6 

 
 

Zmienna losowa dwuwymiarowa. Centralne twierdzenie graniczne 

 
Zad. 0 Rzucamy kostką do gry. Zmienna losowa 

X

 przyjmuje wartość 1 gdy wypadnie 

parzysta liczba oczek oraz wartość -1 gdy wypadnie nieparzysta liczba oczek. 
Zmienna losowa 

Y

przyjmuje wartość 3 gdy wypadnie liczba oczek podzielna przez 3 oraz 2 

w przeciwnym przypadku. 
Zbadać niezależność zmiennych losowych.  
 
Zad. 1. Dane są niezależne zmienne losowe X, Y o rozkładach: 
 

 
 
 
 

Znaleźć rozkład, wartość średnią i wariancję następujących zmiennych losowych: 
a)  

4

2



 X

U

,   b) 

Y

U

3

2 



,  c) 

Y

X

U





,  d) 

Y

X

U

3

2





 

 
Zad.2 Zmienna losowa dwuwymiarowa 

)

,

(

Y

X

ma następujący rozkład: 

3

,

0

)

0

,

1

(





 Y

X

P

,  

1

,

0

)

1

,

1

(





 Y

X

P

, 

4

,

0

)

0

,

2

(







Y

X

P

, 

C

Y

X

P







)

1

,

2

(

 

a)  Znaleźć stałą C 

  b)  Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X 

c)  Zbadać, czy zmienne losowe są niezależne. 

 
Zad. 3 Zmienna losowa dwuwymiarowa 

)

,

(

Y

X

ma następujący rozkład: 

8

1

)

1

,

1

(









Y

X

P

,  

4

1

)

2

,

1

(









Y

X

P

, 

C

Y

X

P









)

3

,

1

(

, 

8

1

)

1

,

1

(





 Y

X

P

, 

8

1

)

2

,

1

(





 Y

X

P

, 

4

1

)

3

,

1

(





 Y

X

P

. 

a)  Znaleźć stałą C 
b)  Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej Y 
c)  Zbadać, czy zmienne losowe są niezależne. 

 
Zad. 4   20% sztuk pewnego produktu jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 
losowo wybranej próbie 225  sztuk tego produktu : 
a) co najwyżej 50 będzie wadliwych 
b) więcej niż 35 będzie wadliwych 
c) wadliwych będzie więcej niż 35 i mniej niż 50. 
 
Zad. 5 Towarzystwo ubezpieczeniowe posiada 1000 ubezpieczonych od włamania do garażu 
w pewnym mieście. Prawdopodobieństwo włamania do garażu w tym mieście  w ciągu roku 
wynosi 0,1. Znaleźć prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najwyżej 90 ubezpieczonych 
zgłosi się do tego towarzystwa po wypłatę odszkodowania z tytułu włamania do garażu. 
 
Zad. 6 Wiadomo, że 80% studentów lubi dodawać ketchup do kanapek. Jakie jest 
prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbie 100 studentów co najwyżej 15 nie lubi 
dodawać ketchupu do kanapek. 
 
Zad. 7 10% osób wyraża zgodę na otrzymywanie przesyłek reklamowych na skrzynkę 
mailową. Wysłano zapytanie ofertowe do losowo wybranej próby 500 osób. 
Jakie jest prawdopodobieństwo, zgodę wyrazi co najwyżej 65 osób. 
 
 

j

x

  -1 

0 

j

p

 

4

,

0

  0,6 

i

y    0 

1 

2 

 3 

i

p  

5

,

0   0,1  0,3  0,1 

7 

 
 
Zad. 8 Maszyna licząca dodaje 600 liczb rzeczywistych zaokrąglając każdą z nich do 
najbliższej liczby całkowitej. Zakładamy niezależność błędów zaokrągleń i przyjmujemy, że 
mają rozkład jednostajny na odcinku <-0,5,0,5>. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd przy 
sumowaniu nie przekroczy 3.  
 
Zad. 9 Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Poissona z 
parametrem 

9





. 

Obliczyć a) 

)

920

(

100

1







i

i

X

P

, b) 

)

929

(

100

1







i

i

X

P

,  c) 

)

884

850

(

100

1









i

i

X

P

 

 
Zad. 10 Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie 
wykładniczym ze parametrem 

4



a

. 

 

Obliczyć 

)

90

(

)

400

1







i

i

X

P

a

,   

)

100

(

)

400

1







i

i

X

P

b

,  

)

115

95

(

)

400

1









i

i

X

P

b

 

 
Odpowiedzi:  
0) zmienne losowe są niezależne                

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

96

,

0

,

8

,

4

)

)

1

2







u

D

EU

a

8

,

10

,

1

)

)

1

2







u

D

EU

b

 

 

44

,

1

,

6

,

0

)

)

1

2





u

D

EU

c

         1c) 

64

,

14

,

8

,

3

)

)

1

2







u

D

EU

d

 

 

nie

c

x

x

x

x

F

b

C

a

)

,

,

2

,

1

2

1

,

4

,

0

1

,

0

)

(

)

,

2

,

0

)

)

2



























 

nie

c

x

y

y

y

y

F

b

C

a

)

,

,

3

,

1

3

3

,

625

,

0

2

1

,

25

,

0

1

,

0

)

(

)

,

125

,

0

)

)

3



































 

716

,

0

)

,

94295

,

0

)

,

8212

,

0

)

)

4

c

b

a

,   

1587

,

0

)

5

,   

1292

,

0

)

6

,  

9896

,

0

)

7

,   

6628

,

0

)

8

 

25

,

0

)

,

17

,

0

)

,

7422

,

0

)

)

9

c

b

a

,   

84

,

0

)

,

5

,

0

)

,

0228

,

0

)

)

10

c

b

a

 

   Y 
X 

 
  2 

 
3 

rozkład  
brzegowy 
    X 

                                
  -1 

3

1

 

6

1

 

    

2

1

 

    
   1 

 

3

1

 

6

1

 

    

2

1

 

Rozkład 
brzegowy 
    Y 

3

2

 

3

1

 

 
    1 

i

u    -1 

 0 

 1 

 2 

 3 

i

p   0,2  0,34  0,18  0,22  0,06