Zmienne losowe
anna.blaczkowska@wsb.wroclaw.pl
Materiały
Wykład 10 h. ćwiczeń 16 h.
Egzamin pisemny- szczegóły na ostatnim
wykładzie, promocja dla osób, które zdobędą co
najmniej 4,5 z ćwiczeń
Moodle
– kurs Statystyka Anna Błaczkowska,
hasło:
STATAB12Z
Na zajęcia należy nosić kalkulatory
Na egzaminie można mieć wzory
Literatura
S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka:
Statystyka. Elementy teorii i zadania. Wyd.
AE im. O.Langego we Wrocławiu, W-w 2006,
wyd.6 poprawione
Każda książka z nazwą statystyka w tytule
Co to jest statystyka ?
dyscyplina
naukowa wg, której:
Statystyka
– to
nauka
o metodach ilościowych
wykrywania i badania prawidłowości
zachodzących w zjawiskach ( procesach)
masowych.
BADANIE STATYSTYCZNE
- ogół prac mających
na celu poznanie struktury określonej zbiorowości
statystycznej.
Rodzaje badań statystycznych
kompletne
(pełne, całkowite, wyczerpujące) – zbadane
są wszystkie jednostki danej populacji(
zbiorowość
generalna
) – np. spis powszechny, ewidencja urodzeń i
zgonów;
częściowe
(niepełne) – zbadany jest skończony
podzbiór populacji generalnej, zwany populacją próbną
lub
próbką
(jest reprezentacyjne lub subiektywne)
wyniki badań próby są uogólniane na zbiorowość generalną.
n>30 - duża próba
n
≤
30 - mała próba
Zbiorowość statystyczna
, populacja generalna (populacja)
- zbiór (na ogół duży) jednostek statystycznych mających
przynajmniej jedną cechę stałą oraz pewną liczbę cech
zmiennych
Próba, populacja próbna
– wyodrębniona przy pomocy
odpowiedniej metody statystycznej część (na ogół nieduża)
populacji generalnej
Jednostka statystyczna
– obiekt wyodrębniony na
potrzeby badania statystycznego
Cecha statystyczna
– właściwość jednostek statystycznych
podlegająca badaniu
6
Wstępne pojęcia
Statystykę opisową
– która zajmuje się:
metodami obserwacji statystycznej,
konstruowaniem badań statystycznych,
opracowywaniem i prezentacją danego materiału statystycznego
sumarycznym opisem danych statystycznych.
Statystykę matematyczną
-
która zajmuje się metodami
wnioskowania
o całej zbiorowości generalnej na podstawie
zbadania wybranej w sposób losowy pewnej części, zwanej
próbą.
Wyróżniamy
I.
pomiarem i gromadzeniem danych
II.
syntetyzacją i prezentacją informacji
III.
przetwarzaniem i analizą
IV.
wnioskowaniem
Czym zajmuje się statystyka?
Statystyka a rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka korzysta z rachunku
prawdopodobieństwa – działu matematyki
zajmującego się badaniem zdarzeń
przypadkowych (losowych).
Elementy prawdopodobieństwa
Zdarzenie losowe
– takie, którego wyniku nie
można przewidzieć; to pewien zbiór możliwych
wyników danego eksperymentu; może składać się
z pojedynczego wyniku jak i z większej ilości
elementów.
Przykłady:
otrzymanie orła w wyniku rzutu monetą,
suma oczek 5 przy rzucie dwoma kostkami sześciennymi,
natrafienie na zepsutą pomarańczę w zakupionej siatce owoców,
wystąpienie odbiornika telewizyjnego z usterkami technicznymi,
wygrana w lotto,
Elementy prawdopodobieństwa
Zdarzenie elementarne
– jest to zdarzenie losowe,
które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia.
Zdarzeniem elementarnym jest każdy z
możliwych wyników doświadczenia losowego,
np.
wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry,
wylosowanie asa w grze karcianej,
wylosowanie sprawnego odbiornika telewizyjnego,
wylosowanie 4 w lotto.
Elementy prawdopodobieństwa
Wśród wszystkich podzbiorów przestrzeni zdarzeń dwa
zasługują na szczególną uwagę
zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe,
cała przestrzeń zdarzeń przedstawiająca zdarzenie pewne .
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego – jest to
szansa zajścia tego zdarzenia.
Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału domkniętego
[0; 1]
Elementy prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
losowego – jest to szansa zajścia tego
zdarzenia.
Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału
domkniętego
[0; 1]
Obliczanie prawdopodobieństw
Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zajścia
dowolnego zdarzenia losowego A można korzystać z
tzw. klasycznej definicji Laplace’a:
n
k
A
P
=
)
(
gdzie
k – jest liczbą zdarzeń elementarnych tworzących zdarzenie A,
n – liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych w zbiorze
Ω
.
Zmienna losowa X to zmienna,
która przyjmuje różne wartości liczbowe, wyznaczone przez los
jeżeli wartości zmiennej (cechy) są określone przez przypadek
(tzn. przyjmuje ona te wartości z określonymi
prawdopodobieństwami), to zmienna ta jest zmienną losową.
Zmienne losowe oznacza się dużymi literami alfabetu (np.
X, Y, Z), a ich wartości odpowiednio małymi literami (np.
x, y, z).
Ze względu na możliwy zbiór wartości rozróżnia się dwa
podstawowe typy zmiennych losowych:
skokowe
ciągłe.
Zmienne losowe - definicja
skokowe (dyskretne) – zmienna przyjmuje dowolne
wartości ze zbioru przeliczalnego
lub
jeśli zbiór wartości funkcji X jest zbiorem przeliczalnym
to zmienna losowa jest zmienną losową dyskretną (jest
typu skokowego).
Przykłady
:
liczba błędów na stronie pewnej książki,
liczba dzieci posiadanych przez rodziny,
liczba pożarów w pewnym mieście,
zbiór liczb całkowitych z określonego przedziału,
Zmienna losowa skokowa
przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału (w
szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych)
lub
jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału
liczbowego to jest ciągłą zmienną losową X.
Przykłady
:
wzrost dzieci w wieku szkolnym,
miesięczne spożycie chleba przez członków rodzin
czas oczekiwania na usługę przy okienku bankowym
zawartość tłuszczu w mleku
zawartość witaminy C w owocach
Zmienna losowa ciągła
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Przyporządkowanie każdej wartości zmiennej losowej
typu skokowego prawdopodobieństwa jej realizacji
nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa
Rozkład może być podany w formie tabelki, wzoru lub
wykresu.
Funkcja spełnia warunki:
P X
x
p
p
p
i
i
i
i
i
(
)
,
=
=
∈<
>
=
∑
0 1
1
Funkcja dystrybuanty
Dystrybuantą zmiennej losowej X jest funkcja F(x) o postaci:
to skumulowana funkcja rozkładu
zmiennej losowej
)
(
)
(
x
X
P
x
F
≤
=
Co oznacza, że dystrybuanta dla konkretnej wartości zmiennej losowej, tj.
dla X= x jest równa prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa X będzie
przyjmowała wartości
nie większe
niż konkretna wartość x
≥
<
≤
+
<
≤
<
=
−
1
3
2
2
1
2
1
1
1
1
0
)
(
i
x
x
dla
x
x
x
dla
p
p
x
x
x
dla
p
x
x
dla
x
F
wartość oczekiwana
zmiennej losowej X (wartość średnia):
wariancja zmiennej
losowej X
odchylenie standardowe
∑
=
=
n
i
i
i
p
x
X
E
1
)
(
2
2
2
1
)]
(
[
)
(
))
(
(
)
(
X
E
X
E
p
X
E
x
X
V
i
i
n
i
−
=
−
=
∑
=
)
( X
V
=
σ
Parametry rozkładu zmiennych losowych
Własności wartości oczekiwanej i
wariancji
E(C)=C
E(CX)=CE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(X-Y)=E(X)-E(Y)
V(C)=0
V(CX)=C
2
V(X)
V(X+Y)=V(X)+V(Y) dla niezależnych zmiennych
V(X-Y)=V(X)+V(Y) dla niezależnych zmiennych
21
Współczynnik zmienności
zmiennej losowej X
100
)
(
⋅
=
X
E
σ
ν
σ
Parametry rozkładu zmiennych losowych
%
10
*
=
ν
Dodatkowe charakterystyki pozycyjne
P X
Me
i
P X
Me
(
)
(
)
≤
≥
≥
≥
1
2
1
2
Mediana
zmiennej losowej X to wartość Me spełniająca
nierówności:
Dominanta
Do (moda Mo) zmiennej losowej X to taka
wartość x tej zmiennej, której odpowiada największe
prawdopodobieństwo realizacji (najbardziej prawdopodobne
zajście zdarzenia).
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
• Obliczyć
a
i narysować rozkład prawdopodobieństw zmiennej X
• Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres
• Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby startów helikoptera w
ciągu doby
• Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:
x
i
0
1
2
3
p
i
0,1
0,3
a
0,2
(
3),
(
1),
(1
4),
(1
3)
P X
P X
P
X
P
X
<
≥
≤
<
< <
• ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości
oczekiwanej jest statystycznie istotne
• wyznaczyć medianę i dominantę
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera w ciągu
doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
• Obliczyć
a
i narysować rozkład prawdopodobieństw zmiennej X
a
= 1- (0,1+0,3+0,2) = 0,4
x
i
0
1
2
3
p
i
0,1
0,3
a
0,2
p
i
x
i
0
1
2
3
0,1
0,2
0,3
0,4
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
•Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres
x
i
0
1
2
3
p
i
0,1
0,3
0,4
0,2
F(x)
0,1
0,4
0,8
1,0
F(x)
x
i
0
1
2
3
0,1
0,4
0,8
1,0
≥
<
≤
+
<
≤
<
=
−
1
3
2
2
1
2
1
1
1
1
0
)
(
i
x
x
dla
x
x
x
dla
p
p
x
x
x
dla
p
x
x
dla
x
F
3
≥
1
3
<
≤
2
8
,
0
=
4
,
0
+
3
,
0
+
1
,
0
2
<
≤
1
4
,
0
=
3
,
0
+
1
,
0
1
<
≤
0
1
,
0
0
<
0
=
)
(
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
•Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby startów helikoptera w
ciągu doby
2
7
,
1
)
(
1
≈
=
=
∑
=
n
i
i
i
p
x
X
E
81
,
0
7
,
1
7
,
3
)]
(
[
)
(
)
(
2
2
2
=
−
=
−
=
X
E
X
E
X
V
x
i
p
i
x
i
p
i
x
i
2
p
i
0
0,1
0
0
1
0,3
0,3
0,3
2
0,4
0,8
1,6
3
0,2
0,6
1,8
1,7
3,7
1
9
,
0
81
,
0
)
(
≈
=
=
=
X
V
σ
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
•Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:
x
i
0
1
2
3
p
i
0,1
0,3
0,4
0,2
(
3),
(
1),
(1
4),
(1
3)
P X
P X
P
X
P
X
<
≥
≤
<
<
<
8
,
0
4
,
0
3
,
0
1
,
0
)
3
(
=
+
+
=
<
X
P
9
,
0
2
,
0
4
,
0
3
,
0
)
1
(
=
+
+
=
≥
X
P
9
,
0
2
,
0
4
,
0
3
,
0
)
4
1
(
=
+
+
=
<
≤
X
P
4
,
0
)
3
1
(
=
<
<
X
P
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
x
i
0
1
2
3
p
i
0,1
0,3
0,4
0,2
• ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości
oczekiwanej jest statystycznie istotne
%
10
%
9
,
52
100
7
,
1
9
,
0
100
)
(
>
=
⋅
=
⋅
=
X
E
σ
ν
σ
Przykład 1
Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa
(danym tabelką)
x
i
0
1
2
3
p
i
0,1
0,3
0,4
0,2
•wyznaczyć medianę i dominantę
Dominanta wynosi
2
interwencje – najbardziej prawdopodobne
5
,
0
)
(
5
,
0
)
(
≥
≥
≥
≤
Me
X
P
i
Me
X
P
Mediana
5
,
0
6
,
0
2
,
0
4
,
0
)
2
(
5
,
0
8
,
0
4
,
0
3
,
0
1
,
0
)
2
(
>
=
+
=
≥
>
=
+
+
=
≤
X
P
i
X
P
M
e
= 2 interwencje
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Rozkład powstaje w wyniku n- krotnego powtarzania eksperymentu, w
którym realizuje się zmienna zero-jedynkowa.
są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia: sukces p i porażka q=1-p
prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym doświadczeniu stałe
n – niezależnych doświadczeń - wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu
na wyniki pozostałych doświadczeń
X – zmienna losowa zliczająca liczbę sukcesów w n doświadczeniach
X- B(n,p)
wzór:
gdzie
Parametry rozkładu są odpowiednio równe:
P X
k
n
k
p q
k
n k
(
)
=
=
−
npq
npq
X
V
np
X
E
=
=
=
σ
,
)
(
,
)
(
Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
W produkcji wyrobów pewnego wytwórcy znajduje się 25% wyrobów I
gatunku. Pozostała część to gatunek II.
Odbiorca zakupił od tego wytwórcy 10 sztuk wyrobów.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 1 sztuka będzie I gatunku.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 4 sztuki będą II gatunku.
Jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się
odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?
Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
zmienna losowa X określa liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii
10 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę.
Zmienna losowa X przyjmuje wartości: 0, 1, 2, ...,10 i podlega rozkładowi
Bernoulliego (wybór sztuk do zakupu jest losowy).
w pojedynczej próbie „sukcesem” jest wylosowanie z całej produkcji wyrobu I
gatunku.
Wówczas:
p = 0,25 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu I gatunku),
q = 0,75 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu II gatunku),
k - liczba sztuk wyrobów I gatunku w zakupionej partii 10 sztuk.
rozkład rozważanej zmiennej losowej jest postaci:
Dla k = 1, 2,…,10
k
k
k
k
X
P
−
=
=
10
75
,
0
25
,
0
10
)
(
Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 1 sztuka będzie I gatunku.
19
,
0
75
,
0
25
,
0
1
10
)
1
(
1
10
1
≈
=
=
−
X
P
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 4 sztuki będą II gatunku – czyli 6 sztuk będzie I gatunku.
02
,
0
75
,
0
25
,
0
6
10
)
6
(
6
10
6
≈
=
=
−
X
P
Jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się
odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?
,
15
25
,
0
60
)
(
=
⋅
=
X
E
np
X
E
=
)
(
Przybliżenie rozkładu dwumianowego
rozkładem Poissona
Jeżeli n>20 i jednocześnie p<0,2 to zamiast rozkładu
dwumianowego B(n, p) do obliczania prawdopodobieństw
można zastosować przybliżenie rozkładem Poissona
P(λ=np)
X- B(n, p)
n>20, p<0,2
X- P(λ=np)
35
Przykład – rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską
cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
270
,
0
72
,
2
2
!
1
2
)
1
(
2
2
1
=
⋅
=
=
=
−
−
e
X
P
41
,
1
2
,
2
)
(
,
2
)
(
=
=
=
=
σ
X
V
X
E
P X k
k
e
k
(
)
!
= =
−
λ
λ
Przykład – rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest rozkładem stablicowanym
Tablice dla P(X≤k)
Fragment tablicy
37
lambda
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,2
0,819
0,982
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,4
0,670
0,938
0,992
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,6
0,549
0,878
0,977
0,997
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,8
0,449
0,809
0,953
0,991
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1
0,368
0,736
0,920
0,981
0,996
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,2
0,301
0,663
0,879
0,966
0,992
0,998
1,000
1,000
1,000
1,000
1,4
0,247
0,592
0,833
0,946
0,986
0,997
0,999
1,000
1,000
1,000
1,6
0,202
0,525
0,783
0,921
0,976
0,994
0,999
1,000
1,000
1,000
1,8
0,165
0,463
0,731
0,891
0,964
0,990
0,997
0,999
1,000
1,000
2
0,135
0,406
0,677
0,857
0,947
0,983
0,995
0,999
1,000
1,000
2,2
0,111
0,355
0,623
0,819
0,928
0,975
0,993
0,998
1,000
1,000
2,4
0,091
0,308
0,570
0,779
0,904
0,964
0,988
0,997
0,999
1,000
2,6
0,074
0,267
0,518
0,736
0,877
0,951
0,983
0,995
0,999
1,000
2,8
0,061
0,231
0,469
0,692
0,848
0,935
0,976
0,992
0,998
0,999
3
0,050
0,199
0,423
0,647
0,815
0,916
0,966
0,988
0,996
0,999
λ
k
Przykład – rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię
jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
czyli
P(X>5)
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
)
4
≤
(
-
1
=
)
5
<
(
-
1
=
)
5
>
(
X
P
X
P
X
P
P X
k
k
e
k
(
)
!
= =
−
λ
λ
053
,
0
=
947
,
0
-
1
=
lambda
0
1
2
3
4
0,2
0,819
0,982
0,999
1,000
1,000
0,4
0,670
0,938
0,992
0,999
1,000
0,6
0,549
0,878
0,977
0,997
1,000
0,8
0,449
0,809
0,953
0,991
0,999
1
0,368
0,736
0,920
0,981
0,996
1,2
0,301
0,663
0,879
0,966
0,992
1,4
0,247
0,592
0,833
0,946
0,986
1,6
0,202
0,525
0,783
0,921
0,976
1,8
0,165
0,463
0,731
0,891
0,964
2
0,135
0,406
0,677
0,857
0,947
2,2
0,111
0,355
0,623
0,819
0,928
Przykład – rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
541
,
0
=
406
,
0
-
947
,
0
=
)
1
≤
(
-
)
4
≤
(
=
)
4
≤
<
1
(
X
P
X
P
X
P
Przykład – rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
czyli 0 rodzynek P(X=0)
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
135
,
0
=
)
0
=
( X
P
Przykład – rozkład Poissona
Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:
dokładnie 1 rodzynkę
co najmniej 5 rodzynek
więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4
mniej niż 1 rodzynkę
co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek
577
,
0
=
406
,
0
-
983
,
0
=
)
1
≤
(
-
)
5
≤
(
=
)
5
≤
≤
2
(
X
P
X
P
X
P
lambda
0
1
2
3
4
5
0,2
0,819
0,982
0,999
1,000
1,000
1,000
0,4
0,670
0,938
0,992
0,999
1,000
1,000
0,6
0,549
0,878
0,977
0,997
1,000
1,000
0,8
0,449
0,809
0,953
0,991
0,999
1,000
1
0,368
0,736
0,920
0,981
0,996
0,999
1,2
0,301
0,663
0,879
0,966
0,992
0,998
1,4
0,247
0,592
0,833
0,946
0,986
0,997
1,6
0,202
0,525
0,783
0,921
0,976
0,994
1,8
0,165
0,463
0,731
0,891
0,964
0,990
2
0,135
0,406
0,677
0,857
0,947
0,983
2,2
0,111
0,355
0,623
0,819
0,928
0,975