GRAWITACJA 

Prawo powszechnego ciążenia (prawo grawitacji) 

Dwa punkty materialne o masach 

i 

przyciągają się wzajemnie siłą proporcjo‐

1

m

2

m

nalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości  . 

r

 

1

2

,   

 

gdzie   

   (stała grawitacji). 

2

m m

F

G

r

=

11

2

2

6, 67 10

N m /kg

G

−

=

⋅

 

Prawo to zostało sformułowane przez Newtona w 1687 r. Wynika z wielu obserwacji, głów‐

nie astronomicznych, oraz z eksperymentów przeprowadzonych na Ziemi. Stała grawitacji 

jest stałą uniwersalną, niezależną od rodzaju ciał. 

 

Ciała rozciągłe o skończonych rozmiarach traktujemy jako układy punktów materialnych. Siły 

przyciągania między takimi ciałami oblicza się przez całkowanie prawa powszechnego ciąże‐

nia dla punktów materialnych. Można udowodnić, że 

Jednorodne ciała kuliste oraz ciała złożone z jednorodnych koncentrycznych warstw 

kulistych przyciągają się tak, jak punkty materialne umieszczone w ich środkach. 

Grawitacja 1

 

Pole grawitacyjne 

Jest to pole sił przyciągania grawitacyjnego w przestrzeni otaczającej masę 

M

. Jeśli masa 

M

 

jest punktem materialnym, jednorodnym ciałem kulistym, lub ciałem złożonym z jednorod‐

nych koncentrycznych warstw kulistych, to pole grawitacyjne wytwarzane przez masę 

M

 

opisane jest wyrażeniem  

 

2

M m

F

G

r

=

   

 

‐ masa próbna,  ‐ odległość od środka masy 

m

r

M

.

   

 

Pole grawitacyjne masy 

M

 można opisać wektorowo 

 

3

M m r

F

G

r

= −

G

G

, 

 

 

r

G

   ‐ wektor o początku w środku masy 

M

, wskazujący 

położenie masy próbnej  . 

m

 

Natężenie pola 

   ‐ 

grawitacyjnego

 

Stosunek siły działającej na masę próbną do wartości tej masy.

 

3

F

M r

G

m

r

γ

=

= −

G

G

G

 

 

 

Grawitacja 2

 

Energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym 

Pole grawitacyjne jest polem zachowawczym, dlatego można określić energię potencjalną 

ciał znajdujących się w tym polu. 

 

2

2

2

2

1

1

1

3

2

1

1

1

p

p

p

p

r ds

dr

E

E

F ds

E

G M m

E

G M m

r

r

=

−

=

+

=

+

∫

∫

∫

G G

G G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(w polu grawitacyjnym zachodzi 

) 

r

r ds

r e ds

r dr

=

=

G G

G G

 

Zazwyczaj przyjmujemy, że energia potencjalna ciała   znajdującego się nieskończenie dużej 

odległości od masy 

 jest równa zeru. Stąd mamy 

m

M

 

2

1

( )

0

r

r

p

dr

M m

E r

G M m

G M m

G

r

r

r

∞

∞

⎛

⎞

= +

=

−

= −

⎜

⎟

⎝

⎠

∫

 

 

Energia potencjalna masy próbnej   jest ujemna i rośnie w 

miarę oddalania się od masy 

, osiągając wartość zero w 

nieskończoności. 

m

M

Grawitacja 3

 

Potencjał pola grawitacyjnego 

 

Jest to stosunek energii potencjalnej masy próbnej 

do wartości tej masy.

m

 

( )

( )

p

E r

M

V r

G

m

r

=

= −

   

 

Potencjał określa energię potencjalną w odległości   od środka masy 

r

M

 przypadającą na 

jednostkę masy próbnej i wyraża się w J/kg. 

 

Masa grawitacyjna a masa bezwładna 

W powyższych wzorach masa ma znaczenie masy grawitacyjnej, 

g

m

, będącej źródłem od‐

działywania grawitacyjnego. Masa grawitacyjna ma więc inny sens fizyczny niż masa bez‐

władna, 

, występująca np. w równaniu 

a

b

m

F

m

=

. Na podstawie doświadczeń można jednak 

przyjąć, że stosunek tych mas jest taki sam dla wszystkich obiektów materialnych. W dal‐

szych rozważaniach przyjmiemy 

m

g

b

m

m

=

=

. 

 

Grawitacja 4

 

Ciężar ciał 

Ciężar ciała 

      ‐  Siła, jaką ciało materialne jest przyciągane przez Ziemię.

 

Ponieważ Ziemię możemy traktować jako ciało złożone z jednorodnych koncentrycznych 

warstw kulistych, ciało o masie   znajdujące się w pobliżu jej powierzchni (przy 

R

m

r

=

, gdzie 

 jest promieniem Ziemi) jest przyciągane z siłą 

R

 

2

M m

F

G

R

=

 

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła ta nadaje ciału   przyspieszenie 

m

g

 

 

2

F

M

g

G

m

R

=

=

 

Wartość 

g

 nie jest stała. W różnych punktach powierzchni Ziemi wartość ta zależy od a) 

spłaszczenia kuli ziemskiej, b) ruchu obrotowego Ziemi, c) niejednorodności budowy Ziemi. 

Znając  ,   i   można obliczyć masę Ziemi 

g

G

R

 

2

24

6 10

kg

R g

M

G

=

≈ ⋅

Grawitacja 5

 

Grawitacja 6

 

Korzystając z pierwszego z tych wyrażeń znajdźmy przybliżone wyrażenie na energię poten‐

cjalną ciała o masie   znajdującego się na wysokości   nad poziomem położonym w odle‐

głości   od środka ciała o masie 

m

h

R

M

, przy czym założymy 

. 

h

R



 

2

1

( )

1

1

const

p

M m

M m

M m

h

E h

G

G

G

h

R

h

R

R

R

R

M m

M

G

mG

h

mgh

R

R

⎛

⎞

= −

= −

−

−

⎜

⎟

+

⎝

⎠

+

= −

+

=

+



 

Wniosek: dla 

R

 obydwa wyrażenia na energię potencjalną są zgodne. 

h 

Grawitacyjna energia potencjalna ciała w pobliżu powierzchni Ziemi

 

Pytamy, czy nie ma sprzeczności między tymi wyrażeniami. 

Pokazaliśmy, że w ogólności dla 

R

 zachodzi 

r

≥

zaś w pobliżu powierzchni Ziemi mamy 

 

( )

const

p

E h

mgh

=

+

 

 

( )

p

M m

E r

G

r

= −