DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE

Rozkład łączny pary zmiennych losowych

)

,

(

Y

X

określonych na tej samej przestrzeni zdarzeń
elementarnych:

)

)

,

((

A

Y

X

P



, A

- dowolny podzbiór zbioru par

wartości zmiennych X, Y.

Definicja.

Dystrybuantą zmiennej losowej

)

,

(

Y

X

nazywamy funkcję

)

,

(

)

,

(

y

Y

x

X

P

y

x

F







,

gdzie

,











x

.











y

Twierdzenie

. Łączny rozkład prawdopodobieństwa

zmiennej losowej

)

,

(

Y

X

określony jest jednoznacznie

przez jej dystrybuantę.

Zmienne dyskretne

Funkcja prawdopodobieństwa ( łącznego )
dwuwymiarowej zmiennej losowej dyskretnej:

)

,

(

)

,

(

y

Y

x

X

P

y

x

f







.

Własności:

(i)

0

)

,

(



y

x

f

, dla dowolnej pary wartości )

,

(

y

x

,

(ii)

 



x

y

y

x

f

1

)

,

(

,

(iii)









A

y

x

y

x

f

A

Y

X

P

)

,

(

)

,

(

)

)

,

((

,

(iv)







x

s

y

x

F

)

,

(



 y

t

t

s

f

)

,

(

.

Przykład.

W każdym z dwóch etapów teleturnieju

można otrzymać 0, 1, lub 2 punkty. Niech zmienne
losowe X, Y oznaczają liczby punktów uzyskane w
etapie I i II, odpowiednio, przez losowo wybranego
uczestnika. Funkcję prawdopodobieństwa łącznego
określa tabela:

Y
X

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2 0,1

0,06

2

0,02

0,03

A

Znaleźć:
(a)

)

2

,

2

(

)

2

,

2

(







Y

X

P

f

(b)

)

2

(



Y

P

(c)

)

1

,

1

(

F

.

(a)

 





2

0

2

0

)

,

(

x

y

y

x

f

= 1. Stąd

)

2

,

2

(

f

= A = 1 – ( 0,5 + 0,05 + 0,01 + 0,2 + 0,1 +

+ 0,06 + 0,02 + 0,03 ) = 1 – 0,97 = 0,03.

(b)













2

0

)

2

,

(

)

2

(

x

Y

x

X

P

Y

P

=

)

2

,

2

(

)

2

,

1

(

)

2

,

0

(

f

f

f





= 0,01 + 0,06 + 0,03 = 0,1.

(c)

)

1

,

1

(

F

=

)

1

,

1

(



 Y

X

P

=

=

)

1

,

1

(

)

0

,

1

(

)

1

,

0

(

)

0

,

0

(

f

f

f

f







=

= 0,5 + 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,85.

Zmienne ciągłe

Zmienna losowa (

)

,Y

X

jest dwuwymiarową ciągłą

zmienną losową, jeśli jej łączny rozkład prawdopodo-
bieństwa określony jest przez funkcję gęstości łącznej
( łączną gęstość prawdopodobieństwa ), taką że

(i)

0

)

,

(



y

x

f

(ii)

 













 1

)

,

(

dxdy

y

x

f

(iii)

 





A

dxdy

y

x

f

A

Y

X

P

)

,

(

)

)

,

((

W szczególności dla

]

,

(

]

,

(

y

x

A









:

)

,

(

y

x

F

=

 















x

y

dtds

t

s

f

y

Y

x

X

P

)

,

(

)

,

(

.

)

,

(

)

,

(

2

y

x

F

y

x

y

x

f









,











x

,











y

.

Przykład.

Zmienna losowa

)

,

(

Y

X

ma gęstość

prawdopodobieństwa





 



0

)

,

(

y

x

y

x

f

gdy

przeciwnie

y

x

1

0

,

1

0









.

Obliczyć

)

25

,

0

,

5

,

0

(





Y

X

P

=

 



5

,

0

0

1

25

,

0

)

(

dydx

y

x

=

dx

y

xy

1

25

,

0

5

,

0

0

2

)

2

/

(





=









5

,

0

0

)

2

/

625

,

0

25

,

0

5

,

0

(

dx

x

x

= ?

Rozkłady brzegowe

Niech )

,

(

Y

X

będzie dwuwymiarową zmienną losową o

rozkładzie prawdopodobieństwa określonym przez
funkcję

)

,

(

y

x

f

( funkcja prawdopodobieństwa lub

gęstość ).

Rozkład brzegowy = rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X lub zmiennej losowej Y.

(a)

dla dyskretnych zmiennych X, Y , brzegowe
funkcje prawdopodobieństwa są postaci









y

X

y

x

f

x

X

P

x

f

)

,

(

)

(

)

(









x

Y

y

x

f

y

Y

P

y

f

)

,

(

)

(

)

(

(b)

dla ciągłych zmiennych X, Y , brzegowe gęstości
są postaci











dy

y

x

f

x

f

X

)

,

(

)

(











dx

y

x

f

y

f

Y

)

,

(

)

(

.

D.

(a)



)

(x

f

X





y

y

Y

x

X

P

x

X

P

})

,

(

)

(









=











y

y

y

x

f

y

Y

x

X

P

)

,

(

)

,

(

.

(b)

)

(

)

(

x

X

P

x

F

X





=

)

,

(











Y

x

X

P

=

 











x

dtds

t

s

f

)

,

(

. Stąd



)

(x

f

X

)

(x

F

dx

d

X

=









dt

t

x

f

)

,

(

.

Przykład.

Dwuwymiarowa zmienna losowa

)

,

(

Y

X

ma gęstość











0

8

/

)

(

3

)

,

(

2

y

x

y

x

f

gdy

przeciwnie

y

x

1

1

,

1

1













Znaleźć gęstość zmiennej losowej X.

Niech

1

1







x

.











dy

y

x

f

x

f

X

)

,

(

)

(

=









1

1

2

)

(

8

3

dy

y

x









1

1

2

2

)

2

(

8

3

dy

y

xy

x

=

1

1

]

3

/

[

8

3

3

2

2







y

xy

y

x

=

4

1

4

3

2



x

.











0

4

/

)

1

3

(

)

(

2

x

x

f

X

gdy

przeciwnie

x

1

1







.

Gęstość zmiennej losowej Y ma identyczną postać.

Rozkłady warunkowe

(a)

Niech )

,

(

Y

X

będzie

dyskretną

zmienną losową

mającą funkcję prawdopodobieństwa )

,

(

y

x

f

.

Niech y – ustalone oraz

0

)

(



y

f

Y

.

Rozkład

warunkowy

zmiennej losowej X pod

warunkiem, że Y = y określa

warunkowa funkcja

prawdopodobieństwa:

)

( y

x

f

=

)

(

)

,

(

y

f

y

x

f

Y

, x – dowolna wartość zmiennej X.

)

( y

x

f

=









)

(

)

,

(

y

Y

P

y

Y

x

X

P

)

(

y

Y

x

X

P





=

funkcja prawdopodobieństwa zmiennej X pod
warunkiem, że zmienna Y przyjęła wartość y.

Analogicznie:

)

( x

y

f

=

)

(

)

,

(

x

f

y

x

f

X

=

)

(

x

X

y

Y

P





, gdzie

0

)

(



x

f

X

.

Notacja:

)

(

)

(

y

x

f

y

x

f

Y

X



)

(

)

(

x

y

f

x

y

f

X

Y



(b)

Niech

)

,

(

Y

X

będzie ciągłą zmienną losową o

łącznej gęstości

)

,

(

y

x

f

.

Niech y – ustalone oraz

0

)

(



y

f

Y

.

Warunkową gęstością prawdopodobieństwa zmiennej

losowej X pod warunkiem, że

y

Y

 nazywamy funkcję

)

( y

x

f

=

)

(

)

,

(

y

f

y

x

f

Y

,











x

.

Przykład.

(kontynuacja)











0

8

/

)

(

3

)

,

(

2

y

x

y

x

f

gdy

przeciwnie

y

x

1

1

,

1

1















)

( y

f

Y









0

4

/

)

1

3

(

2

y

gdy

przeciwnie

y

1

1







Niech

1

1







y

- ustalone.

)

( y

x

f

=

4

/

)

1

3

(

8

/

)

(

3

2

2





y

y

x

=

2

6

)

(

3

2

2





y

y

x

dla

]

1

,

1

[





x

)

( y

x

f

= 0 dla

].

1

,

1

[





x

Uwaga.

Analogicznie określamy rozkład warunkowy

zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x. Zatem

)

( x

y

f

=

)

(

)

,

(

x

f

y

x

f

X

, gdzie y – dowolna wartość Y,

x - ustalone, takie że

0

)

(



x

f

X

.

Notacja:

)

(

)

(

x

y

f

x

y

f

X

Y



,

)

(

)

(

y

x

f

y

x

f

Y

X



Przykład. (kontynuacja)

(a) Znaleźć rozkład brzegowy zmiennej Y, liczby
punktów uzyskanych w II etapie teleturnieju przez
losowo wybranego uczestnika.

(b) Wyznaczyć rozkład warunkowy Y pod warunkiem,
że w I etapie uzyskano 2 punkty, tzn. X = 2.

Y
X

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2 0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

Y
X

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2 0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

(a)

)

( y

f

Y

=

)

,

2

(

)

,

1

(

)

,

0

(

y

f

y

f

y

f





. Stąd

Y

0

1 2

)

( y

f

Y

0,72

0,18

0,1

(b)

)

2

( y

f

=

)

2

(

)

,

2

(

X

f

y

f

= ?

)

2

0

(

f

=

)

2

0

(

X

Y

f

=

)

2

(

/

)

0

,

2

(

X

f

f

=

= 0,02/(0,02 + 0,03 + 0,03) =1/4,

)

2

1

(

f

=

)

2

1

(

X

Y

f

=

)

2

(

/

)

1

,

2

(

X

f

f

=

= 0,03/0,08 = 3/8,

)

2

2

(

f

=

)

2

2

(

X

Y

f

=

)

2

(

/

)

2

,

2

(

X

f

f

=

= 0,03/0,08 = 3/8.

Niezależne zmienne losowe

Definicja.

Niech )

,

(

Y

X

będzie dwuwymiarową

zmienna losową o dystrybuancie

)

,

(

y

x

F

oraz

dystrybuantach brzegowych

),

(x

F

X

)

( y

F

Y

,

)

,

(

,







y

x

. Zmienne losowe X, Y są niezależne,

jeśli

)

(

)

(

)

,

(

y

F

x

F

y

x

F

Y

X



,

dla wszystkich wartości x, y.

Twierdzenie

. Zmienne losowe X, Y są niezależne

wtedy i tylko wtedy gdy

)

(

)

(

)

,

(

y

f

x

f

y

x

f

Y

X



,

dla wszystkich wartości x, y.

Wniosek.

Poniższe warunki są równoważne:

(i) Zmienne losowe X, Y są niezależne.

(ii)

)

(

)

(

x

f

y

x

f

X



,











x

, dla wszystkich y,

takich że

0

)

(



y

f

Y

.

(iii)

)

(

)

(

y

f

x

y

f

Y



,











y

, dla wszystkich x,

takich że

0

)

(



x

f

X

.

Przykład.

( kontynuacja )

Czy liczby punktów uzyskane w I i II etapie teleturnieju
przez losowo wybranego uczestnika są niezależnymi
zmiennymi losowymi ?

Y
X

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2 0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

)

2

,

0

(

)

1

,

0

(

)

0

,

0

(

)

0

(

f

f

f

f

X







= 0,5 + 0,05 +

+ 0,01 = 0,56.

)

0

,

2

(

)

0

,

1

(

)

0

,

0

(

)

0

(

f

f

f

f

Y







= 0,5 + 0,2

+ 0,02 = 0,72.

Stąd

)

0

(

)

0

(

72

,

0

56

,

0

5

,

0

)

0

,

0

(

Y

X

f

f

f









,

Zmienne losowe

Y

X ,

są zależne.

Przykład.

( kontynuacja ). Czy X, Y są niezależnymi

zmiennymi losowymi, jeśli ich łączna gęstość ma
postać:











0

8

/

)

(

3

)

,

(

2

y

x

y

x

f

gdy

przeciwnie

y

x

1

1

,

1

1













Dla

]

1

,

1

[

,





y

x

:

4

/

)

1

3

(

)

(

2



 x

x

f

X

oraz

4

/

)

1

3

(

)

(

2



 y

y

f

Y

.

)

(

)

(

)

,

(

y

f

x

f

y

x

f

Y

X



.

Przykład.

Czasy poprawnej pracy dwu podzespołów są

niezależnymi zmiennymi losowymi X, Y o rozkładach
wykładniczych z parametrami

,

,

2

1





odpowiednio.

Średnie czasy pracy podzespołów wynoszą 1000
(godzin ) i 1200 ( godzin ). Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia takiego, że każdy
podzespół nie ulegnie awarii przed upływem 1500
godzin.

1000

/

1

)

(

1







X

E

(godz.),

1200

/

1

)

(

2







Y

E

(godz.)

Stąd

1000

/

1

1





(1/godz.)

1200

/

1

2





(1/godz.).

)

1500

,

1500

(





Y

X

P

=

)

1500

(



X

P

)

1500

(



Y

P

=

1500

1500

2

1









 e

e

=

1200

/

1500

1000

/

1500





 e

e

=

= 0,2231

0,2865 = 0,0639.

Wartość oczekiwana. Kowariancja.

)]

,

(

[

Y

X

g

E

=

 

x

y

y

x

f

y

x

g

)

,

(

)

,

(

,

gdy X, Y są dyskretne,

)]

,

(

[

Y

X

g

E

=

 













dxdy

y

x

f

y

x

g

)

,

(

)

,

(

,

gdy X, Y są ciągłe.

Uwaga

. Dla

X

Y

X

g



)

,

(

lub

Y

Y

X

g



)

,

(

otrzymujemy wartości oczekiwane brzegowych
zmiennych losowych X lub Y.
Np.

]

[

X

E

=

 

x

y

y

x

xf

)

,

(

=

 

x

y

y

x

f

x

)

,

(

=

=





x

X

X

x

xf



)

(

.

Stwierdzenie.

Niech c będzie dowolną stałą, a

)

,

(

Y

X

g

,

)

,

(

1

Y

X

g

,

)

,

(

2

Y

X

g

zmiennymi losowymi

jednowymiarowymi. Wówczas

)]

,

(

[

)

,

(

[

Y

X

g

cE

Y

X

cg

E



,

)]

,

(

[

)]

,

(

[

)]

,

(

)

,

(

[

2

1

2

1

Y

X

g

E

Y

X

g

E

Y

X

g

Y

X

g

E







.

D.

Dowód jest bezpośrednią konsekwencją definicji

wartości oczekiwanej oraz własności całki i sumowania.

Stwierdzenie.

Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne,

to

)

(

)

(

)

(

Y

E

X

E

XY

E



.

D. Niezależność zmiennych jest równoważna

)

(

)

(

)

,

(

y

f

x

f

y

x

f

Y

X



. Stąd i z definicji wartości

oczekiwanej mamy

(a) (zmienne dyskretne )

)]

,

(

[

Y

X

g

E

=

 

x

y

y

x

f

y

x

g

)

,

(

)

,

(

.

)

( XY

E

=

 

x

y

y

x

xyf

)

,

(

=

 

x

y

Y

X

y

f

x

xyf

)

(

)

(

=





x

y

Y

X

y

yf

x

xf

)

(

)

(

=



y

Y

y

yf

)

(





x

X

x

xf

)

(

=

)

(

)

(

)

(

)

(

Y

E

X

E

X

E

Y

E



.

(b) (zmienne ciągłe) Dowód analogiczny - Sumowanie

należy zastąpić całkowaniem.

Definicja.

Niech X i Y będą zmiennymi losowymi o

łącznej funkcji prawdopodobieństwa ( gęstości )

)

,

(

y

x

f

. Kowariancją zmiennych X i Y nazywamy

liczbę:

)]

)(

[(

Y

X

XY

Y

X

E













.

Uwaga.
Z definicji

XY



oraz

)]

,

(

[

Y

X

g

E

, przyjmując

)

)(

(

)

,

(

Y

X

y

x

y

x

g











, otrzymujemy wzory:

 







x

y

Y

X

XY

y

x

f

y

x

)

,

(

)

)(

(







,

gdy X, Y są dyskretne

dxdy

y

x

f

y

x

Y

X

XY

 



















)

,

(

)

)(

(







,

gdy X, Y są ciągłe.


Notacja

: Zamiast

XY



często piszemy Cov (X,Y).

Interpretacja.

Kowariancja określa pewną

współzależność między zmiennymi losowymi:
(a)

Jeśli „dużym” wartościom zmiennej X

przewyższającym

X



towarzyszą zwykle „duże”

wartości zmiennej Y przewyższające

Y



, a wartościom

X mniejszym od

X



towarzyszą zwykle wartości Y

mniejsze od

Y



, to

XY



> 0.

(b)

Jeśli wartościom zmiennej X większym od

X



towarzyszą zwykle wartości Y mniejsze od

Y



wartościom X mniejszym od

X



towarzyszą zwykle

wartości Y większe od od

Y



, to

XY



< 0.

Stwierdzenie. Cov(X,Y) =

Y

X

XY

E







)

(

.

D.

Cov(X,Y) =

)]

)(

[(

Y

X

Y

X

E









=

=

)

(

Y

X

X

Y

Y

X

XY

E















=

=

Y

X

X

Y

Y

E

X

E

XY

E















)

(

)

(

)

(

=

=

Y

X

XY

E







)

(

.

Twierdzenie.

Jeśli zmienne losowe X i Y są

niezależne, to
Cov(X,Y) = 0.

D.

Dla niezależnych zmiennych losowych

)

(

)

(

)

(

Y

E

X

E

XY

E



. Stąd oraz wzoru na

kowariancję mamy:

Cov(X,Y) =

Y

X

XY

E







)

(

=

=

Y

X

Y

E

X

E







)

(

)

(

= 0.

Uwaga.

Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół

prawdziwe.

Twierdzenie.

Dla dowolnych stałych a, b

Var(

)

bY

aX



=

2

a Var(X) +

2

b Var(Y) + 2ab Cov(X,Y).

D.

E{





2

)

(

)

(

Y

X

b

a

bY

aX











} =

E{





2

)

(

)

(

Y

X

Y

b

X

a











} = E{





2

))

(

X

X

a





}

+ E





)

)(

(

2

Y

X

Y

X

ab









+ E{





2

)

(

Y

Y

b





} =

=

2

a Var(X) + 2abCov(X,Y) +

2

b Var(Y). c.k.d.

Wniosek. Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne,
to

Var(

bY

aX



) =

2

a

Var(X) +

2

b

Var(Y).

Definicja.

Współczynnikiem korelacji między

zmiennymi losowymi X i Y nazywamy liczbę:

)

(

)

(

)

,

(

Y

Var

X

Var

Y

X

Cov





.

Przykład.

?





Y
X

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2 0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

)

( X

E

=

 

x

y

y

x

f

x

)

,

(

=

0(0,5 + 0,05 + 0,01) +

+ 1

(0,2 + 0,1 + 0,06) + 2(0,02+0,03+0,03) = 0,52.

)

(Y

E

=

 

x

y

y

x

f

y

)

,

(

= 0 (0,5 + 0,2 + 0,02) +

+ 1

(0,05 + 0,1 + 0,03) + 2(0,01+0,06+0,03) = 0,38.

Y
X

0

1

2

0

0,5

0,05

0,01

1

0,2 0,1

0,06

2

0,02

0,03

0,03

)

( XY

E

=

 

x

y

y

x

xyf

)

,

(

=

0 + 0 + 0 + 0 + 1 1

 0,1 +

+

06

,

0

2

1





+

03

,

0

1

2





+

03

,

0

2

2





= 0,31.

Cov(X,Y) = 0,31 – 0,52

38

,

0



= 0,1124.



)

(

2

X

E



2

1

(0,2 + 0,1 + 0,06) +

+

)

03

,

0

03

,

0

02

,

0

(

2

2







= 0,68



)

(

2

Y

E



2

1

(0,05 +

0,1 + 0,03) +

+

)

03

,

0

06

,

0

01

,

0

(

2

2







=

0,58.

Var(X) =

2

2

2

52

,

0

68

,

0

)]

(

[

)

(







X

E

X

E

=

0,4096

Var(Y) =

2

2

2

38

,

0

58

,

0

)]

(

[

)

(







Y

E

Y

E

= 0,4356

.

2661

,

0

4356

,

0

4096

,

0

1124

,

0









Własności współczynnika korelacji

(i)

1

1









(ii)

Jeśli

a

i

b

są stałymi, oraz jeśli

Y

=

a

+

bX

,

to











1

1



gdy

0

0





b

b

(iii) Jeśli zmienne losowe

X

i

Y

są niezależne, to

.

0





(iv) Jeśli

1





, to między zmiennymi losowymi

X,

Y

istnieje liniowa zależność funkcyjna.

Interpretacja.

Współczynnik korelacji jest miarą

zależności liniowej między zmiennymi losowymi.

Dwuwymiarowy rozkład normalny

Zmienna losowa

)

,

(

Y

X

ma dwuwymiarowy rozkład

normalny, jeśli ma gęstość postaci:





Y

X

y

x

f





2

1

)

,

(

exp



















)

,

(

)

1

(

2

1

2

y

x

q



,

gdzie

2

2

2

2

)

(

)

)(

(

2

)

(

)

,

(

y

Y

Y

X

Y

X

X

X

y

y

x

x

y

x

q

































,

,











x











y

, stałe

X



,

Y



,



spełniają

warunki

X



> 0,

Y



> 0,



1



1

 .

Notacja

:

)

,

,

,

,

(

~

)

,

(











Y

X

Y

X

N

Y

X

Twierdzenie.

Jeśli

)

,

,

,

,

(

~

)

,

(











Y

X

Y

X

N

Y

X

, to

(i)

X

~

)

,

(

X

X

N





,

Y

~

)

,

(

Y

Y

N





.

(ii) Cov(

X

,

Y

) =



.

(iii)

X

,

Y

są niezależne wtedy i tylko wtedy gdy



= 0.

Twierdzenie.

Zmienna losowa (

X

,

Y

) ma

dwuwymiarowy rozkład normalny wtedy i tylko wtedy
gdy zmienna losowa

aX

+

bY

ma rozkład normalny,

a

,

b

są dowolnymi stałymi.

CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH

Niech

n

X

X

X

,...,

,

2

1

będą zmiennymi losowymi

określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń
elementarnych

S

.

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

F

=

)

,...,

,

(

2

2

1

1

n

n

x

X

x

X

x

X

P







=

dystrybuanta wektora losowego (

n

X

X

X

,...,

,

2

1

).

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

= funkcja prawdopodobieństwa

łącznego lub funkcja gęstości łącznej wektora losowego
(

n

X

X

X

,...,

,

2

1

).

Definicja

. Zmienne losowe

n

X

X

X

,...,

,

2

1

są niezależne,

jeśli

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

F

=

)

(

...

)

(

)

(

2

1

2

1

n

X

X

X

x

F

x

F

x

F

n





,

gdzie

)

(

)

(

i

i

X

x

X

P

x

F

i

i





, i = 1,2,...,n.

Definicja.

)]

,

,

,

,

,

(

[

2

1

n

X

X

X

g

E

=

  

1

2

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

...

2

1

2

1

x x

x

n

n

n

x

x

x

f

x

x

x

g

,

lub

 





















n

n

dx

dx

dx

x

x

x

f

x

x

x

g

n

...

)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

...

2

1

2

1

2

1

.

Stwierdzenie.

)

...

(

2

2

1

1

n

n

X

a

X

a

X

a

E







=

)

(

...

)

(

)

(

2

2

1

1

n

n

X

E

a

X

E

a

X

E

a







.

Wniosek.

Niech







n

i

i

X

n

X

1

1

, ,

)

(





i

X

E

i = 1,2,..,n.

)

( X

E

=



.

D. W stwierdzeniu trzeba przyjąć

n

a

i

1

 , i = 1,2,..,n.

Stwierdzenie.

Jeśli

n

X

X

X

,...,

,

2

1

są niezależnymi

zmiennymi losowymi, to

Var

)

...

(

2

2

1

1

n

n

X

a

X

a

X

a







=

2

1

a Var(

1

X ) +

2

2

a Var(

2

X ) + ... +

2

n

a

Var(

n

X ).

W szczególności, jeśli Var(

i

X

) =

2



oraz

n

a

i

1

 ,

i = 1,2,..,n, to

Var( X ) =

n

2



.

Przykład.

Dokonujemy n jednakowych, niezależnych

doświadczeń Bernoulli’ego o prawdopodobieństwie
sukcesu p,

1

0



 p

. Znaleźć wartość oczekiwaną i

wariancję zmiennej losowej Y będącej liczbą sukcesów.

Niech



i

X

1, gdy sukces w i-tym doświadczeniu,



i

X

0, gdy porażka w i-tym doświadczeniu. Wówczas

n

X

X

X

,...,

,

2

1

są niezależnymi zmiennymi losowymi o

funkcjach prawdopodobieństwa:

p

f

i

X



)

1

(

,

p

f

i

X



 1

)

0

(

.

Stąd:

p

X

E

i



)

(

,

Var(

i

X ) =

)

1

(

p

p



.

Liczba sukcesów =

.

...

2

1

n

X

X

X

Y









)

(Y

E

=

)

...

(

2

1

n

X

X

X

E







=

)

(

...

)

(

)

(

2

1

n

X

E

X

E

X

E







=

np .

Var(Y) =

Var(

)

1

X + Var(

)

2

X

+ ... + Var(

)

n

X

=

)

1

(

p

np



Definicja. Prostą próbą losową

o liczności n

nazywamy ciąg niezależnych zmiennych losowych

n

X

X

X

,...,

,

2

1

określonych na przestrzeni zdarzeń

elementarnych S i takich, że każda ze zmiennych ma
taki sam rozkład.

Twierdzenie. ( CENTRALNE TWIERDZENIE
GRANICZNE)

Niech

n

X

X

X

,...,

,

2

1

będzie prostą próbą losową z

rozkładu o średniej



i wariancji

2



. Wówczas dla

dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa
standaryzowanej średniej ( = standaryzowanej sumy

n

X

X

X







...

2

1

) jest bliski standardowemu

rozkładowi normalnemu

)

1

,

0

(

N

, dokładniej dla

dowolnych liczb a, b,













b

a

)

/

(

b

n

X

a

P











),

(

)

(

)

(

a

b

b

Z

a

P















przy





n

. Równoważnie rozkład średniej X

jest

bliski rozkładowi normalnemu

)

/

,

(

n

N





.

Przykład.

Załóżmy, że rozkład codziennego dojazdu do

pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na
przedziale [0,5 godz., 1 godz. ] i że czasy dojazdów w
różne dni są niezależne. Obliczyć przybliżone

prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny
dojazd w ciągu 30 dni przekroczy 0,8 godz.

Niech

i

X oznacza czas dojazdu w i-tym dniu ,

30

,...,

2

,

1



i

.

4

3

2

1

5

,

0

)

(









i

X

E



,

48

1

12

)

5

,

0

1

(

)

(

2

2









i

X

Var



.

4

3

)

(



X

E

,

48

30

1

)

(





X

Var

)

8

,

0

(



X

P

=

)

)

48

30

/(

1

4

/

3

8

,

0

)

48

30

/(

1

4

/

3

(











X

P



03

,

0

)

89

,

1

(

1

)

89

,

1

(











Z

P

.