Zmienna losowa X - zmienna, która w wyniku pewnego doświadczenia przyjmuje z pewnym prawdopodobieństwem wartość z określonego zbioru - każda funkcja o wartościach liczbowych ze zbioru liczb rzeczywistych, która jest określona na zbiorze zdarzeń elementarnych Zmienna losowa Intuicyjne można powiedzieć, że zmienna losowa to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku (nie dająca się ustalić przez przeprowadzeniem doświadczenia).

Zmienne losowe dzielimy na:

• ciągłe; zmienna przyjmuje dowolne wartości z określonego przedziału (w szczególności cały zbiór liczb rzeczywistych)

• skokowe (dyskretne); zmienna przyjmuje dowolne wartości ze zbioru przeliczalnego (np. zbiór liczb całkowitych z określonego przedziału)

Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją określoną na całym zbiorze
i jest dana wzorem:

Zmienne losowe są opisywane za pomocą funkcji (rozkładów).

W zależności od rodzaju zmiennej są to:

1. funkcja prawdopodobieństwa (zmienne losowe skokowe) U podstaw tej funkcji leży uporządkowany zbiór par (p_i x_i) gdzie:

x_i - wartości jakie przyjmuje zmienna losowa X

p_i - prawdopodobieństwa z jakimi przyjmuje ona wartości x_i

2. funkcja gęstości (zmienne losowe ciągłe) Jest to funkcja f(x) określona na zbiorze liczb rzeczywistych i spełniająca następujące warunki:

Charakterystyki liczbowe rozkładu (wybrane) (parametry rozkładu)

Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) - w rachunku prawdopodobieństwa wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego.

Dla zmiennej losowej: skokowej
ciągłej

Wariancja zmiennej losowej. Wariancja zmiennej losowej X jest wartością przeciętną kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości przeciętnej i jest określona wzorami:

Wariancja V(X) = σ²

skokowa

ciagla

Odchylenie standardowe σ

Mediana Me

Jest to taka wartość zmiennej losowej X, dla której dystrybuanta wynosi 1/2:

F(Me ) = 1/2

Przykładowe rozkład zmiennej losowej

Rozkład normalny

Zmienna losowa X (ciągła) ma rozkład normalny z parametrami m i σ jeśli jej funkcja gęstości jest określona wzorem:

Rozkład zmiennej losowej X ma następujące parametry:

Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym ponieważ

Rozklad chi kwadrat

Rozkład chi kwadrat (zapisywany także jako χ²) to rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k kwadratów niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k nazywa się liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej.

Typowy wykres funkcji gęstości (dla k>2) pokazuje rysunek:

Wartość oczekiwana (średnia)

Wariancja

Odchylenie standardowe

Mediana około

Moda

Zastosowanie liczb losowych

Liczby losowe (a właściwie pseudolosowe które zachowują się jak zmienna losowa)można wykorzystać w reprezentatywnych badaniach statystycznych ekonomicznych, symulacjach, grach komputerowych systemach telekomunikacyjnych czy też czy algorytmach probabilistycznych (takich jak np. całkowanie Monte Carlo)

Zaletą tych liczb jest miedzy innymi w telekomunikacyji:

- niosą informacje

- mają korzystny charakter energetyczny

- dobre wykorzystanie kanału
- większa efektywność wykorzystania pasma

---