Zmienne losowe

[e-mail]

Materiały

Wykład 10 h. ćwiczeń 16 h.

Egzamin pisemny- szczegóły na ostatnim
wykładzie, promocja dla osób, które zdobędą co
najmniej 4,5 z ćwiczeń

Moodle

– kurs Statystyka Anna Błaczkowska,

hasło:

STATAB12Z

Na zajęcia należy nosić kalkulatory

Na egzaminie można mieć wzory

Literatura

S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka:
Statystyka. Elementy teorii i zadania. Wyd.
AE im. O.Langego we Wrocławiu, W-w 2006,
wyd.6 poprawione

Każda książka z nazwą statystyka w tytule

Co to jest statystyka ?

dyscyplina

naukowa wg, której:

Statystyka

– to

nauka

o metodach ilościowych

wykrywania i badania prawidłowości
zachodzących w zjawiskach ( procesach)
masowych.

BADANIE STATYSTYCZNE

- ogół prac mających

na celu poznanie struktury określonej zbiorowości
statystycznej.

Rodzaje badań statystycznych

kompletne

(pełne, całkowite, wyczerpujące) – zbadane

są wszystkie jednostki danej populacji(

zbiorowość

generalna

) – np. spis powszechny, ewidencja urodzeń i

zgonów;

częściowe

(niepełne) – zbadany jest skończony

podzbiór populacji generalnej, zwany populacją próbną
lub

próbką

(jest reprezentacyjne lub subiektywne)

wyniki badań próby są uogólniane na zbiorowość generalną.

n>30 - duża próba

n

≤

30 - mała próba

Zbiorowość statystyczna

, populacja generalna (populacja)

- zbiór (na ogół duży) jednostek statystycznych mających
przynajmniej jedną cechę stałą oraz pewną liczbę cech
zmiennych

Próba, populacja próbna

– wyodrębniona przy pomocy

odpowiedniej metody statystycznej część (na ogół nieduża)
populacji generalnej

Jednostka statystyczna

– obiekt wyodrębniony na

potrzeby badania statystycznego

Cecha statystyczna

– właściwość jednostek statystycznych

podlegająca badaniu

6

Wstępne pojęcia

Statystykę opisową

– która zajmuje się:

metodami obserwacji statystycznej,

konstruowaniem badań statystycznych,

opracowywaniem i prezentacją danego materiału statystycznego

sumarycznym opisem danych statystycznych.

Statystykę matematyczną

-

która zajmuje się metodami

wnioskowania

o całej zbiorowości generalnej na podstawie

zbadania wybranej w sposób losowy pewnej części, zwanej

próbą.

Wyróżniamy

I.

pomiarem i gromadzeniem danych

II.

syntetyzacją i prezentacją informacji

III.

przetwarzaniem i analizą

IV.

wnioskowaniem

Czym zajmuje się statystyka?

Statystyka a rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka korzysta z rachunku
prawdopodobieństwa – działu matematyki
zajmującego się badaniem zdarzeń
przypadkowych (losowych).

Elementy prawdopodobieństwa

Zdarzenie losowe

– takie, którego wyniku nie

można przewidzieć; to pewien zbiór możliwych
wyników danego eksperymentu; może składać się
z pojedynczego wyniku jak i z większej ilości
elementów.

Przykłady:

otrzymanie orła w wyniku rzutu monetą,

suma oczek 5 przy rzucie dwoma kostkami sześciennymi,

natrafienie na zepsutą pomarańczę w zakupionej siatce owoców,

wystąpienie odbiornika telewizyjnego z usterkami technicznymi,

wygrana w lotto,

Elementy prawdopodobieństwa

Zdarzenie elementarne

– jest to zdarzenie losowe,

które nie rozkłada się na prostsze zdarzenia.
Zdarzeniem elementarnym jest każdy z
możliwych wyników doświadczenia losowego,
np.

wyrzucenie sześciu oczek przy rzucie kostką do gry,

wylosowanie asa w grze karcianej,

wylosowanie sprawnego odbiornika telewizyjnego,

wylosowanie 4 w lotto.

Elementy prawdopodobieństwa

Wśród wszystkich podzbiorów przestrzeni zdarzeń dwa
zasługują na szczególną uwagę

zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe,

cała przestrzeń zdarzeń przedstawiająca zdarzenie pewne .

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego – jest to
szansa zajścia tego zdarzenia.

Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału domkniętego

[0; 1]

Elementy prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
losowego – jest to szansa zajścia tego
zdarzenia.

Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału
domkniętego

[0; 1]

Obliczanie prawdopodobieństw

Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zajścia
dowolnego zdarzenia losowego A można korzystać z
tzw. klasycznej definicji Laplace’a:

n

k

A

P

=

)

(

gdzie

k – jest liczbą zdarzeń elementarnych tworzących zdarzenie A,

n – liczbą wszystkich zdarzeń elementarnych w zbiorze

Ω

.

Zmienna losowa X to zmienna,

która przyjmuje różne wartości liczbowe, wyznaczone przez los

jeżeli wartości zmiennej (cechy) są określone przez przypadek
(tzn. przyjmuje ona te wartości z określonymi
prawdopodobieństwami), to zmienna ta jest zmienną losową.

Zmienne losowe oznacza się dużymi literami alfabetu (np.
X, Y, Z), a ich wartości odpowiednio małymi literami (np.
x, y, z).

Ze względu na możliwy zbiór wartości rozróżnia się dwa
podstawowe typy zmiennych losowych:

skokowe

ciągłe.

Zmienne losowe - definicja

skokowe (dyskretne) – zmienna przyjmuje dowolne
wartości ze zbioru przeliczalnego

lub

jeśli zbiór wartości funkcji X jest zbiorem przeliczalnym
to zmienna losowa jest zmienną losową dyskretną (jest
typu skokowego).

Przykłady

:

liczba błędów na stronie pewnej książki,

liczba dzieci posiadanych przez rodziny,

liczba pożarów w pewnym mieście,

zbiór liczb całkowitych z określonego przedziału,

Zmienna losowa skokowa

przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału (w
szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych)

lub

jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału

liczbowego to jest ciągłą zmienną losową X.

Przykłady

:

wzrost dzieci w wieku szkolnym,

miesięczne spożycie chleba przez członków rodzin

czas oczekiwania na usługę przy okienku bankowym

zawartość tłuszczu w mleku

zawartość witaminy C w owocach

Zmienna losowa ciągła

Rozkład zmiennej losowej skokowej

Przyporządkowanie każdej wartości zmiennej losowej

typu skokowego prawdopodobieństwa jej realizacji
nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa

Rozkład może być podany w formie tabelki, wzoru lub

wykresu.

Funkcja spełnia warunki:

P X

x

p

p

p

i

i

i

i

i

(

)

,

=

=

∈<

>

=

∑

0 1

1

Funkcja dystrybuanty

Dystrybuantą zmiennej losowej X jest funkcja F(x) o postaci:

to skumulowana funkcja rozkładu

zmiennej losowej

)

(

)

(

x

X

P

x

F

≤

=

Co oznacza, że dystrybuanta dla konkretnej wartości zmiennej losowej, tj.
dla X= x jest równa prawdopodobieństwu tego, że zmienna losowa X będzie
przyjmowała wartości

nie większe

niż konkretna wartość x

















≥

<

≤

+

<

≤

<

=

−

1

3

2

2

1

2

1

1

1

1

0

)

(

i

x

x

dla

x

x

x

dla

p

p

x

x

x

dla

p

x

x

dla

x

F

wartość oczekiwana

zmiennej losowej X (wartość średnia):

wariancja zmiennej

losowej X

odchylenie standardowe

∑

=

=

n

i

i

i

p

x

X

E

1

)

(

2

2

2

1

)]

(

[

)

(

))

(

(

)

(

X

E

X

E

p

X

E

x

X

V

i

i

n

i

−

=

−

=

∑

=

)

( X

V

=

σ

Parametry rozkładu zmiennych losowych

Własności wartości oczekiwanej i
wariancji

E(C)=C

E(CX)=CE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(X-Y)=E(X)-E(Y)

V(C)=0

V(CX)=C

2

V(X)

V(X+Y)=V(X)+V(Y) dla niezależnych zmiennych

V(X-Y)=V(X)+V(Y) dla niezależnych zmiennych

21

Współczynnik zmienności

zmiennej losowej X

100

)

(

⋅

=

X

E

σ

ν

σ

Parametry rozkładu zmiennych losowych

%

10

*

=

ν

Dodatkowe charakterystyki pozycyjne

P X

Me

i

P X

Me

(

)

(

)

≤

≥

≥

≥

1

2

1

2

Mediana

zmiennej losowej X to wartość Me spełniająca

nierówności:

Dominanta

Do (moda Mo) zmiennej losowej X to taka

wartość x tej zmiennej, której odpowiada największe

prawdopodobieństwo realizacji (najbardziej prawdopodobne

zajście zdarzenia).

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

• Obliczyć

a

i narysować rozkład prawdopodobieństw zmiennej X

• Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres

• Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby startów helikoptera w
ciągu doby

• Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:

x

i

0

1

2

3

p

i

0,1

0,3

a

0,2

(

3),

(

1),

(1

4),

(1

3)

P X

P X

P

X

P

X

<

≥

≤

<

< <

• ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości
oczekiwanej jest statystycznie istotne

• wyznaczyć medianę i dominantę

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera w ciągu
doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

• Obliczyć

a

i narysować rozkład prawdopodobieństw zmiennej X

a

= 1- (0,1+0,3+0,2) = 0,4

x

i

0

1

2

3

p

i

0,1

0,3

a

0,2

p

i

x

i

0

1

2

3

0,1

0,2

0,3

0,4

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

•Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres

x

i

0

1

2

3

p

i

0,1

0,3

0,4

0,2

F(x)

0,1

0,4

0,8

1,0

F(x)

x

i

0

1

2

3

0,1

0,4

0,8

1,0

















≥

<

≤

+

<

≤

<

=

−

1

3

2

2

1

2

1

1

1

1

0

)

(

i

x

x

dla

x

x

x

dla

p

p

x

x

x

dla

p

x

x

dla

x

F

3

≥

1

3

<

≤

2

8

,

0

=

4

,

0

+

3

,

0

+

1

,

0

2

<

≤

1

4

,

0

=

3

,

0

+

1

,

0

1

<

≤

0

1

,

0

0

<

0

=

)

(

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

•Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie liczby startów helikoptera w
ciągu doby

2

7

,

1

)

(

1

≈

=

=

∑

=

n

i

i

i

p

x

X

E

81

,

0

7

,

1

7

,

3

)]

(

[

)

(

)

(

2

2

2

=

−

=

−

=

X

E

X

E

X

V

x

i

p

i

x

i

p

i

x

i

2

p

i

0

0,1

0

0

1

0,3

0,3

0,3

2

0,4

0,8

1,6

3

0,2

0,6

1,8

1,7

3,7

1

9

,

0

81

,

0

)

(

≈

=

=

=

X

V

σ

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

•Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:

x

i

0

1

2

3

p

i

0,1

0,3

0,4

0,2

(

3),

(

1),

(1

4),

(1

3)

P X

P X

P

X

P

X

<

≥

≤

<

<

<

8

,

0

4

,

0

3

,

0

1

,

0

)

3

(

=

+

+

=

<

X

P

9

,

0

2

,

0

4

,

0

3

,

0

)

1

(

=

+

+

=

≥

X

P

9

,

0

2

,

0

4

,

0

3

,

0

)

4

1

(

=

+

+

=

<

≤

X

P

4

,

0

)

3

1

(

=

<

<

X

P

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

x

i

0

1

2

3

p

i

0,1

0,3

0,4

0,2

• ocenić czy rozproszenie wartości zmiennej losowej wokół jej wartości
oczekiwanej jest statystycznie istotne

%

10

%

9

,

52

100

7

,

1

9

,

0

100

)

(

>

=

⋅

=

⋅

=

X

E

σ

ν

σ

Przykład 1

Zmienną losową X jest liczba interwencji GOPR-u z użyciem helikoptera
w ciągu doby o poniższym rozkładzie prawdopodobieństwa

(danym tabelką)

x

i

0

1

2

3

p

i

0,1

0,3

0,4

0,2

•wyznaczyć medianę i dominantę

Dominanta wynosi

2

interwencje – najbardziej prawdopodobne

5

,

0

)

(

5

,

0

)

(

≥

≥

≥

≤

Me

X

P

i

Me

X

P

Mediana

5

,

0

6

,

0

2

,

0

4

,

0

)

2

(

5

,

0

8

,

0

4

,

0

3

,

0

1

,

0

)

2

(

>

=

+

=

≥

>

=

+

+

=

≤

X

P

i

X

P

M

e

= 2 interwencje

Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Rozkład powstaje w wyniku n- krotnego powtarzania eksperymentu, w
którym realizuje się zmienna zero-jedynkowa.

są dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia: sukces p i porażka q=1-p

prawdopodobieństwo sukcesu jest w każdym doświadczeniu stałe

n – niezależnych doświadczeń - wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu
na wyniki pozostałych doświadczeń

X – zmienna losowa zliczająca liczbę sukcesów w n doświadczeniach

X- B(n,p)

wzór:

gdzie

Parametry rozkładu są odpowiednio równe:

P X

k

n

k

p q

k

n k

(

)

=

=











−

npq

npq

X

V

np

X

E

=

=

=

σ

,

)

(

,

)

(

Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

W produkcji wyrobów pewnego wytwórcy znajduje się 25% wyrobów I
gatunku. Pozostała część to gatunek II.

Odbiorca zakupił od tego wytwórcy 10 sztuk wyrobów.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 1 sztuka będzie I gatunku.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 4 sztuki będą II gatunku.

Jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się
odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?

Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

zmienna losowa X określa liczbę sztuk wyrobów I gatunku w partii
10 sztuk wyrobów zakupionych przez odbiorcę.

Zmienna losowa X przyjmuje wartości: 0, 1, 2, ...,10 i podlega rozkładowi
Bernoulliego (wybór sztuk do zakupu jest losowy).

w pojedynczej próbie „sukcesem” jest wylosowanie z całej produkcji wyrobu I
gatunku.

Wówczas:

p = 0,25 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu I gatunku),

q = 0,75 (prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu II gatunku),

k - liczba sztuk wyrobów I gatunku w zakupionej partii 10 sztuk.

rozkład rozważanej zmiennej losowej jest postaci:

Dla k = 1, 2,…,10

k

k

k

k

X

P

−













=

=

10

75

,

0

25

,

0

10

)

(

Przykład - rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 1 sztuka będzie I gatunku.

19

,

0

75

,

0

25

,

0

1

10

)

1

(

1

10

1

≈













=

=

−

X

P

Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych wyrobów
tylko 4 sztuki będą II gatunku – czyli 6 sztuk będzie I gatunku.

02

,

0

75

,

0

25

,

0

6

10

)

6

(

6

10

6

≈













=

=

−

X

P

Jakiej średniej liczby wyrobów I gatunku może spodziewać się
odbiorca, jeśli zakupi 60 sztuk wyrobów ?

,

15

25

,

0

60

)

(

=

⋅

=

X

E

np

X

E

=

)

(

Przybliżenie rozkładu dwumianowego
rozkładem Poissona

Jeżeli n>20 i jednocześnie p<0,2 to zamiast rozkładu
dwumianowego B(n, p) do obliczania prawdopodobieństw
można zastosować przybliżenie rozkładem Poissona
P(λ=np)

X- B(n, p)

n>20, p<0,2

X- P(λ=np)



35

Przykład – rozkład Poissona

Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską
cukiernię jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:

dokładnie 1 rodzynkę

co najmniej 5 rodzynek

więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4

mniej niż 1 rodzynkę

co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

270

,

0

72

,

2

2

!

1

2

)

1

(

2

2

1

=

⋅

=

=

=

−

−

e

X

P

41

,

1

2

,

2

)

(

,

2

)

(

=

=

=

=

σ

X

V

X

E

P X k

k

e

k

(

)

!

= =

−

λ

λ

Przykład – rozkład Poissona

Rozkład Poissona jest rozkładem stablicowanym

Tablice dla P(X≤k)

Fragment tablicy

37

lambda

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,2

0,819

0,982

0,999

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,4

0,670

0,938

0,992

0,999

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,6

0,549

0,878

0,977

0,997

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,8

0,449

0,809

0,953

0,991

0,999

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1

0,368

0,736

0,920

0,981

0,996

0,999

1,000

1,000

1,000

1,000

1,2

0,301

0,663

0,879

0,966

0,992

0,998

1,000

1,000

1,000

1,000

1,4

0,247

0,592

0,833

0,946

0,986

0,997

0,999

1,000

1,000

1,000

1,6

0,202

0,525

0,783

0,921

0,976

0,994

0,999

1,000

1,000

1,000

1,8

0,165

0,463

0,731

0,891

0,964

0,990

0,997

0,999

1,000

1,000

2

0,135

0,406

0,677

0,857

0,947

0,983

0,995

0,999

1,000

1,000

2,2

0,111

0,355

0,623

0,819

0,928

0,975

0,993

0,998

1,000

1,000

2,4

0,091

0,308

0,570

0,779

0,904

0,964

0,988

0,997

0,999

1,000

2,6

0,074

0,267

0,518

0,736

0,877

0,951

0,983

0,995

0,999

1,000

2,8

0,061

0,231

0,469

0,692

0,848

0,935

0,976

0,992

0,998

0,999

3

0,050

0,199

0,423

0,647

0,815

0,916

0,966

0,988

0,996

0,999

λ

k

Przykład – rozkład Poissona

Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię
jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że kupując babkę trafimy na:

dokładnie 1 rodzynkę

co najmniej 5 rodzynek

czyli

P(X>5)

więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4

mniej niż 1 rodzynkę

co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

)

4

≤

(

-

1

=

)

5

<

(

-

1

=

)

5

>

(

X

P

X

P

X

P

P X

k

k

e

k

(

)

!

= =

−

λ

λ

053

,

0

=

947

,

0

-

1

=

lambda

0

1

2

3

4

0,2

0,819

0,982

0,999

1,000

1,000

0,4

0,670

0,938

0,992

0,999

1,000

0,6

0,549

0,878

0,977

0,997

1,000

0,8

0,449

0,809

0,953

0,991

0,999

1

0,368

0,736

0,920

0,981

0,996

1,2

0,301

0,663

0,879

0,966

0,992

1,4

0,247

0,592

0,833

0,946

0,986

1,6

0,202

0,525

0,783

0,921

0,976

1,8

0,165

0,463

0,731

0,891

0,964

2

0,135

0,406

0,677

0,857

0,947

2,2

0,111

0,355

0,623

0,819

0,928

Przykład – rozkład Poissona

Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:

dokładnie 1 rodzynkę

co najmniej 5 rodzynek

więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4

mniej niż 1 rodzynkę

co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

541

,

0

=

406

,

0

-

947

,

0

=

)

1

≤

(

-

)

4

≤

(

=

)

4

≤

<

1

(

X

P

X

P

X

P

Przykład – rozkład Poissona

Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:

dokładnie 1 rodzynkę

co najmniej 5 rodzynek

więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4

mniej niż 1 rodzynkę

czyli 0 rodzynek P(X=0)

co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

135

,

0

=

)

0

=

( X

P

Przykład – rozkład Poissona

Liczba rodzynek w ciastach pieczonych przez pewną wrocławską cukiernię jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z λ = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo, że kupując babkę
trafimy na:

dokładnie 1 rodzynkę

co najmniej 5 rodzynek

więcej niż jedną, ale nie więcej niż 4

mniej niż 1 rodzynkę

co najmniej 2, ale nie więcej niż 5 rodzynek

577

,

0

=

406

,

0

-

983

,

0

=

)

1

≤

(

-

)

5

≤

(

=

)

5

≤

≤

2

(

X

P

X

P

X

P

lambda

0

1

2

3

4

5

0,2

0,819

0,982

0,999

1,000

1,000

1,000

0,4

0,670

0,938

0,992

0,999

1,000

1,000

0,6

0,549

0,878

0,977

0,997

1,000

1,000

0,8

0,449

0,809

0,953

0,991

0,999

1,000

1

0,368

0,736

0,920

0,981

0,996

0,999

1,2

0,301

0,663

0,879

0,966

0,992

0,998

1,4

0,247

0,592

0,833

0,946

0,986

0,997

1,6

0,202

0,525

0,783

0,921

0,976

0,994

1,8

0,165

0,463

0,731

0,891

0,964

0,990

2

0,135

0,406

0,677

0,857

0,947

0,983

2,2

0,111

0,355

0,623

0,819

0,928

0,975