zadań z matematyki wynosi 2godz. i dotyczy on
tej grupy osób, które przeznaczają 3,5godz. na grę na komputerze.
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
4
►► rozkład brzegowy zmiennej X
j
x \
i
y
.
i
n
0,5
1,5
2,5
3,5
50
20
20
10
j
n
.
100
parametry rozkładu
4
,
1
)
10
5
,
3
20
5
,
2
20
5
,
1
50
5
,
0
(
100
1
1
4
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
n
x
}
10
)
4
,
1
5
,
3
(
20
)
4
,
1
5
,
2
(
20
)
4
,
1
5
,
1
(
50
)
4
,
1
5
,
0
{(
100
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
.
2
2
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
y
x
n
X
S
Przeciętny dzienny czas poświęcony na grę na komputerze w badanej grupie wynosi 1,4godz.
► rozkład zmiennej X pod warunkiem, Ŝe zmienna Y przyjmuje wartość 0,5
j
x \
i
y
0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
6
12
10
2
j
n
.
30
parametry rozkładu
77
,
1
)
2
5
,
3
10
5
,
2
12
5
,
1
6
5
,
0
(
30
1
1
4
1
1
.
1
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
n
x
}
2
)
77
,
1
5
,
3
(
10
)
77
,
1
5
,
2
(
12
)
77
,
1
5
,
1
(
6
)
77
,
1
5
,
0
{(
30
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
1
2
1
1
.
2
1
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
x
n
X
S
Średnio dzienni 1,77godz. poświęcają czasu na grę na komputerze te osoby, które przez 0,5godz.
rozwiązują zadania z matematyki.
► rozkład zmiennej X pod warunkiem, Ŝe zmienna Y przyjmuje wartość 1,5
j
x \
i
y
1,5
0,5
1,5
2,5
3,5
14
6
6
4
j
n
.
30
parametry rozkładu
50
,
1
)
4
5
,
3
6
5
,
2
6
5
,
1
14
5
,
0
(
30
1
1
4
1
2
.
2
2
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
n
x
}
4
)
5
,
1
5
,
3
(
6
)
5
,
1
5
,
2
(
6
)
5
,
1
5
,
1
(
14
)
5
,
1
5
,
0
{(
30
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
2
2
2
2
.
2
2
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
x
n
X
S
Ta grupa osób, która dziennie poświęca 1,5godz. na rozwiązywanie zadań z matematyki średnio dziennie
1,5godz. gra równieŜ na komputerze.
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
5
► rozkład zmiennej X pod warunkiem, Ŝe zmienna Y przyjmuje wartość 2,5
j
x \
i
y
2,5
0,5
1,5
2,5
3,5
16
2
1
1
j
n
.
20
parametry rozkładu
85
,
0
)
1
5
,
3
1
5
,
2
2
5
,
1
16
5
,
0
(
20
1
1
4
1
3
.
3
3
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
n
x
}
1
)
85
,
0
5
,
3
(
1
)
85
,
0
5
,
2
(
2
)
85
,
0
5
,
1
(
16
)
85
,
0
5
,
0
{(
20
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
3
2
3
3
.
2
3
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
x
n
X
S
Przeciętny dzienny czas poświęcony na grę na komputerze wynosi 0,86godz. w przypadku osób, które
dziennie przez 2,5godz.rozwiązują zadania z matematyki.
► rozkład zmiennej X pod warunkiem, Ŝe zmienna Y przyjmuje wartość 3,5
j
x \
i
y
3,5
0,5
1,5
2,5
3,5
14
0
3
3
j
n
.
20
parametry rozkładu
25
,
1
)
3
5
,
3
3
5
,
2
0
5
,
1
14
5
,
0
(
20
1
1
4
1
4
.
4
4
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
i
i
i
n
x
n
x
}
3
)
25
,
1
5
,
3
(
3
)
25
,
1
5
,
2
(
0
)
25
,
1
5
,
1
(
14
)
25
,
1
5
,
0
{(
20
1
)
(
1
)
(
2
4
1
2
2
2
4
2
4
4
.
2
4
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
∑
=
j
i
j
n
x
x
n
X
S
W zbiorowości osób, gdzie dzienny czas przeznaczony na rozwiązywanie zadań z matematyki wynosi
3,5godz, średni dzienny czas przeznaczony na grę na komputerze to 1,25godz.
b.
i
x
.
i
n
1,77
50
1,50
20
0,85
20
1,25
10
∑
100
4
,
1
)
10
25
,
1
20
85
,
0
20
50
,
1
50
77
,
1
(
100
1
1
4
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
i
i
i
n
x
n
x
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
6
7.2
ROZKŁAD
I
PARAMETRY
ROZKŁADU
ZMIENEJ
LOSOWEJ
DWUWYMIAROWEJ
7.2.1 ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA
Zadanie 7.2.1
W grze "POKO" polegającej na oddaniu jednego strzału do tarczy strzelniczej (liczba punktów moŜliwa
do zdobycia - od 0 do 5) z odległości 10 m. oraz jednego rzutu do kosza z odległości 15 m. (liczba
moŜliwych punktów do zdobycia: trafienie do kosza - 1 punkt, nie trafienie do kosza - 0 punktów)
ustalono, Ŝe do dalszej rozgrywki przechodzi ten zawodnik, który zdobędzie łącznie parzystą liczbę
punktów. Wygrywa natomiast ten zawodnik, którego uzyskany wynik punktowy w grze finałowej jest
podzielny przez 3. Wyznacz rozkład łączny obu zmiennych oraz prawdopodobieństwo przejścia do
dalszej fazy kwalifikacji oraz prawdopodobieństwo wygranej w tej grze. Zakładamy, Ŝe wynik punktowy
równy O jest liczbą nieparzystą.
ROZWIĄZANIE:
dane:
zmienna losowa X – liczba punktów moŜliwa do zdobycia po oddaniu jednego strzału do tarczy
strzelniczej {0; 1; 2; 3; 4; 5}
zmienna losowa Y – liczba punktów moŜliwa do zdobycia po oddaniu jednego rzutu do kosza{0; 1}
szukane:
zbiór zdarzeń elementarnych -
Ω
= {(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0;3), (0; 4), (0; 5), (1; 0), (1; 1), (1; 2), (1; 3),
(1; 4), (1;5)}
a.
rozkład brzegowy zmiennej losowej X:
{
}
)
0
;
1
(
),
0
;
0
(
1
=
ω
P X
(
)
=
=
0
2
12
{
}
)
2
;
1
(
),
2
;
0
(
3
=
ω
P X
(
)
=
=
2
2
12
{
}
)
4
;
1
(
),
4
;
0
(
5
=
ω
P X
(
)
=
=
4
2
12
{
}
)
1
;
1
(
),
1
;
0
(
2
=
ω
P X
(
)
= =
1
2
12
{
}
)
3
;
1
(
),
3
;
0
(
4
=
ω
P X
(
)
=
=
4
2
12
{
}
)
5
;
1
(
),
5
;
0
(
6
=
ω
P X
(
)
= =
5
2
12
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y:
{
}
)
5
;
0
(
),
4
;
0
(
),
3
;
0
(
),
2
;
0
(
),
1
;
0
(
),
0
;
0
(
7
=
ω
P Y
(
)
,
=
=
=
0
6
12
0 5
{
}
)
5
;
1
(
),
4
;
1
(
),
3
;
1
(
),
2
;
1
(
),
1
;
1
(
),
0
;
1
(
8
=
ω
P Y
(
)
,
=
=
=
0
6
12
0 5
rozkład warunkowy zmiennej losowe Y:
{ }
)
0
;
0
(
1
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
0
0
1
12
{ }
)
1
;
0
(
3
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
= =
0
1
1
12
{
}
)
2
;
0
(
5
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
0
2
1
12
{ }
)
3
;
0
(
7
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
0
3
1
12
{
}
)
4
;
0
(
9
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
0
4
1
12
{ }
)
5
;
0
(
11
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
= =
0
5
1
12
{ }
)
0
;
1
(
2
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
1
0
1
12
{ }
)
1
;
1
(
4
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
= =
1
1
1
12
{ }
)
2
;
1
(
6
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
1
2
1
12
{ }
)
3
;
1
(
8
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
1
3
1
12
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
7
{ }
)
4
;
1
(
10
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
=
=
1
4
1
12
{ }
)
5
;
1
(
12
=
ω
P Y
X
(
;
)
=
= =
1
5
1
12
rozkład zmiennej losowej XY - tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
0
1
2
3
4
5
Σ
0
1
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
1:12
0,5
0,5
Σ
2:12
2:12
2:12
2:12
2:12
2:12
1,0
b.
zbiór zdarzeń elementarnych -
Ω
= {(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0;3), (0; 4), (0; 5), (1; 0), (1; 1), (1; 2), (1; 3),
(1; 4), (1;5)}
► zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających dla przejścia kwalifikacji -
Ω
p
= {(0; 2), (0; 4), (1; 1), (1; 3)
(1; 5)}
n - liczba moŜliwych zdarzeń = 12;
p - liczba zdarzeń sprzyjających = 5;
prawdopodobieństwo przejścia kwalifikacji:
12
5
)
(
=
=
=
m
p
wygrana
Z
P
► zbiór zdarzeń sprzyjających dla wygranej -
Ω
s
= {(1;5)}
n - liczba moŜliwych zdarzeń = 12;
s - liczba zdarzeń sprzyjających = 1;
prawdopodobieństwo wygranej w grze:
12
1
)
(
=
=
=
m
s
wygrana
Z
P
Zadanie 7.2.2
W doświadczeniu polegającym na dwukrotnym rzucie kostką do gry dwuwymiarowa zmienna losowa
XY została następująco określona:
zmienna losowa X przyjmuje wartość:
1 - jeśli liczba oczek w pierwszym rzucie jest podzielna przez 3;
0 - jeśli liczba oczek w pierwszym rzucie nie jest podzielna przez 3.
zmienna losowa Y:przyjmuje wartość:
1 - jeśli łączna suma oczek w obu rzutach podzielna jest przez 3;
0 - jeśli łączna liczba oczek w obu rzutach nie jest podzielna przez 3.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej XY oraz sprawdzić, czy w badanej próbie zmienne XY są niezaleŜne
stochastycznie. Wyznacz wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej X oraz Y.
ROZWIĄZANIE:
dane:
zmienna losowa X - liczba oczek na ściankach kostki {1; 2; 3; 4; 5; 6}
zmienna losowa Y - liczba oczek na ściankach kostki {1; 2; 3; 4; 5; 6}
a.
zbiór zdarzeń elementarnych:
Ω
= {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1) (3; 2), (3; 3),
(3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6),
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
8
rozkład brzegowy zmiennej losowej X:
P X
(
)
= =
1
12
36
bo
ω
1
=
{(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4),
(6; 5), (6; 6)}
P X
(
)
=
=
0
24
36
ω
2
=
{(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4),
(2; 5), (2; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3),
(5; 4), (5; 5), (5; 6)}
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y:
P Y
(
)
= =
1
12
36
ω
3
=
{(1; 2), (1; 5), (2; 1), (2; 4), (3; 3), (3; 6), (4; 2), (4; 5), (5; 1), (5; 4),
(6; 3), (6; 6)}
P Y
(
)
=
=
0
24
36
ω
4
=
{(1; 1), (1; 3), (1; 4), (1; 6), (2; 2), (2; 3), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2),
(3; 4), (3; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 4), (4; 6), (5; 2), (5; 3), (5; 5), (5; 6), (6; 1),
(6; 2), (6; 4), (6; 5)}
rozkład warunkowy zmiennej losowej X:
P X
Y
(
,
)
=
= =
1
1
4
36
ω
1
=
{(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
1
0
8
36
ω
2
=
{(3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 4), (6, 5)}
P X
Y
(
,
)
=
= =
0
1
8
36
ω
3
=
{(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
0
0
16
36
ω
4
=
{(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 3),
(4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (5, 6)}
rozkład zmiennej losowej XY - tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
0
1
Σ
0
1
16:36
8: 36
8:36
4:36
24:36
12:36
Σ
24:36
12:36
1,0
b.
warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych:
i, j p
p p
i, j
i.
.j
∧
=
⋅
p
p
p
11
1
1
24
36
24
36
16
36
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
12
1
2
24
36
12
36
8
36
=
⋅
=
⋅
=
.
.
p
p
p
21
2
1
12
36
24
36
8
36
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
22
2
2
12
36
12
36
4
36
=
⋅
=
⋅
=
.
.
PoniewaŜ prawdopodobieństwa rozkładu łącznego (por. tablica korelacyjna) są identyczne jak
wyznaczone z warunku niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych oznacza to, Ŝe zmienna X jest
niezaleŜna stochastycznie od zmiennej Y jak równieŜ zmienna Y od zmiennej X.
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
9
c.
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y
j
y
\
i
x
……….
………
Σ
∑
=
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
2
1
.
36
12
36
12
1
36
24
0
)
(
i
i
j
p
y
Y
E
0
1
……….
……….
……….
……….
24:36
12:36
Σ
……….
……….
1,0
rozkład brzegowy zmiennej losowej X
j
y
\
i
x
0
1
Σ
∑
=
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
2
1
.
36
12
36
12
1
36
24
0
)
(
i
j
i
p
x
X
E
……..
……..
……….
……….
……….
……….
………
………
Σ
24:36
12:36
1,0
Zadanie 7.2.3
W pewnym klubie sportowym przeprowadzono nabór kandydatów do sekcji piłki noŜnej. Ustalono, Ŝe
przyjęta zostanie ta osoba, która przebiegnie dystans 100 m. w czasie poniŜej 8s. oraz bezpośrednio po
biegu, na 10 strzałów na bramkę do piłki ręcznej z odległości 20 m., przynajmniej 8 będzie oddanych w
„światło” bramki. Wyznacz rozkład obu zmiennych oraz szanse dostania się do klubu potencjalnego
kandydata. Sprawdź, czy istnieje zaleŜność stochastyczna między czasem biegania tego dystansu poniŜej
8s. a liczą celnych strzałów w „światło” bramki. Wyznacz parametry rozkładu brzegowego oraz
rozkładów warunkowych dla zmiennej losowej X.
ROZWIĄZANIE:
dane:
zmienna losowa X – czas przebiegnięcia dystansu 100 m.:
przyjmuje wartość 0, jeŜeli kandydat uzyskał czas poniŜej 8s.;
przyjmuje wartość 1, jeŜeli kandydat uzyskał czas powyŜej 8s.
zmienna losowa Y – liczba oddanych strzałów na bramkę:
:
przyjmuje wartość 1, jeŜeli liczba poprawnie dobrych strzałów na bramkę
wynosi 8, 9 lub 10;
przyjmuje wartość 0 - w pozostałych przypadkach
a.
rozkład brzegowy zmiennej losowej X:
P X
(
)
=
=
0
11
22
bo
ω
1
=
(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (0; 5), (0; 6), (0; 7), (0; 8), (0; 9),
(0; 10)}
P X
(
)
= =
1
11
22
ω
2
=
{(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (0; 5), (0; 6), (0; 7), (0; 8), (0; 9),
(0; 10)}
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y:
P Y
(
)
=
=
0
16
22
ω
3
=
{(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (0; 5), (0; 6), (0; 7), (1; 0), (1; 1),
(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (1; 7)}
P Y
(
)
= =
1
6
22
ω
4
=
{(0; 8), (0; 9), (0; 10), (1; 8), (1; 9), (1; 10)}
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
10
rozkład warunkowy zmiennej losowej X
P X
Y
(
,
)
=
= =
1
1
3
22
ω
4
=
{(1; 8), (1; 9), (1; 10)}
22
3
)
1
,
0
(
=
=
=
Y
X
P
ω
2
=
{(0; 8), (0; 9), (0; 10)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
0
0
8
22
ω
1
=
{(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (0; 5), (0; 6), (0; 7)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
1
0
8
22
ω
3
=
{(1; 0), (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (1; 7)}
rozkład zmiennej losowej XY - tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
0
1
Σ
0
1
22
8
22
8
22
3
22
3
22
11
22
11
Σ
22
16
22
6
1,0
b.
zbiór zdarzeń elementarnych:
Ω
= {(0; 0), (0; 1), (0; 2), (0; 3), (0; 4), (0; 5), (0; 6), (0; 7), (0; 8), (0; 9), (0; 10), (1; 0), (1; 1),(1; 2),
(1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (1; 7), (1; 8), (1; 9), (1; 10)}
zbiór zdarzeń sprzyjających:
Ω
s = {(0; 8), (0; 9), (0; 10)}
n - liczba moŜliwych zdarzeń = 22;
s - liczba zdarzeń sprzyjających = 3.
prawdopodobieństwo dostania się do klubu:
22
3
)
(
=
=
=
n
s
Z
X
P
c.
warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych:
i, j p
p p
i, j
i.
.j
∧
=
⋅
p
p
p
11
1
1
16
22
11
22
8
22
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
12
1
2
16
22
11
22
8
22
=
⋅
=
⋅
=
.
.
p
p
p
21
2
1
6
22
11
22
3
22
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
22
2
2
6
22
11
22
3
22
=
⋅
=
⋅
=
.
.
PoniewaŜ prawdopodobieństwa rozkładu łącznego (por. tablica korelacyjna) są identyczne jak
wyznaczone z warunku niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych oznacza to, Ŝe zmienna X jest
niezaleŜna stochastycznie od zmiennej Y jak równieŜ zmienna Y od zmiennej X.
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
11
d.
rozkład brzegowy zmiennej losowej X
j
y
\
i
x
0
1
Σ
∑
=
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
2
1
.
22
6
22
6
1
22
16
0
)
(
i
j
i
p
x
X
E
………
………
………
………
………
………
………
………
Σ
22
16
22
6
1,0
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=0
j
y
\
i
x
0
1
Σ
∑
=
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
2
1
1
.
1
1
22
6
)
22
3
1
22
8
0
(
11
22
1
)
(
i
j
i
p
x
p
X
E
0
………
22
8
……..
22
3
……..
22
11
……….
Σ
……...
………
………..
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=1
j
y
\
i
x
0
1
Σ
∑
=
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
2
1
2
.
2
2
22
6
)
22
3
1
22
8
0
(
11
22
1
)
(
i
j
i
p
x
p
X
E
………
1
………
22
8
………
22
3
…….
22
11
Σ
……...
………
………..
Zadanie 7.2.4
Wśród studentów pewnej uczelni ekonomicznej przeprowadzono ankietę dotyczącą ich zainteresowania
problemami ekonomicznymi. Oceny dokonywano na podstawie dziennego czasu czytania prasy oraz
tygodniowej liczby oglądanych programów publicystycznych na ten temat. Uznano, Ŝe potencjalny
student jest zainteresowany daną problematyką, jeŜeli czyta dzienną prasę oraz ogląda tygodniowo co
najmniej 2 programy publicystyczne o tematyce ekonomicznej. Wyznacz rozkład łączny obu zmiennych.
Oblicz parametry rozkładów brzegowych zmiennej X i Y oraz parametry rozkładów warunkowych dla
zmiennej losowej Y.
ROZWIĄZANIE:
dane:
zmienna losowa X – dzienny czas czytania prasy:
przyjmuje wartość 0, jeŜeli osoba nie czyta prasy
przyjmuje wartość 1, jeŜeli osoba czyta prasę.
zmienna losowa Y – tygodniowa liczba oglądanych programów publicystycznych:
przyjmuje wartość 0, jeŜeli liczba oglądanych programów wynosi 0
przyjmuje wartość 1, jeŜeli liczba oglądanych programów wynosi 1
przyjmuje wartość 2, jeŜeli liczba oglądanych programów wynosi 2
szukane:
a.
zbiór zdarzeń elementarnych:
Ω
={(0; 0), (0; 1), (0; 2), (1; 0), (1; 1), (1; 2)}
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
12
rozkład brzegowy zmiennej losowej X::
P X
(
)
=
=
0
3
6
bo
ω
1
=
{(0; 0), (0; 1), (0; 2)}
P X
(
)
= =
1
3
6
ω
2
=
{(1; 0), (1; 1), (1; 2)}
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y::
P Y
(
)
=
=
0
2
6
ω
3
=
{(0; 0), (1; 2)}
P Y
(
)
= =
1
2
6
ω
4
=
{(0; 1), (1; 2)}
P Y
(
)
=
=
2
2
6
ω
5
=
{(0; 2), (1; 2)}
rozkład warunkowy zmiennej losowej X:
P X
Y
(
,
)
=
=
=
0
0
1
6
bo
ω
1
=
{(0; 0)}
P X
Y
(
,
)
=
= =
0
1
1
6
ω
2
=
{(0; 1)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
0
2
1
6
ω
3
=
{(0; 2)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
1
0
1
6
ω
4
=
{(1; 0)}
P X
Y
(
,
)
=
= =
1
1
1
6
ω
5
=
{(1; 1)}
P X
Y
(
,
)
=
=
=
1
2
1
6
ω
6
=
{(1; 2)}
rozkład łączny zmiennej losowej XY - tablica korelacyjna:
j
x
\
i
y
0
1
2
∑
0
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
3
6
3
∑
6
2
6
2
6
2
1,0
b.
rozkład brzegowy zmiennej losowej X
j
x
\
i
y
……..
……..
……..
∑
5
,
0
6
3
1
6
3
0
)
(
1
.
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
=
k
i
i
j
p
x
X
E
0
1
……..
……..
……..
……..
……..
……..
6
3
6
3
∑
……..
……..
……..
1,0
25
,
0
6
3
6
3
1
6
3
6
3
0
)]
(
[
)
(
2
2
1
.
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
i
j
p
X
E
x
X
D
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
13
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y
j
x
\
i
y
0
1
2
∑
0
,
1
6
2
2
6
2
1
6
2
0
)
(
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
=
k
i
j
i
p
y
Y
E
…….
…….
…….
…….
…….
…….
…….
…….
…….
…….
∑
6
2
6
2
6
2
1,0
(
)
( )
(
)
6
4
6
2
1
2
6
2
1
1
6
2
1
0
)]
(
[
)
(
2
2
2
1
.
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
j
i
p
Y
E
y
Y
D
c.
rozkład warunkowy dla zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=0
j
x
\
i
y
0
1
2
∑
0
………
6
1
………
6
1
………
6
1
………
6
3
………
∑
………
………
………
………
0
,
1
)
6
1
2
6
1
1
6
1
0
(
3
6
1
)
(
1
1
.
1
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
k
i
j
i
p
y
p
Y
E
(
)
( )
(
)
6
4
)
6
1
1
2
6
1
1
1
6
1
1
0
(
3
6
)]
(
[
1
)
(
2
2
2
1
1
2
1
.
1
2
1
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
j
i
p
Y
E
y
p
Y
D
rozkład warunkowy dla zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=1
j
x
\
i
y
0
1
2
∑
………
1
………
6
1
………
6
1
………
6
1
………
6
3
∑
………
………
………
………
0
,
1
)
6
1
2
6
1
1
6
1
0
(
3
6
1
)
(
1
2
.
2
2
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
∑
=
k
i
j
i
p
y
p
Y
E
(
)
( )
(
)
6
4
)
6
1
1
2
6
1
1
1
6
1
1
0
(
3
6
)]
(
[
1
)
(
2
2
2
1
2
2
2
.
2
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
j
i
p
Y
E
y
p
Y
D
Zadanie 7.2.5
W jednym z barów szybkiej obsługi na podstawie n-elementowej próby stwierdzono, iŜ liczbę
zamawianych hamburgerów (X) oraz liczbę zamawianych paczek z frytkami przez klientów moŜna
przedstawić w następującej tablicy prawdopodobieństwa:
j
y
\
i
x
2
4
6
2
4
0,2
0,1
0,2
0,2
0,1
0,2
Sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są stochastycznie niezaleŜne. Wyznacz wartość oczekiwaną dla
zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=4.
ROZWIĄZANIE:
dane:
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
14
tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
2
4
6
∑
2
4
0,2
0,1
0,2
0,2
0,1
0,2
0,5
0,5
∑
0,3
0,4
0,3
1,0
szukane:
a.
warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych:
i, j p
p p
i, j
i.
.j
∧
=
⋅
p
p
p
11
1
1
0 3 0 5
0 15
=
⋅
=
⋅
=
.
.
,
,
,
;
p
p
p
12
1
2
0 4 0 5
0 20
=
⋅
=
⋅
=
.
.
,
,
,
p
p
p
21
2
1
0 3 0 5
0 15
=
⋅
=
⋅
=
.
.
,
,
,
;
p
p
p
22
2
2
0 4 0 5
0 20
=
⋅
=
⋅
=
.
.
,
,
,
PoniewaŜ prawdopodobieństwa rozkładu łącznego (por. tablica korelacyjna) są identyczne jak
wyznaczone z warunku niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych oznacza to, Ŝe zmienna X jest
niezaleŜna stochastycznie od zmiennej Y jak równieŜ zmienna Y od zmiennej X.
b.
rozkład zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=4
Y=4
\
i
x
2
4
6
∑
4
0,1
0,2
0,2
0,5
4
,
4
)
2
,
0
6
2
,
0
4
1
,
0
2
(
5
10
1
)
4
/
(
1
1
.
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
k
i
j
i
p
x
p
Y
X
E
Zadanie 7.2.6
W Instytucie Badań Nuklearnych przeprowadzono badanie stopnia elastyczności pewnego materiału
(zmienna X) w zaleŜności od temperatury (w stopniach C) (zmienna Y) i dla n-elementowej próby
losowej uzyskano następujący rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ZY:
j
y
\
i
x
-5
5
10
-5
-10
1/32
3/32
4/32
12/32
3/32
9/32
Sprawdź, czy elastyczność materiału zaleŜy stochastycznie od temperatury oraz wyznacz wartość
oczekiwaną i wariancję dla rozkładów brzegowych i warunkowych zmiennej X oraz Z.
ROZWIĄZANIE:
dane:
tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
-5
5
10
∑
-5
-10
1/32
3/32
4/32
12/32
3/32
9/32
8/32
24/32
∑
4/32
16/32
12/32
1,0
a. warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych:
i, j p
p p
i, j
i.
.j
∧
=
⋅
p
p
p
11
1
1
4
32
8
32
1
32
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
12
1
2
16
32
8
32
2
32
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
15
p
p
p
13
1
3
12
32
8
32
3
32
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
21
2
1
4
32
24
32
3
32
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
22
2
2
16
32
24
32
12
32
=
⋅
=
⋅
=
.
.
;
p
p
p
23
2
3
12
32
24
32
9
32
=
⋅
=
⋅
=
.
.
.
PoniewaŜ prawdopodobieństwa rozkładu łącznego (por. tablica korelacyjna) są identyczne jak
wyznaczone z warunku niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych oznacza to, Ŝe zmienna X jest
niezaleŜna stochastycznie od zmiennej Y jak równieŜ zmienna Y od zmiennej X.
c.
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y
j
y
\
i
x
∑
75
,
8
32
24
)
10
(
32
8
)
5
(
)
(
2
1
.
=
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
=
∑
=
i
i
i
p
y
Y
E
(
)
(
)
7
,
4
32
24
75
,
8
10
32
8
75
,
8
5
)]
(
[
)
(
2
2
1
.
2
2
=
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
i
j
p
Y
E
y
Y
D
-5
-10
8/32
24/32
∑
1,0
rozkład brzegowy zmiennej losowej X
j
y
\
i
x
-5
5
10
∑
∑
4/32
16/32
12/32
1,0
6
,
5
32
12
10
32
16
5
32
4
)
5
(
)
(
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
⋅
=
∑
=
k
i
j
i
p
x
X
E
(
)
(
)
(
)
5
,
11
32
12
6
,
5
10
32
16
6
,
5
5
32
4
6
,
5
5
)]
(
[
)
(
2
2
2
1
.
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
−
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
j
i
p
X
E
x
X
D
rozkładów warunkowych zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=-5:
j
y
\
i
x
-5
9
)
32
3
)
10
(
32
1
)
5
((
4
32
1
)
5
|
(
2
1
1
1
.
−
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
=
−
=
∑
=
j
i
j
p
y
p
X
Y
E
4
32
3
)
9
10
(
32
1
)
9
5
(
4
32
)
(
(
1
)
5
|
(
2
2
2
1
1
1
.
2
=
⋅
+
−
+
⋅
+
−
=
⋅
−
=
−
∑
=
j
i
j
p
p
Y
E
y
p
X
Y
D
-5
-10
1/32
3/32
∑
4/32
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=5
j
y
\
i
x
5
9
)
32
12
)
10
(
32
4
)
5
((
16
32
1
)
5
|
(
2
1
2
2
.
−
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
i
j
p
y
p
X
Y
E
5
)
32
12
)
9
10
(
32
4
)
9
5
(
(
16
32
)
(
(
1
)
5
|
(
2
2
2
1
2
2
.
2
=
⋅
+
−
+
⋅
+
−
⋅
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
i
j
p
Y
E
y
p
X
Y
D
-5
-10
4/32
12/32
∑
16/32
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=10
j
y
\
i
x
10
9
)
32
9
)
10
(
32
3
)
5
((
12
32
1
)
10
|
(
2
1
3
3
.
−
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
i
j
p
y
p
X
Y
E
)
32
9
)
9
10
(
32
3
)
9
5
(
(
12
32
)
(
(
1
)
10
|
(
2
2
2
1
3
3
.
2
=
⋅
+
−
+
⋅
+
−
⋅
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
i
j
p
Y
E
y
p
X
Y
D
-5
-10
3/32
9/32
∑
12/32
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
16
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=-5:
j
y
\
i
x
-5
5
10
∑
-5
1/32
4/32
3/32
8/32
8
45
)
32
3
10
32
4
5
32
1
)
5
(
(
8
32
1
)
5
|
(
3
1
1
.
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
=
−
=
∑
=
i
j
i
p
x
p
Y
X
E
4
)
32
3
)
8
45
10
(
32
4
)
8
45
5
(
32
1
)
8
45
5
(
(
8
32
)
(
(
1
)
5
|
(
2
2
2
3
1
1
.
1
2
=
⋅
−
−
+
⋅
−
+
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
=
−
=
∑
=
j
j
i
p
X
E
x
p
Y
X
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=-10
j
y
\
i
x
-5
5
10
∑
-10
3/32
12/32
9/32
24/32
6
)
32
9
10
32
12
5
32
3
)
5
(
(
24
32
1
)
10
|
(
3
1
2
.
2
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
=
−
=
∑
=
i
j
i
p
x
p
Y
X
E
3
,
1
)
32
9
)
6
10
(
32
12
)
6
5
(
32
3
)
6
5
((
24
32
)
(
(
1
)
10
|
(
2
2
2
3
1
2
.
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
=
−
=
∑
=
j
j
i
p
X
E
x
p
Y
X
D
Zadanie 7.2.7
Znane są 3 rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oznaczającej oceny z egzaminu ze
statystyki:
x
i
2
3
4
5
x
i
2
3
4
5
P X
x Y
i
(
|
)
=
=
3
0,2 0,6 0,2 0,0
P X
x Y
i
(
|
)
=
=
4
0,0 0,5 0,5 0,0
x
i
2
3
4
5
P X
x Y
i
(
|
)
=
=
5
0,0 0,0 0,0 1,0
Wiedząc, Ŝe rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y - oznaczającej oceny uzyskane na
zaliczeniu ćwiczeń z tego przedmiotu jest następujący:
y
j
3
4
5
P Y
y
j
(
)
=
0,5 0,4 0,1
określ rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej XY oraz wyznacz parametry rozkładu brzegowego
i rozkładów warunkowych dla zmiennej losowej X oraz Y.
ROZWIĄZANIE:
dane:
rozkłady warunkowe zmiennej losowej X:
x
i
P X
x Y
p
i
i
(
|
)
=
= =
3
1
P X
x Y
p
i
i
(
|
)
=
=
=
4
2
P X
x Y
p
i
i
(
|
)
=
= =
5
3
2
3
4
5
p
11
0 2
=
,
p
21
0 6
=
,
p
31
0 2
=
,
p
41
0 0
=
,
p
12
0 0
=
,
p
22
0 5
=
,
p
32
0 5
=
,
p
42
0 0
=
,
p
13
0 0
=
,
p
23
0 0
=
,
p
33
0 0
=
,
p
43
1 0
=
,
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
17
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y:
y
j
P Y
y
p
j
j
(
)
.
=
=
3
4
5
p
.
,
1
0 5
=
p
.
,
2
0 4
=
p
.
,
3
0 1
=
szukane:
a. P X
x Y
y
P XY
P Y
y
i
i
i
(
|
)
(
)
(
)
=
=
=
=
→
P XY
P X
x Y
y
P Y
y
i
i
i
(
)
(
|
)
(
)
=
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
1
1
1
1
1
0 2 0 5
0 1
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
1
2
1
2
2
0 0 0 4
0 0
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
1
3
1
3
3
0 0 0 1
0 0
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
2
1
2
1
1
0 6 0 5
0 3
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
2
2
2
2
2
0 5 0 4
0 2
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
2
3
2
3
3
0 0 0 1
0 0
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
3
1
3
1
1
0 2 0 5
0 1
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
3
2
3
2
2
0 5 0 4
0 2
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
3
3
3
3
3
0 0 0 1
0 0
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
4
1
4
1
1
0 0 0 5
0 0
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
4
2
4
2
2
0 0 0 4
0 0
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
P x y
P X
x Y
y
P Y
y
(
;
)
(
|
)
(
)
,
,
,
4
3
4
3
3
1 0 0 1
0 1
=
=
=
⋅
=
=
⋅
=
rozkład zmiennej losowej XY - tablica korelacyjna:
j
x
\
i
y
3
4
5
∑
2
3
4
5
0,1
0,3
0,1
0.0
0,0
0,2
0,2
0,0
0,0
0,0
0,0
0,1
0,1
0,5
0,3
0,1
∑
0,5
0,4
0,1
1,0
c.
rozkład brzegowy zmiennej losowej X:
j
x
\
i
y
∑
4
,
3
5
,
0
2
,
1
5
,
1
2
,
0
1
,
0
5
3
,
0
4
5
,
0
3
1
,
0
2
)
(
1
.
=
+
+
+
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
=
k
i
i
j
p
x
X
E
64
,
0
256
,
0
108
,
0
08
,
0
196
,
0
)]
(
[
)
(
1
.
2
2
=
+
+
+
=
⋅
−
=
∑
=
k
i
i
i
p
X
E
x
X
D
2
3
4
5
0,1
0,5
0,3
0,1
∑
1,0
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
18
rozkład brzegowy zmiennej losowej Y:
j
x
\
i
y
3
4
5
∑
∑
0,5
0,4
0,1
1,0
6
,
3
1
,
0
5
4
,
0
4
5
,
0
5
)
(
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
∑
=
k
i
j
i
p
y
Y
E
44
,
0
6
,
3
1
,
0
5
4
,
0
4
5
,
0
3
)
(
)
(
)]
(
[
)
(
2
2
2
2
2
2
1
.
2
2
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
=
⋅
−
=
∑
=
Y
E
Y
E
p
Y
E
y
Y
D
k
i
j
i
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=3:
j
x
\
i
y
3
3
)
0
,
0
5
1
,
0
4
3
,
0
3
1
,
0
2
(
1
2
1
)
3
|
(
4
1
1
1
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
i
j
p
x
p
Y
X
E
2
3
4
5
0,1
0,3
0,1
0.0
∑
0,5
2
,
2
)
0
,
0
)
1
5
(
1
,
0
)
1
4
(
3
,
0
)
1
3
(
1
,
0
)
1
2
((
2
))
(
(
1
)
3
|
(
2
2
2
2
4
1
1
2
1
.
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
i
j
p
X
E
x
p
Y
X
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=4
j
x
\
i
y
4
5
)
1
,
0
5
2
,
0
4
2
,
0
3
0
,
0
2
(
4
10
1
)
4
|
(
4
1
2
2
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
i
j
p
x
p
Y
X
E
2
3
4
5
0,0
0,2
0,2
0,0
∑
0,4
5
,
2
1
,
0
)
5
5
(
2
,
0
)
5
4
(
2
,
0
)
5
3
(
0
,
0
)
5
2
(
4
10
))
(
(
1
)
4
|
(
2
2
2
2
4
1
2
2
2
.
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
i
j
p
X
E
x
p
Y
X
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, Ŝe Y=5
j
x
\
i
y
5
5
)
1
,
0
5
0
,
0
4
0
,
0
3
0
,
0
2
(
1
10
1
)
5
|
(
4
1
3
3
.
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
i
j
p
x
p
Y
X
E
2
3
4
5
0,0
0,0
0,0
0,1
∑
0,1
0
)
1
,
0
)
5
5
(
0
,
0
)
5
4
(
2
,
0
)
5
3
(
0
,
0
)
5
2
((
1
10
))
(
(
1
)
4
|
(
2
2
2
2
4
1
3
2
3
.
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
i
j
p
X
E
x
p
Y
X
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=2
j
x
\
i
y
3
4
5
∑
2
0,1
0,0
0,0
0,1
3
)
0
,
0
5
0
,
0
4
1
,
0
3
(
1
10
1
)
2
|
(
3
1
1
.
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
j
i
p
y
p
X
Y
E
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
19
0
)
0
,
0
)
3
5
(
0
,
0
)
3
4
(
1
,
0
)
3
3
((
1
10
))
(
(
1
)
2
|
(
2
2
2
3
1
1
2
.
1
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
j
i
p
Y
E
y
p
X
Y
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=3
j
x
\
i
y
3
4
5
∑
3
0,3
0,2
0,0
0,5
3
)
0
,
0
5
2
,
0
4
3
,
0
3
(
5
10
1
)
3
|
(
3
1
2
.
2
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
j
i
p
y
p
X
Y
E
4
,
0
)
0
,
0
)
3
5
(
2
,
0
)
3
4
(
3
,
0
)
3
3
((
5
10
))
(
(
1
)
3
|
(
2
2
2
3
1
2
2
.
1
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
j
i
p
Y
E
y
p
X
Y
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=4
j
x
\
i
y
3
4
5
∑
4
0,1
0,2
0,0
0,3
3
)
0
,
0
5
2
,
0
4
1
,
0
3
(
3
10
1
)
4
|
(
3
1
3
.
3
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
j
i
p
y
p
X
Y
E
66
,
0
)
0
,
0
)
3
5
(
2
,
0
)
3
4
(
1
,
0
)
3
3
((
3
10
))
(
(
1
)
4
|
(
2
2
2
3
1
3
2
.
3
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
j
i
p
Y
E
y
p
X
Y
D
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, Ŝe X=5
j
x
\
i
y
3
4
5
∑
5
0.0
0,0
0,1
0,1
5
)
1
,
0
5
0
,
0
4
0
,
0
3
(
1
10
1
)
5
|
(
3
1
4
.
4
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
=
=
∑
=
j
j
i
p
y
p
X
Y
E
0
)
1
,
0
)
5
5
(
0
,
0
)
5
4
(
0
,
0
)
5
3
((
1
10
))
(
(
1
)
5
|
(
2
2
2
3
1
4
2
.
4
2
=
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
⋅
−
=
=
∑
=
j
j
i
p
Y
E
y
p
X
Y
D
Zadanie 7.2.8
W jednym z punktów okulistycznych spytano klientów o liczbę zamawianych okularów (X) oraz liczbę
juŜ posiadanych okularów (Y) i stwierdzono, ze zmienna losowa X przyjmuje wartości
x
1
2
=
i
x
2
4
=
zaś zmienna losowa Y odpowiednio:
y
1
0
=
i
y
2
1
=
. Ponadto uzyskano informacje,
- rozkład zmiennej losowej Y pod warunkiem, ze X = 2:
P( Y = 0 | X = 2 ) = 0,25; P( Y = 1 | X = 2 ) = 0,25
- rozkład zmiennej losowej Y: P( Y = 0 ) =
1
3
; P( Y = 1 ) =
2
3
.
Wiedząc, ze zmienne X i Y są stochastycznie niezaleŜne określić rozkład brzegowy zmiennej losowej Y
oraz łączny rozkład zmiennej XY..
ROZWIĄZANIE:
dane:
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
20
„częściowa” tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
2
4
∑
0
1
0,25
0,25
1/3
2/3
∑
1,0
szukane:
warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych:
i, j p
p p
i, j
i.
.j
∧
=
⋅
p
p
p
13
14
12
1
3
1
4
1
12
=
−
= − =
;
p
p
p
31
11
21
1
4
1
4
2
4
=
−
= − =
;
p
p
p
32
13
23
1
12
5
12
6
12
=
−
=
−
=
;
p
p
p
23
24
22
2
3
1
4
5
12
=
−
= − =
.
rozkład zmiennej losowej XY - tablica korelacyjna:
j
y
\
i
x
2
4
∑
0
1
1/4
1/4
1/12
5/12
1/3
2/3
∑
2/4
6/12
1,0
Zadanie 7.2.9
W sklepie chemicznym "ZOLA" spytano grupę przypadkowych klientów o rodzaj kupowanego
najczęściej proszku do prania
(
;
;
)
x x x
1
2
3
oraz rodzaj kupowanego najczęściej mydła
(
;
;
)
y y y
1
2
3
.
Wiedząc, ze zmienne są stochastycznie niezaleŜne i znane są rozkłady warunkowe zmiennej Y:
P Y
y X
x
(
|
)
,
=
=
=
1
1
0 25
;
P Y
y X
x
(
|
)
,
=
=
=
2
3
0 00
;
P Y
y X
x
(
|
)
,
=
=
=
3
2
0 25
P Y
y X
x
(
|
)
,
=
=
=
2
2
0 25
;
P Y
y X
x
(
|
)
,
=
=
=
3
1
0 25
;
P Y
y X
x
(
|
)
,
=
=
=
3
3
0 00
oraz rozkłady brzegowe zmiennej X:
P X
x
(
)
,
=
=
1
0 50
;
P X
x
(
)
,
=
=
2
0 50
określ łączny rozkład zmiennej losowej XY. Wyznacz rozkład brzegowy dla zmiennej losowej X oraz
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y/Y=.
x
2
ROZWIĄZANIE:
dane:
„częściowa” tablica korelacyjna:
j
x
\
i
y
y
1
y
2
y
3
Σ
x
1
x
2
x
3
0,25
0,25
0,00
0,25
0,25
0,00
0,50
0,50
Σ
1,0
szukane:
a.
warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych:
i, j p
p p
i, j
i.
.j
∧
=
⋅
p
p
p
p
12
1
11
13
0 50 0 25 0 25
0 00
=
−
−
=
−
−
=
.
,
,
,
,
;
p
p
p
p
21
2
22
23
0 50 0 25 0 25
0 00
=
−
−
=
−
−
=
.
,
,
,
,
;
p
p
p
3
1
2
1
1 0 50 0 50
0 00
.
.
.
,
,
,
= −
−
= −
−
=
;
p
31
0 00
=
,
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
21
p
32
0 00
=
,
p
33
0 00
=
,
p
p
p
p
.
,
,
,
,
1
11
21
32
0 25 0 00 0 00
0 25
=
+
+
=
+
+
=
p
p
p
p
.
,
,
,
,
2
21
22
23
0 00 0 25 0 00
0 25
=
+
+
=
+
+
=
p
p
p
p
.
,
,
,
,
3
31
32
33
0 25 0 25 0 00
0 50
=
+
+
=
+
+
=
rozkład zmiennej losowej XY:
j
x
\
i
y
y
1
y
2
y
3
∑
x
1
x
2
x
3
0,25
0,00
0,00
0,00
0,25
0,00
0,25
0,25
0,00
0,50
0,50
0,00
∑
0,25
0,25
0,50
1,00
b. rozkład brzegowy dla zmiennej losowej X
j
x
\
i
y
∑
x
1
x
2
x
3
0,50
0,50
0,00
∑
1,00
d.
rozkład warunkowy zmiennej losowej Y/Y=.
x
2
j
x
\
i
y
y
1
y
2
y
3
∑
x
2
0,00
0,25
0,25
0,50
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
22
7.3 ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA
Zadanie 7.3.1
Dana jest funkcja dwuwymiarowej zmiennej losowej XY postaci:
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
y
x
dla
x
y
x
a
xy
f
3
0
;
3
0
0
)
3
(
)
(
2
<
<
<
<
−
⋅
⋅
⋅
=
a. znaleźć stałą a;
b. wyznaczyć funkcje gęstości rozkładu brzegowego zmiennej X i Y,
c. określ prawdopodobieństwo, ze Y < 1 pod warunkiem, ze X = 2.
ROZWIĄZANIE:
a.
∫
∫∫
∫ ∫
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
3
0
3
0
2
3
2
2
3
0
3
0
3
0
3
0
2
2
2
2
3
2
3
)
3
(
)
3
(
dy
y
x
a
y
x
a
dy
dx
y
x
a
y
x
a
dy
dx
x
y
x
a
=
1
5
,
40
3
6
27
6
27
3
27
2
27
3
0
3
3
0
2
3
0
2
2
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
∫
∫
a
y
a
dy
y
a
dy
y
a
y
a
a
=
=
1
40 5
0 03
,
,
b.
∫
∫
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
3
0
3
0
2
3
0
3
2
2
2
2
2
2
2
9
3
2
3
)
3
(
)
3
(
)
(
y
x
y
x
y
a
dx
y
x
y
x
a
dx
x
y
x
a
y
f
∫
∫
−
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
3
0
3
0
2
3
0
2
3
3
2
2
2
2
)
3
(
9
2
3
3
3
)
3
(
)
3
(
)
(
x
x
x
y
x
y
a
dy
y
x
y
x
a
dy
x
y
x
a
x
f
c.
f y x
f x y
f x
x y
x
x
x
y
x
x
y
( |
)
( , )
( )
(
)
,
(
)
(
)
(
)
=
=
=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −
=
⋅ −
⋅ −
=
2
3
3
40 5 2
3
3
27 3
27
2
2
2
81
1
27
3
27
1
0
1
0
3
2
=
⋅
=
⋅
∫
y
dy
y
Zadanie 7.3.2
a. Dla jakiej wartości parametru a funkcja:
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
a
y
x
dla
x
y
xy
f
<
<
<
<
+
⋅
⋅
=
0
;
2
0
0
)
1
(
5
,
0
)
(
moŜe być funkcja prawdopodobieństwa.
b. Wyznacz P(x < 1 | y = 0,5) oraz P(y < 0,5 | x = 1).
ROZWIĄZANIE:
a.
[
]
∫ ∫
∫ ∫
∫
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
2
0 0
2
0 0
2
0
0
2
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
)
5
,
0
5
,
0
(
)
1
(
5
,
0
a
a
a
y
y
x
dx
dy
y
y
x
dx
dy
x
y
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
23
[
]
1
25
,
0
5
,
0
25
,
0
)
25
,
0
25
,
0
(
2
0
2
2
2
0
2
2
=
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
a
x
a
x
a
dx
a
x
a
a
a
a
a
a
2
1
1
1
− = − ⋅ +
(
) (
)
a
a
1
2
1
1
= −
= +
;
a = 1
b.
[
]
)
1
(
25
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
)
5
,
0
5
,
0
(
)
1
(
5
,
0
)
(
1
0
2
2
1
0
1
0
+
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
∫
x
y
y
x
dy
y
y
x
dy
x
y
x
f
f y x
f xy
f x
y
x
x
y
( |
)
(
)
( )
,
(
)
,
(
)
= =
=
⋅ ⋅ +
⋅ +
= ⋅
1
0 5
1
0 25
1
2
[
]
25
,
0
5
,
0
5
,
0
2
5
,
0
2
2
)
1
|
5
,
0
(
)
1
|
5
,
0
(
2
5
,
0
0
2
5
,
0
0
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
<
=
=
⋅
<
∫
y
dy
y
x
y
P
x
a
y
P
c.
[
]
y
y
x
y
x
dx
y
y
x
dx
x
y
y
f
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
∫
∫
2
5
,
0
5
,
0
5
,
0
)
5
,
0
5
,
0
(
)
1
(
5
,
0
)
(
2
0
2
2
0
2
0
f x y
f xy
f y
y
x
y
x
( |
, )
(
)
( )
,
(
)
,
(
)
=
=
=
⋅ ⋅ +
⋅
=
⋅ +
0 5
0 5
1
2
0 25
1
[
]
375
,
0
)
5
,
0
(
25
,
0
)
1
(
25
,
0
)
5
,
0
|
1
(
1
0
2
1
0
=
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
=
<
∫
x
x
dx
x
y
x
P
Zadanie 7.3.3
Funkcja łącznego rozkładu zmiennej losowej XY ma postać:
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
a
y
x
dla
y
x
xy
f
<
<
<
<
⋅
=
0
;
2
0
0
)
(
Sprawdź, czy zmienne X Y są niezaleŜne stochastycznie oraz wyznacz P(Y < 1 | X = 1).
ROZWIĄZANIE:
warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych XY:
f x y
f x f y
( , )
( )
( )
=
⋅
a.
∫
∫
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
2
0
2
0
2
0
2
2
2
4
2
)
(
)
(
x
x
y
x
dy
y
x
dy
xy
f
x
f
∫
∫
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
1
0
1
0
1
0
2
2
2
)
(
)
(
y
x
y
dx
y
x
dx
xy
f
y
f
y
x
x y
2
2
⋅ ⋅ = ⋅
b.
f y x
x y
x
y
( | )
,
= ⋅
⋅
=
⋅
2
0 5
;
[
]
∫
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
<
1
0
1
0
2
25
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
)
1
|
1
(
y
dy
y
X
Y
P
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
24
Zadanie 7.3.4
Dla jakiej wartości parametru a funkcja postaci:
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
a
y
x
dla
y
x
x
a
xy
f
8
0
;
2
1
;
4
2
0
)
(
<
<
<
<
<
<
+
⋅
−
=
jest funkcja prawdopodobieństwa. Sprawdź, czy zmienne X i Y są niezaleŜne stochastycznie.
ROZWIĄZANIE:
a.
[
]
∫∫
∫
∫
=
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
−
2
1
4
2
2
1
2
1
2
1
4
2
2
2
1
)
2
(ln
6
ln
6
)
1
(
6
2
2
)
(
a
y
a
y
dy
a
y
dy
x
a
y
x
dy
dx
x
a
y
x
a
=
− =
ln
,
2
1
6
0 53
b. warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych XY:
f x y
f x f y
( , )
( )
( )
=
⋅
[
]
∫
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
−
=
2
1
2
1
2
ln
ln
)
(
)
(
x
a
x
y
x
a
y
x
dy
x
a
y
x
x
f
∫
⋅
−
=
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
−
=
4
2
4
2
2
2
6
6
2
2
)
(
)
(
a
y
x
a
y
x
dx
x
a
y
x
y
f
(
)
a
a
y
x
a
x
−
⋅
≠
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
2
ln
6
)
6
6
(
2
ln
.
Zadanie 7.3.5
Dla jakiej wartości parametru a funkcja postaci:
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
y
x
dla
a
x
y
x
xy
f
;
4
2
;
2
0
0
)
(
)
(
)
(
<
<
<
<
−
⋅
−
=
jest funkcja prawdopodobieństwa. Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennej X oraz Y oraz zbadać, czy
zmienne X Y są niezaleŜne stochastycznie.
ROZWIĄZANIE:
a.
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
−
∫
∫
∫
∫ ∫
dx
y
a
y
x
y
x
a
y
x
dx
dy
y
a
y
x
x
a
x
dx
dy
a
x
y
x
2
0
2
0
4
2
2
2
2
4
2
2
2
0
4
2
2
2
)
(
)
(
)
(
1
3
20
24
3
2
3
2
3
2
)
3
3
(
2
2
0
2
2
3
2
0
2
=
−
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
∫
a
x
a
x
x
a
x
dx
a
x
x
a
x
a
=
23
24
b. warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych XY:
f x y
f x f y
( , )
( )
( )
=
⋅
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony)
Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH
Warszawa, 2007
25
[
]
∫
∫
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
=
2
0
2
0
4
2
2
2
2
2
5
,
0
5
,
0
)
(
)
(
)
(
)
(
y
a
y
x
y
x
a
y
x
dy
y
a
y
x
x
a
x
dy
a
x
y
x
x
f
= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅
2
2
6
6
2
x
a x
x
a
∫
∫
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
=
2
0
2
0
2
0
2
2
3
2
2
2
3
)
(
)
(
)
(
)
(
x
y
a
x
y
x
a
x
dx
y
a
y
x
x
a
x
dx
a
x
y
x
y
f
= − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅
8
3
2
2
2
a
y
a y
f x y
f x f y
( , )
( )
( )
≠
⋅
.
Zadanie 7.3.6
Funkcja zmiennej X Y ma postać:
h
przypadkac
h
pozostalyc
w
a
y
x
dla
a
x
y
xy
f
4
2
;
2
0
;
1
0
0
)
(
2
<
<
<
<
<
<
+
=
Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennej X oraz Y oraz zbadać, czy zmienne te są niezaleŜne
stochastycznie
ROZWIĄZANIE:
a.
)
(
3
32
)
(
)
(
)
(
)
(
2
0
2
3
3
3
1
2
0
2
a
x
a
x
a
x
y
a
x
y
dy
a
x
y
x
f
+
⋅
=
+
+
⋅
+
+
⋅
⋅
=
+
=
∫
[
]
)}
2
ln(
)
4
{ln(
)
ln(
)
(
2
4
2
2
4
2
2
a
a
y
a
x
y
dy
a
x
y
y
f
+
−
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
+
=
∫
b. warunek niezaleŜności stochastycznej zmiennych losowych XY:
f x y
f x f y
( , )
( )
( )
=
⋅
y
x
a
y
a
a
x
a
2
2
32
4
2
3
+
≠
⋅ ⋅
+ −
+
⋅ +
{ln(
) ln(
)}
(
)