35. Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Podejście podstawowe

Zasada nieoznaczoności - ogólny postulat mechaniki kwantowej głoszący, że nie wszystkie
wielkości z układu kwantowego mogą mieć jednocześnie dobrze określoną wartość.

Nie możemy na raz dokładnie zmierzyć:

–

położenia i pędu:

 x  p

ℏ
2

–

dwóch składowych momentu pędu:

 L

i

 L

j



ℏ
2

∣

〈 L

k

〉

∣

–

energii i czasu:

 E t

ℏ

2

Nie jest tak, że pomiar np. położenia powoduje „zniszczenie”pędu. Zasadę nieoznaczoności należy
interpretować raczej w taki sposób, że niepewność pomiarowa jednej z wielkości rośnie, jeśli
niepewność drugiej będziemy zmniejszać, tzn. jeżeli bardzo dokładnie zmierzymy położenie, to
pomiar pędu będzie obarczony dużą niedokładnością, ale nie zmieni to samego pędu.

Wnioski z zasady nieoznaczoności

–

Ponieważ nie jest możliwe jednoczesne dokładne zmierzenie położenia i pędu, to model atomu
Bohra nie ma sensu. Zamiast o orbitach elektronów możemy mówić o chmurach elektronowych.

–

Z nieoznaczoności energii i czasu wynika, że próżni mogą powstawać cząstki na czas tym
krótszy im większa jest ich energia.

–

Z powyższego wynika tzw. parowanie czarnych dziur (promieniowanie Hawkinga)

Oczywiście z zasady nieoznaczoności może wynikać dużo innych faktów.

Podejście rozszerzone

Zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji operatorów.

Komutator dwóch operatorów A i B – wielkość oznaczana [A,B], której wartość równa jest różnicy
ilorazów prawostronnego i lewostronnego tych operatorów
[A,B] ═ AB − BA
Komutator jest miarą nieprzemienności operatorów.
Jeżeli komutator operatorów jest równy zero, mówimy, że operatory te komutują ze sobą.

1

Obserwabla – operator hermitowski (samosprzężony) reprezentujący mierzalną wielkość fizyczną.

Wartość średnia obserwabli:

〈 A〉=〈

∣

A

∣

〉=

∫

−∞

∞



∗

r Ardr

3

Wariancja – klasyczna miara zmienności. Wariancja zmiennej losowej X jest równa



2

 X =E  X

2

−

[

E

 X 

]

2

, gdzie E(X) – wartość oczekiwana. Pierwiastek kwadratowy z

wariancji to odchylenie standardowe.

Nieoznaczoność położenie-pęd

Operator położenia (wzdłuż osi x):

x= x

Operator pędu (x-owa składowa):

p

x

=−i ℏ ∂

∂ x

[ x , p

x

]=i ℏ

Zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu:



2

x 

2

 p

x



ℏ

2

4

Nieoznaczoność składowych momentu pędu

Operator momentu pędu:

L=r×p

Składowe operatora:

L

x

=−i ℏ



y ∂

∂ z

−z ∂

∂ y



L

y

=−i ℏ



z ∂

∂ x

−x ∂

∂ z



L

z

=−i ℏ



x ∂

∂ y

− y ∂

∂ x



komutatory:

[ L

x

, 

L

y

]=i ℏ L

z

[ L

x

, 

L

z

]=−i ℏ L

y

[ L

y

, 

L

z

]=i ℏ L

x

2

Ogólna postać zasady nieoznaczoności
Jeżeli w danym stanie kwantowym

∣



〉

wektory

A

∣



〉

i B

∣



〉

są prawidłowo

określonymi wektorami stanu, to



2

 A 

2

 B

1

4

∣

〈

∣

[ A , B]

∣

 〉

∣

2

gdzie

A , B

są dowolnymi obserwablami, natomiast 

2

oznacza wariancję

Zasady nieoznaczoności dla składowych momentu pędu:



2

 L

x



2

 L

y



ℏ

2

4

∣

〈 L

z

〉

∣

2



2

 L

x



2

 L

z



ℏ

2

4

∣

〈 L

y

〉

∣

2



2

 L

y



2

 L

z



ℏ

2

4

∣

〈L

x

〉

∣

2

Zasada nieoznaczoności energia-pęd

W mechanice kwantowej nie jest zdefiniowany operator czasu, dlatego ta zasada nieoznaczoności
nie jest tak rozumiana jak poprzednie i jest w inny sposób wyprowadzana.

Operatorem energii jest hamiltonian:

H = p

2

2m

V r , t

Weźmy zasadę nieoznaczoności dla dowolnej obserwabli, która nie zależy jawnie od czasu i
hamiltonianu



2

 A 

2

 H 

1

4

∣

〈

∣

[ A , H ]

∣

〉

∣

2

Skorzystajmy z równania:

〈

[ A , H ]

〉

=i ℏ

d

〈 A〉

dt

−i ℏ

〈

∂ A

∂t

〉

Ponieważ A nie zależy jawnie od czasu, drugi człon po prawej stronie jest zerowy.
Po podstawieniu:



2

 A 

2

 H 

ℏ

2

4

∣

d

〈 A〉
dt

∣

2



2

 A

∣

d

〈 A〉

dt

∣

2



2

 H 

ℏ

2

4

Oznaczmy:



2

=



2

 A

∣

d

〈 A〉
dt

∣

2

τ możemy interpretować jako czas trwania fluktuacji. Jest to czas potrzebny aby zmiany wartości
oczekiwanej A (mianownik) były porównywalne z jej odchyleniem standardowym (licznik).

3