Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
ELEMENTY RACHUNKU
PRAWDOPODOBIE ´
NSTWA
Agnieszka Rossa
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Szkic wykładu
1
2
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
3
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
4
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Podział
Warto´s´c oczekiwana
Wariancja i odchylenie standardowe
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy,
Daniel i Nicolas
Bernoulli
udali si ˛e do Petersburga, gdzie odkryli pewn ˛
a
ciekawostk˛e, nazwan ˛
a potem
paradoksem petersburskim
.
1.
Rozpatrzmy pewn ˛
a gr ˛e losow ˛
a, polegaj ˛
ac ˛
a na rzucaniu
monet ˛
a. Przypu´s´cmy, ˙ze gracz opłaca swój udział w grze
pewn ˛
a sum ˛
a pieni ˛edzy K (np. wyra˙zon ˛
a w $).
2.
Gracz rzuca monet ˛
a i je´sli wypadnie rewers (przyjmijmy
dalej, ˙ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.
3.
Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.
4.
Je´sli w nast ˛epnym rzucie wypadnie reszka, wówczas
wygrywa podwojon ˛
a kwot ˛e, w przeciwnym razie powtarza
rzut monet ˛
a (czyli powtarza kroki 3-4, a˙z uzyska reszk˛e).
Pytanie: Jak ˛
a sum ˛e K powinien zapłaci ´c gracz przed
przyst ˛
apieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy,
Daniel i Nicolas
Bernoulli
udali si ˛e do Petersburga, gdzie odkryli pewn ˛
a
ciekawostk˛e, nazwan ˛
a potem
paradoksem petersburskim
.
1.
Rozpatrzmy pewn ˛
a gr ˛e losow ˛
a, polegaj ˛
ac ˛
a na rzucaniu
monet ˛
a. Przypu´s´cmy, ˙ze gracz opłaca swój udział w grze
pewn ˛
a sum ˛
a pieni ˛edzy K (np. wyra˙zon ˛
a w $).
2.
Gracz rzuca monet ˛
a i je´sli wypadnie rewers (przyjmijmy
dalej, ˙ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.
3.
Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.
4.
Je´sli w nast ˛epnym rzucie wypadnie reszka, wówczas
wygrywa podwojon ˛
a kwot ˛e, w przeciwnym razie powtarza
rzut monet ˛
a (czyli powtarza kroki 3-4, a˙z uzyska reszk˛e).
Pytanie: Jak ˛
a sum ˛e K powinien zapłaci ´c gracz przed
przyst ˛
apieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy,
Daniel i Nicolas
Bernoulli
udali si ˛e do Petersburga, gdzie odkryli pewn ˛
a
ciekawostk˛e, nazwan ˛
a potem
paradoksem petersburskim
.
1.
Rozpatrzmy pewn ˛
a gr ˛e losow ˛
a, polegaj ˛
ac ˛
a na rzucaniu
monet ˛
a. Przypu´s´cmy, ˙ze gracz opłaca swój udział w grze
pewn ˛
a sum ˛
a pieni ˛edzy K (np. wyra˙zon ˛
a w $).
2.
Gracz rzuca monet ˛
a i je´sli wypadnie rewers (przyjmijmy
dalej, ˙ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.
3.
Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.
4.
Je´sli w nast ˛epnym rzucie wypadnie reszka, wówczas
wygrywa podwojon ˛
a kwot ˛e, w przeciwnym razie powtarza
rzut monet ˛
a (czyli powtarza kroki 3-4, a˙z uzyska reszk˛e).
Pytanie: Jak ˛
a sum ˛e K powinien zapłaci ´c gracz przed
przyst ˛
apieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy,
Daniel i Nicolas
Bernoulli
udali si ˛e do Petersburga, gdzie odkryli pewn ˛
a
ciekawostk˛e, nazwan ˛
a potem
paradoksem petersburskim
.
1.
Rozpatrzmy pewn ˛
a gr ˛e losow ˛
a, polegaj ˛
ac ˛
a na rzucaniu
monet ˛
a. Przypu´s´cmy, ˙ze gracz opłaca swój udział w grze
pewn ˛
a sum ˛
a pieni ˛edzy K (np. wyra˙zon ˛
a w $).
2.
Gracz rzuca monet ˛
a i je´sli wypadnie rewers (przyjmijmy
dalej, ˙ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.
3.
Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.
4.
Je´sli w nast ˛epnym rzucie wypadnie reszka, wówczas
wygrywa podwojon ˛
a kwot ˛e, w przeciwnym razie powtarza
rzut monet ˛
a (czyli powtarza kroki 3-4, a˙z uzyska reszk˛e).
Pytanie: Jak ˛
a sum ˛e K powinien zapłaci ´c gracz przed
przyst ˛
apieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy,
Daniel i Nicolas
Bernoulli
udali si ˛e do Petersburga, gdzie odkryli pewn ˛
a
ciekawostk˛e, nazwan ˛
a potem
paradoksem petersburskim
.
1.
Rozpatrzmy pewn ˛
a gr ˛e losow ˛
a, polegaj ˛
ac ˛
a na rzucaniu
monet ˛
a. Przypu´s´cmy, ˙ze gracz opłaca swój udział w grze
pewn ˛
a sum ˛
a pieni ˛edzy K (np. wyra˙zon ˛
a w $).
2.
Gracz rzuca monet ˛
a i je´sli wypadnie rewers (przyjmijmy
dalej, ˙ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.
3.
Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.
4.
Je´sli w nast ˛epnym rzucie wypadnie reszka, wówczas
wygrywa podwojon ˛
a kwot ˛e, w przeciwnym razie powtarza
rzut monet ˛
a (czyli powtarza kroki 3-4, a˙z uzyska reszk˛e).
Pytanie: Jak ˛
a sum ˛e K powinien zapłaci ´c gracz przed
przyst ˛
apieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
W 1725 r. znani matematycy szwajcarscy,
Daniel i Nicolas
Bernoulli
udali si ˛e do Petersburga, gdzie odkryli pewn ˛
a
ciekawostk˛e, nazwan ˛
a potem
paradoksem petersburskim
.
1.
Rozpatrzmy pewn ˛
a gr ˛e losow ˛
a, polegaj ˛
ac ˛
a na rzucaniu
monet ˛
a. Przypu´s´cmy, ˙ze gracz opłaca swój udział w grze
pewn ˛
a sum ˛
a pieni ˛edzy K (np. wyra˙zon ˛
a w $).
2.
Gracz rzuca monet ˛
a i je´sli wypadnie rewers (przyjmijmy
dalej, ˙ze jest to reszka), wówczas wygrywa 2$.
3.
Gdy wypadnie awers (orzeł), wówczas rzuca ponownie.
4.
Je´sli w nast ˛epnym rzucie wypadnie reszka, wówczas
wygrywa podwojon ˛
a kwot ˛e, w przeciwnym razie powtarza
rzut monet ˛
a (czyli powtarza kroki 3-4, a˙z uzyska reszk˛e).
Pytanie: Jak ˛
a sum ˛e K powinien zapłaci ´c gracz przed
przyst ˛
apieniem do gry, aby gra była sprawiedliwa?
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
Odpowied´z brzmi – niesko ´nczon ˛
a! Innymi słowy, ˙zadna
suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a zapłat ˛
a za udział
w tej grze.
Z powy˙zszego wynika, ˙ze gra petersburska nie ma
praktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferze
ciekawostek.
Aby jednak zrozumie´c odpowied´z na zadane pytanie
trzeba pozna´c podstawowe poj ˛ecia zwi ˛
azane ze zmienn ˛
a
losow ˛
a i jej charakterystykami.
Poj ˛ecia te nale˙z ˛
a do podstawowych zagadnie ´n
rachunku
prawdopodobie ´
nstwa
. B ˛ed ˛
a one przedmiotem dalszych
rozwa˙za ´n.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
Odpowied´z brzmi – niesko ´nczon ˛
a! Innymi słowy, ˙zadna
suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a zapłat ˛
a za udział
w tej grze.
Z powy˙zszego wynika, ˙ze gra petersburska nie ma
praktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferze
ciekawostek.
Aby jednak zrozumie´c odpowied´z na zadane pytanie
trzeba pozna´c podstawowe poj ˛ecia zwi ˛
azane ze zmienn ˛
a
losow ˛
a i jej charakterystykami.
Poj ˛ecia te nale˙z ˛
a do podstawowych zagadnie ´n
rachunku
prawdopodobie ´
nstwa
. B ˛ed ˛
a one przedmiotem dalszych
rozwa˙za ´n.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
Odpowied´z brzmi – niesko ´nczon ˛
a! Innymi słowy, ˙zadna
suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a zapłat ˛
a za udział
w tej grze.
Z powy˙zszego wynika, ˙ze gra petersburska nie ma
praktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferze
ciekawostek.
Aby jednak zrozumie´c odpowied´z na zadane pytanie
trzeba pozna´c podstawowe poj ˛ecia zwi ˛
azane ze zmienn ˛
a
losow ˛
a i jej charakterystykami.
Poj ˛ecia te nale˙z ˛
a do podstawowych zagadnie ´n
rachunku
prawdopodobie ´
nstwa
. B ˛ed ˛
a one przedmiotem dalszych
rozwa˙za ´n.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład 1 (wprowadzaj ˛
acy)
Odpowied´z brzmi – niesko ´nczon ˛
a! Innymi słowy, ˙zadna
suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a zapłat ˛
a za udział
w tej grze.
Z powy˙zszego wynika, ˙ze gra petersburska nie ma
praktycznego zastosowania i pozostaje jedynie w sferze
ciekawostek.
Aby jednak zrozumie´c odpowied´z na zadane pytanie
trzeba pozna´c podstawowe poj ˛ecia zwi ˛
azane ze zmienn ˛
a
losow ˛
a i jej charakterystykami.
Poj ˛ecia te nale˙z ˛
a do podstawowych zagadnie ´n
rachunku
prawdopodobie ´
nstwa
. B ˛ed ˛
a one przedmiotem dalszych
rozwa˙za ´n.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przestrze ´
n zdarze ´
n elementarnych
Niech
Ω
(czyt. omega) oznacza zbiór wszystkich
mo˙zliwych wyników pewnego eksperymentu losowego.
Zbiór Ω nazywamy
przestrzeni ˛
a zdarze ´
n elementarnych
eksperymentu losowego.
Elementy zbioru Ω oznaczamy symbolem
ω
i nazywamy
zdarzeniami elementarnymi
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przestrze ´
n zdarze ´
n elementarnych
Niech
Ω
(czyt. omega) oznacza zbiór wszystkich
mo˙zliwych wyników pewnego eksperymentu losowego.
Zbiór Ω nazywamy
przestrzeni ˛
a zdarze ´
n elementarnych
eksperymentu losowego.
Elementy zbioru Ω oznaczamy symbolem
ω
i nazywamy
zdarzeniami elementarnymi
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przestrze ´
n zdarze ´
n elementarnych
Niech
Ω
(czyt. omega) oznacza zbiór wszystkich
mo˙zliwych wyników pewnego eksperymentu losowego.
Zbiór Ω nazywamy
przestrzeni ˛
a zdarze ´
n elementarnych
eksperymentu losowego.
Elementy zbioru Ω oznaczamy symbolem
ω
i nazywamy
zdarzeniami elementarnymi
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
. Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry. Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
.
Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry. Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
. Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki.
Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry. Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
. Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry. Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
. Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry.
Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
. Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry. Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 2.
Rozwa˙zmy eksperyment polegaj ˛
acy na
pojedynczym
rzucie monet ˛
a
. Zbiór Ω wszystkich mo˙zliwych wyników
tego eksperymentu ma posta´c Ω = {{O}, {R}}, gdzie
{O}, {R} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi oznaczaj ˛
acymi
odpowiednio wyrzucenie orła lub reszki. Zdarzenia te
oznaczymy umownie symbolami: ω
1
= {
O}, ω
2
= {
R}.
Przykład 3.
Niech eksperyment polega na
rzucie kostk ˛
a sze ´scienn ˛
a
do gry. Mamy wtedy:
Ω = {{
1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}},
gdzie ω
1
={
1},. . . ,ω
6
={
6} s ˛
a zdarzeniami elementarnymi.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
W przykładach 2 i 3 przestrze ´n Ω jest zbiorem
sko ´
nczonym
.
Przykład 4.
Wró´cmy do gry petersburskiej. Zauwa˙zymy, ˙ze
eksperyment ten mo˙zna opisa´c jako
rzucanie monet ˛
a do
momentu wyrzucenia reszki
.
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω ma w tym przypadku
posta´c:
Ω = {{
R}, {OR}, {OOR}, {OOOR}, {OOOOR}, . . .},
gdzie:
ω
1
= {
R}, ω
2
= {
OR}, ω
3
= {
OOR}, ω
4
= {
OOOR} . . .
to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.
Zauwa˙zymy, ˙ze zbiór Ω jest niesko ´nczony, ale
przeliczalny
(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
W przykładach 2 i 3 przestrze ´n Ω jest zbiorem
sko ´
nczonym
.
Przykład 4.
Wró´cmy do gry petersburskiej. Zauwa˙zymy, ˙ze
eksperyment ten mo˙zna opisa´c jako
rzucanie monet ˛
a do
momentu wyrzucenia reszki
.
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω ma w tym przypadku
posta´c:
Ω = {{
R}, {OR}, {OOR}, {OOOR}, {OOOOR}, . . .},
gdzie:
ω
1
= {
R}, ω
2
= {
OR}, ω
3
= {
OOR}, ω
4
= {
OOOR} . . .
to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.
Zauwa˙zymy, ˙ze zbiór Ω jest niesko ´nczony, ale
przeliczalny
(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
W przykładach 2 i 3 przestrze ´n Ω jest zbiorem
sko ´
nczonym
.
Przykład 4.
Wró´cmy do gry petersburskiej. Zauwa˙zymy, ˙ze
eksperyment ten mo˙zna opisa´c jako
rzucanie monet ˛
a do
momentu wyrzucenia reszki
.
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω ma w tym przypadku
posta´c:
Ω = {{
R}, {OR}, {OOR}, {OOOR}, {OOOOR}, . . .},
gdzie:
ω
1
= {
R}, ω
2
= {
OR}, ω
3
= {
OOR}, ω
4
= {
OOOR} . . .
to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.
Zauwa˙zymy, ˙ze zbiór Ω jest niesko ´nczony, ale
przeliczalny
(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
W przykładach 2 i 3 przestrze ´n Ω jest zbiorem
sko ´
nczonym
.
Przykład 4.
Wró´cmy do gry petersburskiej. Zauwa˙zymy, ˙ze
eksperyment ten mo˙zna opisa´c jako
rzucanie monet ˛
a do
momentu wyrzucenia reszki
.
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω ma w tym przypadku
posta´c:
Ω = {{
R}, {OR}, {OOR}, {OOOR}, {OOOOR}, . . .},
gdzie:
ω
1
= {
R}, ω
2
= {
OR}, ω
3
= {
OOR}, ω
4
= {
OOOR} . . .
to zdarzenia elementarne w tym eksperymencie.
Zauwa˙zymy, ˙ze zbiór Ω jest niesko ´nczony, ale
przeliczalny
(tj. równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 5.
Rozwa˙zmy inny eksperyment polegaj ˛
acy na
pomiarze
czasu oczekiwania w przychodni na wizyt ˛e u lekarza
(mierzony np. w godzinach).
Przestrze ´n Ω jest tu przedziałem liczb rzeczywistych [0, 8].
W tym przypadku Ω jest zbiorem niesko ´nczonym,
poniewa˙z w przedziale [0, 8] mie´sci si ˛e niesko ´nczenie
wiele liczb rzeczywistych.
Ponadto, zbiór Ω jest
nieprzeliczalny
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 5.
Rozwa˙zmy inny eksperyment polegaj ˛
acy na
pomiarze
czasu oczekiwania w przychodni na wizyt ˛e u lekarza
(mierzony np. w godzinach).
Przestrze ´n Ω jest tu przedziałem liczb rzeczywistych [0, 8].
W tym przypadku Ω jest zbiorem niesko ´nczonym,
poniewa˙z w przedziale [0, 8] mie´sci si ˛e niesko ´nczenie
wiele liczb rzeczywistych.
Ponadto, zbiór Ω jest
nieprzeliczalny
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 5.
Rozwa˙zmy inny eksperyment polegaj ˛
acy na
pomiarze
czasu oczekiwania w przychodni na wizyt ˛e u lekarza
(mierzony np. w godzinach).
Przestrze ´n Ω jest tu przedziałem liczb rzeczywistych [0, 8].
W tym przypadku Ω jest zbiorem niesko ´nczonym,
poniewa˙z w przedziale [0, 8] mie´sci si ˛e niesko ´nczenie
wiele liczb rzeczywistych.
Ponadto, zbiór Ω jest
nieprzeliczalny
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykłady przestrzeni zdarze ´
n elementarnych
Przykład 5.
Rozwa˙zmy inny eksperyment polegaj ˛
acy na
pomiarze
czasu oczekiwania w przychodni na wizyt ˛e u lekarza
(mierzony np. w godzinach).
Przestrze ´n Ω jest tu przedziałem liczb rzeczywistych [0, 8].
W tym przypadku Ω jest zbiorem niesko ´nczonym,
poniewa˙z w przedziale [0, 8] mie´sci si ˛e niesko ´nczenie
wiele liczb rzeczywistych.
Ponadto, zbiór Ω jest
nieprzeliczalny
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω co najwy˙zej
przeliczalnego
Je˙zeli przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω zawiera
sko ´nczon ˛
a lub przeliczaln ˛
a liczb ˛e elementów, to ka˙zdy
podzbiór zbioru Ω nazywamy
zdarzeniem losowym
.
Rodzin ˛e wszystkich zdarze ´n losowych danego ekspery-
mentu oznacza´c b ˛edziemy symbolem
Z
.
W przypadku eksperymentu polegaj ˛
acego na pojedyn-
czym rzucie monet ˛
a (zob. przykład 2), rodzina Z zdarze ´n
losowych jest postaci:
Z = {{O}, {R}, Ω, ∅},
gdzie ∅ oznacza zbiór pusty.
Rodzin ˛e Z tworz ˛
a tu wszystkie podzbiory zbioru Ω, ł ˛
acznie
z samym zbiorem Ω i jego dopełnieniem, czyli zbiorem ∅.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω co najwy˙zej
przeliczalnego
Je˙zeli przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω zawiera
sko ´nczon ˛
a lub przeliczaln ˛
a liczb ˛e elementów, to ka˙zdy
podzbiór zbioru Ω nazywamy
zdarzeniem losowym
.
Rodzin ˛e wszystkich zdarze ´n losowych danego ekspery-
mentu oznacza´c b ˛edziemy symbolem
Z
.
W przypadku eksperymentu polegaj ˛
acego na pojedyn-
czym rzucie monet ˛
a (zob. przykład 2), rodzina Z zdarze ´n
losowych jest postaci:
Z = {{O}, {R}, Ω, ∅},
gdzie ∅ oznacza zbiór pusty.
Rodzin ˛e Z tworz ˛
a tu wszystkie podzbiory zbioru Ω, ł ˛
acznie
z samym zbiorem Ω i jego dopełnieniem, czyli zbiorem ∅.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω co najwy˙zej
przeliczalnego
Je˙zeli przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω zawiera
sko ´nczon ˛
a lub przeliczaln ˛
a liczb ˛e elementów, to ka˙zdy
podzbiór zbioru Ω nazywamy
zdarzeniem losowym
.
Rodzin ˛e wszystkich zdarze ´n losowych danego ekspery-
mentu oznacza´c b ˛edziemy symbolem
Z
.
W przypadku eksperymentu polegaj ˛
acego na pojedyn-
czym rzucie monet ˛
a (zob. przykład 2), rodzina Z zdarze ´n
losowych jest postaci:
Z = {{O}, {R}, Ω, ∅},
gdzie ∅ oznacza zbiór pusty.
Rodzin ˛e Z tworz ˛
a tu wszystkie podzbiory zbioru Ω, ł ˛
acznie
z samym zbiorem Ω i jego dopełnieniem, czyli zbiorem ∅.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω co najwy˙zej
przeliczalnego
Je˙zeli przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω zawiera
sko ´nczon ˛
a lub przeliczaln ˛
a liczb ˛e elementów, to ka˙zdy
podzbiór zbioru Ω nazywamy
zdarzeniem losowym
.
Rodzin ˛e wszystkich zdarze ´n losowych danego ekspery-
mentu oznacza´c b ˛edziemy symbolem
Z
.
W przypadku eksperymentu polegaj ˛
acego na pojedyn-
czym rzucie monet ˛
a (zob. przykład 2), rodzina Z zdarze ´n
losowych jest postaci:
Z = {{O}, {R}, Ω, ∅},
gdzie ∅ oznacza zbiór pusty.
Rodzin ˛e Z tworz ˛
a tu wszystkie podzbiory zbioru Ω, ł ˛
acznie
z samym zbiorem Ω i jego dopełnieniem, czyli zbiorem ∅.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykład rodziny zdarze ´
n losowych
W przypadku eksperymentu polegaj ˛
acego na rzucie
kostk ˛
a do gry (zob. przykład 3) rodzina Z jest znacznie
liczniejsza. W jej skład wchodz ˛
a wszystkie podzbiory
jedno-, dwu-, trzy-, cztero- i pi ˛ecioelementowe, a ponadto,
cały zbiór Ω oraz zbiór pusty. Mamy wi ˛ec:
Z = {{1}, . . . , {6}, {1, 2}, . . . , {1, 6},
{2, 3}, . . . , {2, 6}, {3, 4}, . . . , {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6},
{1, 2, 3}, . . . , {1, 2, 3, 4}, . . . , {1, 2, 3, 4, 5}, . . . , Ω, ∅}.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω nieprzeliczalnego
Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jak
w przykładzie 5), wówczas nie ka˙zdy jego podzbiór
nazywamy zdarzeniem losowym.
Ograniczenie to wynika st ˛
ad, ˙ze zdarzeniom losowym
b ˛edziemy chcieli przyporz ˛
adkowa´c dalej
miar ˛e
prawdopodobie ´
nstwa
.
Aby mo˙zliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.
bezatomowej miary prawdopodobie ´nstwa, rodzina Z musi
by´c nieco ubo˙zsz ˛
a rodzin ˛
a podzbiorów zbioru Ω (jest ni ˛
a
pewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).
Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadku
nieprzeliczalnego zbioru Ω nie b ˛edzie omawiane.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω nieprzeliczalnego
Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jak
w przykładzie 5), wówczas nie ka˙zdy jego podzbiór
nazywamy zdarzeniem losowym.
Ograniczenie to wynika st ˛
ad, ˙ze zdarzeniom losowym
b ˛edziemy chcieli przyporz ˛
adkowa´c dalej
miar ˛e
prawdopodobie ´
nstwa
.
Aby mo˙zliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.
bezatomowej miary prawdopodobie ´nstwa, rodzina Z musi
by´c nieco ubo˙zsz ˛
a rodzin ˛
a podzbiorów zbioru Ω (jest ni ˛
a
pewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).
Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadku
nieprzeliczalnego zbioru Ω nie b ˛edzie omawiane.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω nieprzeliczalnego
Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jak
w przykładzie 5), wówczas nie ka˙zdy jego podzbiór
nazywamy zdarzeniem losowym.
Ograniczenie to wynika st ˛
ad, ˙ze zdarzeniom losowym
b ˛edziemy chcieli przyporz ˛
adkowa´c dalej
miar ˛e
prawdopodobie ´
nstwa
.
Aby mo˙zliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.
bezatomowej miary prawdopodobie ´nstwa, rodzina Z musi
by´c nieco ubo˙zsz ˛
a rodzin ˛
a podzbiorów zbioru Ω (jest ni ˛
a
pewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).
Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadku
nieprzeliczalnego zbioru Ω nie b ˛edzie omawiane.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´
n losowych dla zbioru Ω nieprzeliczalnego
Gdy Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym (tak, jak
w przykładzie 5), wówczas nie ka˙zdy jego podzbiór
nazywamy zdarzeniem losowym.
Ograniczenie to wynika st ˛
ad, ˙ze zdarzeniom losowym
b ˛edziemy chcieli przyporz ˛
adkowa´c dalej
miar ˛e
prawdopodobie ´
nstwa
.
Aby mo˙zliwe było w takim przypadku zdefiniowanie tzw.
bezatomowej miary prawdopodobie ´nstwa, rodzina Z musi
by´c nieco ubo˙zsz ˛
a rodzin ˛
a podzbiorów zbioru Ω (jest ni ˛
a
pewne σ-ciało podzbiorów zbioru Ω).
Zagadnienie definiowania takiej rodziny w przypadku
nieprzeliczalnego zbioru Ω nie b ˛edzie omawiane.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa
Ka˙zdemu zdarzeniu losowemu
A ∈ Z
mo˙zna przypisa´c
miar ˛e prawdopodobie ´nstwa
P(A)
, zwan ˛
a
prawdopodo-
bie ´
nstwem zdarzenia A
.
Własno´sci, jakimi powinna si ˛e charakteryzowa´c miara
prawdopodobie ´nstwa, okre´slaj ˛
a nast ˛epuj ˛
ace trzy
aksjomaty:
1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
,
2.
P(Ω) = 1
,
3.
je´sli
A
1
,
A
2
, . . . ∈ Z
s ˛
a parami rozł ˛
acznymi zdarzeniami
losowymi, tzn.
A
i
∩ A
j
= ∅
dla i 6= j, to:
P (∪
∞
i=1
A
i
) =
∞
X
i=1
P (A
i
) .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa
Ka˙zdemu zdarzeniu losowemu
A ∈ Z
mo˙zna przypisa´c
miar ˛e prawdopodobie ´nstwa
P(A)
, zwan ˛
a
prawdopodo-
bie ´
nstwem zdarzenia A
.
Własno´sci, jakimi powinna si ˛e charakteryzowa´c miara
prawdopodobie ´nstwa, okre´slaj ˛
a nast ˛epuj ˛
ace trzy
aksjomaty:
1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
,
2.
P(Ω) = 1
,
3.
je´sli
A
1
,
A
2
, . . . ∈ Z
s ˛
a parami rozł ˛
acznymi zdarzeniami
losowymi, tzn.
A
i
∩ A
j
= ∅
dla i 6= j, to:
P (∪
∞
i=1
A
i
) =
∞
X
i=1
P (A
i
) .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa
Ka˙zdemu zdarzeniu losowemu
A ∈ Z
mo˙zna przypisa´c
miar ˛e prawdopodobie ´nstwa
P(A)
, zwan ˛
a
prawdopodo-
bie ´
nstwem zdarzenia A
.
Własno´sci, jakimi powinna si ˛e charakteryzowa´c miara
prawdopodobie ´nstwa, okre´slaj ˛
a nast ˛epuj ˛
ace trzy
aksjomaty:
1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
,
2.
P(Ω) = 1
,
3.
je´sli
A
1
,
A
2
, . . . ∈ Z
s ˛
a parami rozł ˛
acznymi zdarzeniami
losowymi, tzn.
A
i
∩ A
j
= ∅
dla i 6= j, to:
P (∪
∞
i=1
A
i
) =
∞
X
i=1
P (A
i
) .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa
Ka˙zdemu zdarzeniu losowemu
A ∈ Z
mo˙zna przypisa´c
miar ˛e prawdopodobie ´nstwa
P(A)
, zwan ˛
a
prawdopodo-
bie ´
nstwem zdarzenia A
.
Własno´sci, jakimi powinna si ˛e charakteryzowa´c miara
prawdopodobie ´nstwa, okre´slaj ˛
a nast ˛epuj ˛
ace trzy
aksjomaty:
1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
,
2.
P(Ω) = 1
,
3.
je´sli
A
1
,
A
2
, . . . ∈ Z
s ˛
a parami rozł ˛
acznymi zdarzeniami
losowymi, tzn.
A
i
∩ A
j
= ∅
dla i 6= j, to:
P (∪
∞
i=1
A
i
) =
∞
X
i=1
P (A
i
) .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Aksjomatyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa
Ka˙zdemu zdarzeniu losowemu
A ∈ Z
mo˙zna przypisa´c
miar ˛e prawdopodobie ´nstwa
P(A)
, zwan ˛
a
prawdopodo-
bie ´
nstwem zdarzenia A
.
Własno´sci, jakimi powinna si ˛e charakteryzowa´c miara
prawdopodobie ´nstwa, okre´slaj ˛
a nast ˛epuj ˛
ace trzy
aksjomaty:
1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
,
2.
P(Ω) = 1
,
3.
je´sli
A
1
,
A
2
, . . . ∈ Z
s ˛
a parami rozł ˛
acznymi zdarzeniami
losowymi, tzn.
A
i
∩ A
j
= ∅
dla i 6= j, to:
P (∪
∞
i=1
A
i
) =
∞
X
i=1
P (A
i
) .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Klasyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa Laplace’a
Je´sli przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω zawiera n
jednakowo prawdopodobnych zdarze ´
n elementarnych
,
spo´sród których k sprzyja zaj´sciu zdarzenia losowego A, to
prawdopodobie ´nstwem P(A) zdarzenia A jest iloraz liczby
zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych do ł ˛
acznej liczby zdarze ´n, czyli:
P(A) =
k
n
.
Wró´cmy do przykładu 3. Rozwa˙zmy zdarzenie losowe A
polegaj ˛
ace na wyrzuceniu parzystej liczby oczek w rzucie
kostk ˛
a sze´scienn ˛
a. Przestrze ´n Ω składa si ˛e tu z sze´sciu
jednakowo prawdopodobnych zdarze ´n elementarnych.
Liczba zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych zaj´sciu zdarzenia A wynosi 3
(s ˛
a to: ω
2
={
2}, ω
4
={
4}, ω
6
={
6}). St ˛
ad P(A) =
3
6
=
1
2
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Klasyczna definicja prawdopodobie ´
nstwa Laplace’a
Je´sli przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Ω zawiera n
jednakowo prawdopodobnych zdarze ´
n elementarnych
,
spo´sród których k sprzyja zaj´sciu zdarzenia losowego A, to
prawdopodobie ´nstwem P(A) zdarzenia A jest iloraz liczby
zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych do ł ˛
acznej liczby zdarze ´n, czyli:
P(A) =
k
n
.
Wró´cmy do przykładu 3. Rozwa˙zmy zdarzenie losowe A
polegaj ˛
ace na wyrzuceniu parzystej liczby oczek w rzucie
kostk ˛
a sze´scienn ˛
a. Przestrze ´n Ω składa si ˛e tu z sze´sciu
jednakowo prawdopodobnych zdarze ´n elementarnych.
Liczba zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych zaj´sciu zdarzenia A wynosi 3
(s ˛
a to: ω
2
={
2}, ω
4
={
4}, ω
6
={
6}). St ˛
ad P(A) =
3
6
=
1
2
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przestrze ´
n probabilistyczna i zmienna losowa
Przestrzeni ˛
a probabilistyczn ˛
a
danego eksperymentu
losowego nazywamy trójk˛e:
(Ω, Z,
P).
Przestrze ´n probabilistyczna jest formalnym zapisem
(reprezentacj ˛
a) eksperymentu losowego.
Zmienn ˛
a losow ˛
a
(rzeczywist ˛
a) X nazywamy odwzoro-
wanie przyporz ˛
adkowuj ˛
ac ˛
a ka˙zdemu zdarzeniu
elementarnemu ω ze zbioru Ω liczb ˛e rzeczywist ˛
a, w taki
sposób, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej
b
podzbiór:
{ω : X (ω) < b}
jest zdarzeniem losowym, tj. nale˙zy do rodziny Z.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przestrze ´
n probabilistyczna i zmienna losowa
Przestrzeni ˛
a probabilistyczn ˛
a
danego eksperymentu
losowego nazywamy trójk˛e:
(Ω, Z,
P).
Przestrze ´n probabilistyczna jest formalnym zapisem
(reprezentacj ˛
a) eksperymentu losowego.
Zmienn ˛
a losow ˛
a
(rzeczywist ˛
a) X nazywamy odwzoro-
wanie przyporz ˛
adkowuj ˛
ac ˛
a ka˙zdemu zdarzeniu
elementarnemu ω ze zbioru Ω liczb ˛e rzeczywist ˛
a, w taki
sposób, ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej
b
podzbiór:
{ω : X (ω) < b}
jest zdarzeniem losowym, tj. nale˙zy do rodziny Z.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykład zmiennej losowej
Przykład 6.
Załó˙zmy, ˙ze zorganizowano gr ˛e polegaj ˛
ac ˛
a na rzucie
kostk ˛
a do gry (zob. przykład 3). Je´sli gracz wyrzuci 6
oczek, to wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie płaci 2 zł.
W ten sposób okre´slili´smy zmienn ˛
a losow ˛
a X (wygran ˛
a),
która przyporz ˛
adkowuje zdarzeniom elementarnym
ω
1
, ω
2
, . . . , ω
6
warto´sci rzeczywiste −2 lub 10 w nast ˛e-
puj ˛
acy sposób:
X (ω
1
) =
X (ω
2
) =
X (ω
3
) =
X (ω
4
) =
X (ω
5
) = −
2,
X (ω
6
) =
10,
gdzie ω
1
= {
1}, ω
2
= {
2},. . . ,ω
6
= {
6}.
Dla uproszczenia oznacze ´n warto´sci zmiennej X oznacza
si ˛e symbolem x
i
i okre´sla mianem
realizacji
zmiennej X .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykład zmiennej losowej
Przykład 6.
Załó˙zmy, ˙ze zorganizowano gr ˛e polegaj ˛
ac ˛
a na rzucie
kostk ˛
a do gry (zob. przykład 3). Je´sli gracz wyrzuci 6
oczek, to wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie płaci 2 zł.
W ten sposób okre´slili´smy zmienn ˛
a losow ˛
a X (wygran ˛
a),
która przyporz ˛
adkowuje zdarzeniom elementarnym
ω
1
, ω
2
, . . . , ω
6
warto´sci rzeczywiste −2 lub 10 w nast ˛e-
puj ˛
acy sposób:
X (ω
1
) =
X (ω
2
) =
X (ω
3
) =
X (ω
4
) =
X (ω
5
) = −
2,
X (ω
6
) =
10,
gdzie ω
1
= {
1}, ω
2
= {
2},. . . ,ω
6
= {
6}.
Dla uproszczenia oznacze ´n warto´sci zmiennej X oznacza
si ˛e symbolem x
i
i okre´sla mianem
realizacji
zmiennej X .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykład zmiennej losowej
Przykład 6.
Załó˙zmy, ˙ze zorganizowano gr ˛e polegaj ˛
ac ˛
a na rzucie
kostk ˛
a do gry (zob. przykład 3). Je´sli gracz wyrzuci 6
oczek, to wygrywa 10 zł, w przeciwnym razie płaci 2 zł.
W ten sposób okre´slili´smy zmienn ˛
a losow ˛
a X (wygran ˛
a),
która przyporz ˛
adkowuje zdarzeniom elementarnym
ω
1
, ω
2
, . . . , ω
6
warto´sci rzeczywiste −2 lub 10 w nast ˛e-
puj ˛
acy sposób:
X (ω
1
) =
X (ω
2
) =
X (ω
3
) =
X (ω
4
) =
X (ω
5
) = −
2,
X (ω
6
) =
10,
gdzie ω
1
= {
1}, ω
2
= {
2},. . . ,ω
6
= {
6}.
Dla uproszczenia oznacze ´n warto´sci zmiennej X oznacza
si ˛e symbolem x
i
i okre´sla mianem
realizacji
zmiennej X .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykład zmiennej losowej
Przykład 7.
W podobny sposób, jak w przykładzie 6, mo˙zemy
zdefiniowa´c zmienn ˛
a losow ˛
a X b ˛ed ˛
ac ˛
a wygran ˛
a w grze
petersburskiej (zob. przykład 1).
Mo˙zliwe realizacje tej zmiennej s ˛
a nast ˛epuj ˛
ace:
X (ω
1
) =
2, X (ω
2
) =
4, X (ω
3
) =
8, X (ω
4
) =
16
itd.
gdzie:
ω
1
= {
R}, ω
2
= {
OR}, ω
3
= {
OOR}, ω
4
= {
OOOR}, . . . .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Przykład zmiennej losowej
Przykład 7.
W podobny sposób, jak w przykładzie 6, mo˙zemy
zdefiniowa´c zmienn ˛
a losow ˛
a X b ˛ed ˛
ac ˛
a wygran ˛
a w grze
petersburskiej (zob. przykład 1).
Mo˙zliwe realizacje tej zmiennej s ˛
a nast ˛epuj ˛
ace:
X (ω
1
) =
2, X (ω
2
) =
4, X (ω
3
) =
8, X (ω
4
) =
16
itd.
gdzie:
ω
1
= {
R}, ω
2
= {
OR}, ω
3
= {
OOR}, ω
4
= {
OOOR}, . . . .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zmienne losowe – podział
Ze wzgl ˛edu na zbiór warto´sci przyjmowanych przez zmienn ˛
a
losow ˛
a wyró˙zniamy:
–
zmienne losowe skokowe
(inaczej – dyskretne),
–
zmienne losowe ci ˛
agłe
.
Je´sli zbiór warto´sci zmiennej losowej jest co najwy˙zej
przeliczalny, to tak ˛
a zmienn ˛
a nazywamy skokow ˛
a,
w przeciwnym przypadku zmienn ˛
a nazywamy ci ˛
agł ˛
a.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Zdarzenie losowe i rodzina zdarze ´n losowych
Aksjomatyczna i klasyczna definicja prawdopodobie ´nstwa
Przestrze ´n probabilistyczna i zmienna losowa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´
nstwa
Zmienne losowe – podział
Ze wzgl ˛edu na zbiór warto´sci przyjmowanych przez zmienn ˛
a
losow ˛
a wyró˙zniamy:
–
zmienne losowe skokowe
(inaczej – dyskretne),
–
zmienne losowe ci ˛
agłe
.
Je´sli zbiór warto´sci zmiennej losowej jest co najwy˙zej
przeliczalny, to tak ˛
a zmienn ˛
a nazywamy skokow ˛
a,
w przeciwnym przypadku zmienn ˛
a nazywamy ci ˛
agł ˛
a.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej skokowej
W odniesieniu do zmiennej losowej skokowej okre´slenie jej
rozkładu prawdopodobie ´nstwa sprowadza si ˛e do podania
funkcji rozkładu prawdopodobie ´
nstwa
, tj. do podania
prawdopodobie ´nstw
p
i
, z jakimi zmienna losowa X przyj-
muje kolejne realizacje x
i
, czyli:
p
i
=
P(X = x
i
),
i = 1, 2, . . . .
Rozkład ten cz ˛esto przedstawia si ˛e w postaci
tabelarycznej:
realizacje x
i
zmiennej X
x
1
x
2
. . .
x
k
. . .
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
p
1
p
2
. . .
p
k
. . .
1
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej skokowej
W odniesieniu do zmiennej losowej skokowej okre´slenie jej
rozkładu prawdopodobie ´nstwa sprowadza si ˛e do podania
funkcji rozkładu prawdopodobie ´
nstwa
, tj. do podania
prawdopodobie ´nstw
p
i
, z jakimi zmienna losowa X przyj-
muje kolejne realizacje x
i
, czyli:
p
i
=
P(X = x
i
),
i = 1, 2, . . . .
Rozkład ten cz ˛esto przedstawia si ˛e w postaci
tabelarycznej:
realizacje x
i
zmiennej X
x
1
x
2
. . .
x
k
. . .
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
p
1
p
2
. . .
p
k
. . .
1
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
W przykładzie 6, dotycz ˛
acym wygranej X w wysoko´sci -2
lub 10 zł, rozkład prawdopodobie ´nstwa ma posta´c:
P(X = −2) =
5
6
,
P(X = 10) =
1
6
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
−2
10
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
5
6
1
6
1
W przykładzie 7 rozkład prawdopodobie ´nstwa wygranej X
jest postaci:
P(X = 2)=
1
2
,
P(X = 4)=
1
2
·
1
2
=
1
4
,
P(X = 8)=
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1
8
itd.
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
2
4
8
16
. . .
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
1
2
1
4
1
8
1
16
. . .
1
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
W przykładzie 6, dotycz ˛
acym wygranej X w wysoko´sci -2
lub 10 zł, rozkład prawdopodobie ´nstwa ma posta´c:
P(X = −2) =
5
6
,
P(X = 10) =
1
6
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
−2
10
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
5
6
1
6
1
W przykładzie 7 rozkład prawdopodobie ´nstwa wygranej X
jest postaci:
P(X = 2)=
1
2
,
P(X = 4)=
1
2
·
1
2
=
1
4
,
P(X = 8)=
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1
8
itd.
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
2
4
8
16
. . .
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
1
2
1
4
1
8
1
16
. . .
1
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
W przykładzie 6, dotycz ˛
acym wygranej X w wysoko´sci -2
lub 10 zł, rozkład prawdopodobie ´nstwa ma posta´c:
P(X = −2) =
5
6
,
P(X = 10) =
1
6
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
−2
10
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
5
6
1
6
1
W przykładzie 7 rozkład prawdopodobie ´nstwa wygranej X
jest postaci:
P(X = 2)=
1
2
,
P(X = 4)=
1
2
·
1
2
=
1
4
,
P(X = 8)=
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1
8
itd.
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
2
4
8
16
. . .
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
1
2
1
4
1
8
1
16
. . .
1
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Przykład rozkładu zmiennej losowej skokowej
W przykładzie 6, dotycz ˛
acym wygranej X w wysoko´sci -2
lub 10 zł, rozkład prawdopodobie ´nstwa ma posta´c:
P(X = −2) =
5
6
,
P(X = 10) =
1
6
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
−2
10
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
5
6
1
6
1
W przykładzie 7 rozkład prawdopodobie ´nstwa wygranej X
jest postaci:
P(X = 2)=
1
2
,
P(X = 4)=
1
2
·
1
2
=
1
4
,
P(X = 8)=
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1
8
itd.
lub tabelarycznie
realizacje x
i
zmiennej X
2
4
8
16
. . .
razem
prawdopodobie ´nstwa p
i
1
2
1
4
1
8
1
16
. . .
1
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Dystrybuanta zmiennej losowej
Inn ˛
a, wa˙zn ˛
a funkcj ˛
a opisuj ˛
ac ˛
a rozkład zmiennej losowej X
(zarówno skokowej, jak i ci ˛
agłej) jest
dystrybuanta
,
tj. funkcja
F
okre´slona dla dowolnej, rzeczywistej warto´sci
b
jako:
F (b) = P(ω : X (ω) < b)
,
w skrócie
F (b) = P(X < b)
.
Dla ka˙zdego rzeczywistego b dystrybuanta F (b) podaje
prawdopodobie ´nstwo okre´slone dla podzbioru zdarze ´n
elementarnych {ω : X (ω) < b} (na mocy definicji zmiennej
losowej podzbiór ten jest zdarzeniem losowym, a tym
samym ma przyporz ˛
adkowane prawdopodobie ´nstwo).
Dla zmiennej losowej skokowej warto´s´c dystrybuanty F (b)
mo˙zna obliczy´c, sumuj ˛
ac prawdopodobie ´nstwa p
i
dla tych
realizacji x
i
, które s ˛
a mniejsze od b, czyli
F (b) =
P
x
i
<
b
p
i
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Dystrybuanta zmiennej losowej
Inn ˛
a, wa˙zn ˛
a funkcj ˛
a opisuj ˛
ac ˛
a rozkład zmiennej losowej X
(zarówno skokowej, jak i ci ˛
agłej) jest
dystrybuanta
,
tj. funkcja
F
okre´slona dla dowolnej, rzeczywistej warto´sci
b
jako:
F (b) = P(ω : X (ω) < b)
,
w skrócie
F (b) = P(X < b)
.
Dla ka˙zdego rzeczywistego b dystrybuanta F (b) podaje
prawdopodobie ´nstwo okre´slone dla podzbioru zdarze ´n
elementarnych {ω : X (ω) < b} (na mocy definicji zmiennej
losowej podzbiór ten jest zdarzeniem losowym, a tym
samym ma przyporz ˛
adkowane prawdopodobie ´nstwo).
Dla zmiennej losowej skokowej warto´s´c dystrybuanty F (b)
mo˙zna obliczy´c, sumuj ˛
ac prawdopodobie ´nstwa p
i
dla tych
realizacji x
i
, które s ˛
a mniejsze od b, czyli
F (b) =
P
x
i
<
b
p
i
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Dystrybuanta zmiennej losowej
Inn ˛
a, wa˙zn ˛
a funkcj ˛
a opisuj ˛
ac ˛
a rozkład zmiennej losowej X
(zarówno skokowej, jak i ci ˛
agłej) jest
dystrybuanta
,
tj. funkcja
F
okre´slona dla dowolnej, rzeczywistej warto´sci
b
jako:
F (b) = P(ω : X (ω) < b)
,
w skrócie
F (b) = P(X < b)
.
Dla ka˙zdego rzeczywistego b dystrybuanta F (b) podaje
prawdopodobie ´nstwo okre´slone dla podzbioru zdarze ´n
elementarnych {ω : X (ω) < b} (na mocy definicji zmiennej
losowej podzbiór ten jest zdarzeniem losowym, a tym
samym ma przyporz ˛
adkowane prawdopodobie ´nstwo).
Dla zmiennej losowej skokowej warto´s´c dystrybuanty F (b)
mo˙zna obliczy´c, sumuj ˛
ac prawdopodobie ´nstwa p
i
dla tych
realizacji x
i
, które s ˛
a mniejsze od b, czyli
F (b) =
P
x
i
<
b
p
i
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Interpretacja dystrybuanty
Dystrybuanta F w zadanym punkcie (oznaczonym tu przez
b, cho´c argument tej funkcji oznaczany jest cz ˛esto symbo-
lem x )
informuje, jakie jest prawdopodobie ´
nstwo, ˙ze
zaobserwujemy realizacj ˛e zmiennej losowej mniejsz ˛
a
od zadanej warto ´sci b
.
Wró´cmy do przykładu 7. Dystrybuant ˛e w ustalonym
punkcie b, np. dla b = 10 $, mo˙zemy interpretowa´c w tym
przykładzie jako prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze
wygrana b ˛edzie mniejsza od 10$, czyli:
F (10)=P(X < 10)=P(X = 2)+P(X = 4)+P(X = 8)=
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
,
a wi ˛ec prawdopodobie ´nstwo, i˙z wygrana w grze peters-
burskiej b ˛edzie mniejsza ni˙z 10$ jest wysokie, równe
7
8
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Interpretacja dystrybuanty
Dystrybuanta F w zadanym punkcie (oznaczonym tu przez
b, cho´c argument tej funkcji oznaczany jest cz ˛esto symbo-
lem x )
informuje, jakie jest prawdopodobie ´
nstwo, ˙ze
zaobserwujemy realizacj ˛e zmiennej losowej mniejsz ˛
a
od zadanej warto ´sci b
.
Wró´cmy do przykładu 7. Dystrybuant ˛e w ustalonym
punkcie b, np. dla b = 10 $, mo˙zemy interpretowa´c w tym
przykładzie jako prawdopodobie ´nstwo zdarzenia, ˙ze
wygrana b ˛edzie mniejsza od 10$, czyli:
F (10)=P(X < 10)=P(X = 2)+P(X = 4)+P(X = 8)=
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
,
a wi ˛ec prawdopodobie ´nstwo, i˙z wygrana w grze peters-
burskiej b ˛edzie mniejsza ni˙z 10$ jest wysokie, równe
7
8
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Własno ´sci dystrybuanty
Własno´sci dystrybuanty:
1.
jest funkcj ˛
a niemalej ˛
ac ˛
a,
2.
jest co najmniej lewostronnie ci ˛
agła,
3.
warto´sci dystrybuanty F d ˛
a˙z ˛
a do 1, gdy argument funkcji
d ˛
a˙zy do ∞ oraz do 0, gdy argument funkcji d ˛
a˙zy do −∞,
4.
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Własno ´sci dystrybuanty
Własno´sci dystrybuanty:
1.
jest funkcj ˛
a niemalej ˛
ac ˛
a,
2.
jest co najmniej lewostronnie ci ˛
agła,
3.
warto´sci dystrybuanty F d ˛
a˙z ˛
a do 1, gdy argument funkcji
d ˛
a˙zy do ∞ oraz do 0, gdy argument funkcji d ˛
a˙zy do −∞,
4.
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Własno ´sci dystrybuanty
Własno´sci dystrybuanty:
1.
jest funkcj ˛
a niemalej ˛
ac ˛
a,
2.
jest co najmniej lewostronnie ci ˛
agła,
3.
warto´sci dystrybuanty F d ˛
a˙z ˛
a do 1, gdy argument funkcji
d ˛
a˙zy do ∞ oraz do 0, gdy argument funkcji d ˛
a˙zy do −∞,
4.
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Własno ´sci dystrybuanty
Własno´sci dystrybuanty:
1.
jest funkcj ˛
a niemalej ˛
ac ˛
a,
2.
jest co najmniej lewostronnie ci ˛
agła,
3.
warto´sci dystrybuanty F d ˛
a˙z ˛
a do 1, gdy argument funkcji
d ˛
a˙zy do ∞ oraz do 0, gdy argument funkcji d ˛
a˙zy do −∞,
4.
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Własno ´sci dystrybuanty
Własno´sci dystrybuanty:
1.
jest funkcj ˛
a niemalej ˛
ac ˛
a,
2.
jest co najmniej lewostronnie ci ˛
agła,
3.
warto´sci dystrybuanty F d ˛
a˙z ˛
a do 1, gdy argument funkcji
d ˛
a˙zy do ∞ oraz do 0, gdy argument funkcji d ˛
a˙zy do −∞,
4.
P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
agłej
Dla zmiennej losowej ci ˛
agłej nie jest mo˙zliwe opisanie jej
rozkładu prawdopodobie ´nstwa poprzez podanie prawdo-
podobie ´nstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyli
przez podanie prawdopodobie ´nstw
P(X = x )
dla mo˙zli-
wych realizacji x .
Nawiasem mówi ˛
ac, w przypadku zmiennej ci ˛
agłej
prawdopodobie ´nstwa takie s ˛
a równe 0.
Mo˙zna jednak okre´sli´c prawdopodobie ´nstwa przyjmowania
przez zmienn ˛
a ci ˛
agł ˛
a warto´sci z ustalonych przedziałów
liczbowych.
Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ci ˛
agłej
wykorzystujemy tzw.
funkcj ˛e g ˛esto ´sci
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
agłej
Dla zmiennej losowej ci ˛
agłej nie jest mo˙zliwe opisanie jej
rozkładu prawdopodobie ´nstwa poprzez podanie prawdo-
podobie ´nstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyli
przez podanie prawdopodobie ´nstw
P(X = x )
dla mo˙zli-
wych realizacji x .
Nawiasem mówi ˛
ac, w przypadku zmiennej ci ˛
agłej
prawdopodobie ´nstwa takie s ˛
a równe 0.
Mo˙zna jednak okre´sli´c prawdopodobie ´nstwa przyjmowania
przez zmienn ˛
a ci ˛
agł ˛
a warto´sci z ustalonych przedziałów
liczbowych.
Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ci ˛
agłej
wykorzystujemy tzw.
funkcj ˛e g ˛esto ´sci
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
agłej
Dla zmiennej losowej ci ˛
agłej nie jest mo˙zliwe opisanie jej
rozkładu prawdopodobie ´nstwa poprzez podanie prawdo-
podobie ´nstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyli
przez podanie prawdopodobie ´nstw
P(X = x )
dla mo˙zli-
wych realizacji x .
Nawiasem mówi ˛
ac, w przypadku zmiennej ci ˛
agłej
prawdopodobie ´nstwa takie s ˛
a równe 0.
Mo˙zna jednak okre´sli´c prawdopodobie ´nstwa przyjmowania
przez zmienn ˛
a ci ˛
agł ˛
a warto´sci z ustalonych przedziałów
liczbowych.
Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ci ˛
agłej
wykorzystujemy tzw.
funkcj ˛e g ˛esto ´sci
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
agłej
Dla zmiennej losowej ci ˛
agłej nie jest mo˙zliwe opisanie jej
rozkładu prawdopodobie ´nstwa poprzez podanie prawdo-
podobie ´nstw pojedycznych realizacji tej zmiennej, czyli
przez podanie prawdopodobie ´nstw
P(X = x )
dla mo˙zli-
wych realizacji x .
Nawiasem mówi ˛
ac, w przypadku zmiennej ci ˛
agłej
prawdopodobie ´nstwa takie s ˛
a równe 0.
Mo˙zna jednak okre´sli´c prawdopodobie ´nstwa przyjmowania
przez zmienn ˛
a ci ˛
agł ˛
a warto´sci z ustalonych przedziałów
liczbowych.
Z tego powodu do opisu rozkładu zmiennej losowej ci ˛
agłej
wykorzystujemy tzw.
funkcj ˛e g ˛esto ´sci
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
agłej
Funkcj ˛e g ˛esto ´sci
zmiennej losowej ci ˛
agłej definiujemy
wzorem:
f (x ) = lim
h→0
P(x ≤ X < x + h)
h
.
Warto´s´c f (x ) mo˙zemy interpretowa´c jako prawdopodo-
bie ´nstwo zaobserwowania realizacji zmiennej X w prze-
dziale [x , x + h) przy zało˙zeniu, ˙ze długo´s´c h przedziału
d ˛
a˙zy do 0, przy czym prawdopodobie ´nstwo to okre´sla si ˛e
w przeliczeniu na jednostk˛e długo´sci (st ˛
ad dzielenie przez
h w powy˙zszym wyra˙zeniu).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Rozkład zmiennej losowej ci ˛
agłej
Funkcj ˛e g ˛esto ´sci
zmiennej losowej ci ˛
agłej definiujemy
wzorem:
f (x ) = lim
h→0
P(x ≤ X < x + h)
h
.
Warto´s´c f (x ) mo˙zemy interpretowa´c jako prawdopodo-
bie ´nstwo zaobserwowania realizacji zmiennej X w prze-
dziale [x , x + h) przy zało˙zeniu, ˙ze długo´s´c h przedziału
d ˛
a˙zy do 0, przy czym prawdopodobie ´nstwo to okre´sla si ˛e
w przeliczeniu na jednostk˛e długo´sci (st ˛
ad dzielenie przez
h w powy˙zszym wyra˙zeniu).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Dystrybuanta zmiennej losowej ci ˛
agłej
W przypadku zmiennej losowej ci ˛
agłej zachodzi:
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =
Z
b
a
f (x )dx .
Zauwa˙zymy, ˙ze przyjmuj ˛
ac a = −∞, otrzymujemy:
P(−∞ < X < b) = P(X < b) =
Z
b
−∞
f (x )dx .
Z powy˙zszego wynika, ˙ze dystrybuant ˛e F zmiennej
losowej ci ˛
agłej mo˙zna zapisa´c wzorem:
F (b) =
Z
b
−∞
f (x )dx .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Dystrybuanta zmiennej losowej ci ˛
agłej
W przypadku zmiennej losowej ci ˛
agłej zachodzi:
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =
Z
b
a
f (x )dx .
Zauwa˙zymy, ˙ze przyjmuj ˛
ac a = −∞, otrzymujemy:
P(−∞ < X < b) = P(X < b) =
Z
b
−∞
f (x )dx .
Z powy˙zszego wynika, ˙ze dystrybuant ˛e F zmiennej
losowej ci ˛
agłej mo˙zna zapisa´c wzorem:
F (b) =
Z
b
−∞
f (x )dx .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej
Podstawowe charakterystyki funkcyjne
Dystrybuanta zmiennej losowej ci ˛
agłej
W przypadku zmiennej losowej ci ˛
agłej zachodzi:
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =
Z
b
a
f (x )dx .
Zauwa˙zymy, ˙ze przyjmuj ˛
ac a = −∞, otrzymujemy:
P(−∞ < X < b) = P(X < b) =
Z
b
−∞
f (x )dx .
Z powy˙zszego wynika, ˙ze dystrybuant ˛e F zmiennej
losowej ci ˛
agłej mo˙zna zapisa´c wzorem:
F (b) =
Z
b
−∞
f (x )dx .
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Warto´s´c oczekiwana
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Podział
Podstawowymi charakterystykami liczbowymi (inaczej parame-
trami) rozkładu zmiennej losowej skokowej i ci ˛
agłej s ˛
a:
–
warto´s´c oczekiwana
E (X )
,
–
wariancja
D
2
(
X )
,
–
odchylenie standardowe
D(X )
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Warto´s´c oczekiwana
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Podział
Podstawowymi charakterystykami liczbowymi (inaczej parame-
trami) rozkładu zmiennej losowej skokowej i ci ˛
agłej s ˛
a:
–
warto´s´c oczekiwana
E (X )
,
–
wariancja
D
2
(
X )
,
–
odchylenie standardowe
D(X )
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Warto´s´c oczekiwana
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Podział
Podstawowymi charakterystykami liczbowymi (inaczej parame-
trami) rozkładu zmiennej losowej skokowej i ci ˛
agłej s ˛
a:
–
warto´s´c oczekiwana
E (X )
,
–
wariancja
D
2
(
X )
,
–
odchylenie standardowe
D(X )
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Warto´s´c oczekiwana
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Podział
Podstawowymi charakterystykami liczbowymi (inaczej parame-
trami) rozkładu zmiennej losowej skokowej i ci ˛
agłej s ˛
a:
–
warto´s´c oczekiwana
E (X )
,
–
wariancja
D
2
(
X )
,
–
odchylenie standardowe
D(X )
.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Warto ´s ´c oczekiwana
Warto ´sci ˛
a oczekiwan ˛
a
zmiennej losowej (o ile istnieje)
nazywamy liczb ˛e, oznaczon ˛
a umownie symbolem E (X ),
zdefiniowan ˛
a wzorem:
E (X ) =
P
i
x
i
· p
i
,
dla zmiennej losowej
skokowej,
R
+∞
−∞
x · f (x )dx ,
dla zmiennej losowej
ci ˛
agłej,
gdzie p
i
≡ P(X = x
i
)
dla i = 1, 2, . . . oznacza funkcj ˛e rozkładu
prawdopodobie ´nstwa zmiennej losowej skokowej, natomiast
f (x ) dla x ∈
R oznacza funkcj ˛e g ˛esto´sci zmiennej losowej
ci ˛
agłej.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancj ˛
a
zmiennej losowej jest warto´s´c oczekiwan ˛
a kwadratu
odchyle ´n zmiennej losowej od jej warto´sci oczekiwanej, czyli:
D
2
(
X ) = E (X − E (X ))
2
.
Zauwa˙zymy, ˙ze oznaczaj ˛
ac
Y = (X − E (X ))
2
, wariancj ˛e D
2
(
X )
mo˙zemy oblicza´c jako warto´s´c oczekiwan ˛
a zmiennej losowej Y .
St ˛
ad, przez analogi ˛e do formuły na warto´s´c oczekiwan ˛
a, mamy:
D
2
(
X ) =
(
P
i
(
x
i
− E(X ))
2
· p
i
,
dla zmiennej skokowej,
R
+∞
−∞
(
x − E (X ))
2
· f (x)dx,
dla zmiennej ci ˛
agłej.
Odchyleniem standardowym
D(X ) nazywamy pierwiastek
kwadratowy z wariancji, czyli:
D(X ) =
pD
2
(
X ).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancj ˛
a
zmiennej losowej jest warto´s´c oczekiwan ˛
a kwadratu
odchyle ´n zmiennej losowej od jej warto´sci oczekiwanej, czyli:
D
2
(
X ) = E (X − E (X ))
2
.
Zauwa˙zymy, ˙ze oznaczaj ˛
ac
Y = (X − E (X ))
2
, wariancj ˛e D
2
(
X )
mo˙zemy oblicza´c jako warto´s´c oczekiwan ˛
a zmiennej losowej Y .
St ˛
ad, przez analogi ˛e do formuły na warto´s´c oczekiwan ˛
a, mamy:
D
2
(
X ) =
(
P
i
(
x
i
− E(X ))
2
· p
i
,
dla zmiennej skokowej,
R
+∞
−∞
(
x − E (X ))
2
· f (x)dx,
dla zmiennej ci ˛
agłej.
Odchyleniem standardowym
D(X ) nazywamy pierwiastek
kwadratowy z wariancji, czyli:
D(X ) =
pD
2
(
X ).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancj ˛
a
zmiennej losowej jest warto´s´c oczekiwan ˛
a kwadratu
odchyle ´n zmiennej losowej od jej warto´sci oczekiwanej, czyli:
D
2
(
X ) = E (X − E (X ))
2
.
Zauwa˙zymy, ˙ze oznaczaj ˛
ac
Y = (X − E (X ))
2
, wariancj ˛e D
2
(
X )
mo˙zemy oblicza´c jako warto´s´c oczekiwan ˛
a zmiennej losowej Y .
St ˛
ad, przez analogi ˛e do formuły na warto´s´c oczekiwan ˛
a, mamy:
D
2
(
X ) =
(
P
i
(
x
i
− E(X ))
2
· p
i
,
dla zmiennej skokowej,
R
+∞
−∞
(
x − E (X ))
2
· f (x)dx,
dla zmiennej ci ˛
agłej.
Odchyleniem standardowym
D(X ) nazywamy pierwiastek
kwadratowy z wariancji, czyli:
D(X ) =
pD
2
(
X ).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
W przykładzie 6 warto´s´c oczekiwana wygranej wynosi:
E (X ) =
P
2
i=1
x
i
p
i
= −
2 ·
5
6
+
10 ·
1
6
=
0 zł.
Wielko´s´c ta informuje, jaka jest przeci ˛etna wygrana
przypadaj ˛
aca na pojedyncz ˛
a gr ˛e w przypadku, gdyby
powtarza´c t ˛e gr ˛e wielokrotnie (a dokładniej – niesko ´ncze-
nie wiele razy).
Poniewa˙z przeci ˛etna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,
a wi ˛ec gr ˛e mo˙zemy uzna´c za sprawiedliw ˛
a.
Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosz ˛
a:
D
2
(
X ) =
P
2
i=1
(
x
i
− E(X ))
2
p
i
=
(−
2 − 0)
2
·
5
6
+ (
10 − 0)
2
·
1
6
=
20, D(X ) =
√
20 ≈ 4, 5 zł,
co oznacza, ˙ze wygrane w pojedycznych grach odchylaj ˛
a
si ˛e od warto´sci przeci ˛etnej, równej 0 zł, ´srednio o ok. 4, 5zł.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
W przykładzie 6 warto´s´c oczekiwana wygranej wynosi:
E (X ) =
P
2
i=1
x
i
p
i
= −
2 ·
5
6
+
10 ·
1
6
=
0 zł.
Wielko´s´c ta informuje, jaka jest przeci ˛etna wygrana
przypadaj ˛
aca na pojedyncz ˛
a gr ˛e w przypadku, gdyby
powtarza´c t ˛e gr ˛e wielokrotnie (a dokładniej – niesko ´ncze-
nie wiele razy).
Poniewa˙z przeci ˛etna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,
a wi ˛ec gr ˛e mo˙zemy uzna´c za sprawiedliw ˛
a.
Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosz ˛
a:
D
2
(
X ) =
P
2
i=1
(
x
i
− E(X ))
2
p
i
=
(−
2 − 0)
2
·
5
6
+ (
10 − 0)
2
·
1
6
=
20, D(X ) =
√
20 ≈ 4, 5 zł,
co oznacza, ˙ze wygrane w pojedycznych grach odchylaj ˛
a
si ˛e od warto´sci przeci ˛etnej, równej 0 zł, ´srednio o ok. 4, 5zł.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
W przykładzie 6 warto´s´c oczekiwana wygranej wynosi:
E (X ) =
P
2
i=1
x
i
p
i
= −
2 ·
5
6
+
10 ·
1
6
=
0 zł.
Wielko´s´c ta informuje, jaka jest przeci ˛etna wygrana
przypadaj ˛
aca na pojedyncz ˛
a gr ˛e w przypadku, gdyby
powtarza´c t ˛e gr ˛e wielokrotnie (a dokładniej – niesko ´ncze-
nie wiele razy).
Poniewa˙z przeci ˛etna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,
a wi ˛ec gr ˛e mo˙zemy uzna´c za sprawiedliw ˛
a.
Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosz ˛
a:
D
2
(
X ) =
P
2
i=1
(
x
i
− E(X ))
2
p
i
=
(−
2 − 0)
2
·
5
6
+ (
10 − 0)
2
·
1
6
=
20, D(X ) =
√
20 ≈ 4, 5 zł,
co oznacza, ˙ze wygrane w pojedycznych grach odchylaj ˛
a
si ˛e od warto´sci przeci ˛etnej, równej 0 zł, ´srednio o ok. 4, 5zł.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
W przykładzie 6 warto´s´c oczekiwana wygranej wynosi:
E (X ) =
P
2
i=1
x
i
p
i
= −
2 ·
5
6
+
10 ·
1
6
=
0 zł.
Wielko´s´c ta informuje, jaka jest przeci ˛etna wygrana
przypadaj ˛
aca na pojedyncz ˛
a gr ˛e w przypadku, gdyby
powtarza´c t ˛e gr ˛e wielokrotnie (a dokładniej – niesko ´ncze-
nie wiele razy).
Poniewa˙z przeci ˛etna wygrana wynosi w tym przypadku 0zł,
a wi ˛ec gr ˛e mo˙zemy uzna´c za sprawiedliw ˛
a.
Wariancja i odchylenie standardowe wygranej wynosz ˛
a:
D
2
(
X ) =
P
2
i=1
(
x
i
− E(X ))
2
p
i
=
(−
2 − 0)
2
·
5
6
+ (
10 − 0)
2
·
1
6
=
20, D(X ) =
√
20 ≈ 4, 5 zł,
co oznacza, ˙ze wygrane w pojedycznych grach odchylaj ˛
a
si ˛e od warto´sci przeci ˛etnej, równej 0 zł, ´srednio o ok. 4, 5zł.
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
Wracaj ˛
ac do gry petersburskiej (zob. przykłady 1 i 7),
skorzystamy z analogicznej formuły:
P
∞
i=1
x
i
p
i
=
2 ·
1
2
+
4 ·
1
4
+
8 ·
1
8
+ . . . =
1 + 1 + 1 + . . . = ∞.
Suma ma w tym przypadku niesko ´nczenie wiele wyrazów,
ka˙zdy równy 1, co oznacza, ˙ze suma jest niesko ´nczona.
Odpowiadaj ˛
ac ponownie na pytanie w przykładzie 1,
stwierdzamy, ˙ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,
przyst ˛epuj ˛
ac do gry, wpłacił pocz ˛
atkow ˛
a kwot ˛e K , b ˛ed ˛
ac ˛
a
równowarto´sci ˛
a powy˙zszej sumy.
Wniosek:
˙
Zadna suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a
zapłat ˛
a za udział w grze petersburskiej (mimo, ˙ze w grze
wysokie prawdopodobie ´nstwo maj ˛
a jedynie małe wygrane,
np. mniejsze ni˙z 10 $).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
Wracaj ˛
ac do gry petersburskiej (zob. przykłady 1 i 7),
skorzystamy z analogicznej formuły:
P
∞
i=1
x
i
p
i
=
2 ·
1
2
+
4 ·
1
4
+
8 ·
1
8
+ . . . =
1 + 1 + 1 + . . . = ∞.
Suma ma w tym przypadku niesko ´nczenie wiele wyrazów,
ka˙zdy równy 1, co oznacza, ˙ze suma jest niesko ´nczona.
Odpowiadaj ˛
ac ponownie na pytanie w przykładzie 1,
stwierdzamy, ˙ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,
przyst ˛epuj ˛
ac do gry, wpłacił pocz ˛
atkow ˛
a kwot ˛e K , b ˛ed ˛
ac ˛
a
równowarto´sci ˛
a powy˙zszej sumy.
Wniosek:
˙
Zadna suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a
zapłat ˛
a za udział w grze petersburskiej (mimo, ˙ze w grze
wysokie prawdopodobie ´nstwo maj ˛
a jedynie małe wygrane,
np. mniejsze ni˙z 10 $).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
Wracaj ˛
ac do gry petersburskiej (zob. przykłady 1 i 7),
skorzystamy z analogicznej formuły:
P
∞
i=1
x
i
p
i
=
2 ·
1
2
+
4 ·
1
4
+
8 ·
1
8
+ . . . =
1 + 1 + 1 + . . . = ∞.
Suma ma w tym przypadku niesko ´nczenie wiele wyrazów,
ka˙zdy równy 1, co oznacza, ˙ze suma jest niesko ´nczona.
Odpowiadaj ˛
ac ponownie na pytanie w przykładzie 1,
stwierdzamy, ˙ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,
przyst ˛epuj ˛
ac do gry, wpłacił pocz ˛
atkow ˛
a kwot ˛e K , b ˛ed ˛
ac ˛
a
równowarto´sci ˛
a powy˙zszej sumy.
Wniosek:
˙
Zadna suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a
zapłat ˛
a za udział w grze petersburskiej (mimo, ˙ze w grze
wysokie prawdopodobie ´nstwo maj ˛
a jedynie małe wygrane,
np. mniejsze ni˙z 10 $).
Agnieszka Rossa
Podstawowe poj ˛ecia rachunku prawdopodobie ´nstwa
Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wariancja i odchylenie standardowe
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Przykład obliczania warto ´sci oczekiwanej i odchylenia standardowego
Wracaj ˛
ac do gry petersburskiej (zob. przykłady 1 i 7),
skorzystamy z analogicznej formuły:
P
∞
i=1
x
i
p
i
=
2 ·
1
2
+
4 ·
1
4
+
8 ·
1
8
+ . . . =
1 + 1 + 1 + . . . = ∞.
Suma ma w tym przypadku niesko ´nczenie wiele wyrazów,
ka˙zdy równy 1, co oznacza, ˙ze suma jest niesko ´nczona.
Odpowiadaj ˛
ac ponownie na pytanie w przykładzie 1,
stwierdzamy, ˙ze gra byłaby sprawiedliwa, gdyby gracz,
przyst ˛epuj ˛
ac do gry, wpłacił pocz ˛
atkow ˛
a kwot ˛e K , b ˛ed ˛
ac ˛
a
równowarto´sci ˛
a powy˙zszej sumy.
Wniosek:
˙
Zadna suma pieni ˛edzy nie jest wystarczaj ˛
ac ˛
a
zapłat ˛
a za udział w grze petersburskiej (mimo, ˙ze w grze
wysokie prawdopodobie ´nstwo maj ˛
a jedynie małe wygrane,
np. mniejsze ni˙z 10 $).
Agnieszka Rossa
Document Outline
- Przyklad wprowadzajcy
- Podstawowe pojcia rachunku prawdopodobienstwa
- Charakterystyki funkcyjne zmiennej losowej
- Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
7 ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Microsoft Word W25 elementy rach operatorowego
Rach Prawdop Oznaczenie
01 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwaid 2804 ppt
Elementy rachunku prawdopodobie Nieznany
ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
MwN Test 5 Elementy rachunku prawdopodobienstwa kl3
elementy rachunku prawdopodobienstwa sprawdzian matematyka woko nas 3
Rach pdp(dla stud), Studia - Materiały, Rachunek Prawdopodobieństwa
2013 10 Rachunek prawdopodobieństwa i elementy statystyki
Wyk 02 Pneumatyczne elementy
więcej podobnych podstron