35. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Podejście podstawowe
Zasada nieoznaczoności - ogólny postulat mechaniki kwantowej głoszący, że nie wszystkie wielkości z układu kwantowego mogą mieć jednocześnie dobrze określoną wartość.
Nie możemy na raz dokładnie zmierzyć:
ℏ
–
położenia i pędu: x p 2
ℏ
–
dwóch składowych momentu pędu: L L
〉
i
j
∣〈 L ∣
2
k
ℏ
–
energii i czasu: E t 2
Nie jest tak, że pomiar np. położenia powoduje „zniszczenie”pędu. Zasadę nieoznaczoności należy interpretować raczej w taki sposób, że niepewność pomiarowa jednej z wielkości rośnie, jeśli niepewność drugiej będziemy zmniejszać, tzn. jeżeli bardzo dokładnie zmierzymy położenie, to pomiar pędu będzie obarczony dużą niedokładnością, ale nie zmieni to samego pędu.
Wnioski z zasady nieoznaczoności
–
Ponieważ nie jest możliwe jednoczesne dokładne zmierzenie położenia i pędu, to model atomu Bohra nie ma sensu. Zamiast o orbitach elektronów możemy mówić o chmurach elektronowych.
–
Z nieoznaczoności energii i czasu wynika, że próżni mogą powstawać cząstki na czas tym krótszy im większa jest ich energia.
–
Z powyższego wynika tzw. parowanie czarnych dziur (promieniowanie Hawkinga) Oczywiście z zasady nieoznaczoności może wynikać dużo innych faktów.
Podejście rozszerzone
Zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji operatorów.
Komutator dwóch operatorów A i B – wielkość oznaczana [ A,B], której wartość równa jest różnicy ilorazów prawostronnego i lewostronnego tych operatorów
[ A,B] ═ AB − BA
Komutator jest miarą nieprzemienności operatorów.
Jeżeli komutator operatorów jest równy zero, mówimy, że operatory te komutują ze sobą.
1
Ogólna postać zasady nieoznaczoności Jeżeli w danym stanie kwantowym ∣〉 wektory A∣〉 i B∣〉 są prawidłowo określonymi wektorami stanu, to
2 A 2 B 1 ∣〈∣[ A, B]∣ 〉∣2
4
gdzie
A , B są dowolnymi obserwablami, natomiast 2 oznacza wariancję Obserwabla – operator hermitowski (samosprzężony) reprezentujący mierzalną wielkość fizyczną.
∞
Wartość średnia obserwabli: 〈 A〉=〈∣ A∣〉=∫ ∗ r A r dr 3
−∞
Wariancja – klasyczna miara zmienności. Wariancja zmiennej losowej X jest równa
2 X = E X 2−[ E X ]2 , gdzie E( X) – wartość oczekiwana. Pierwiastek kwadratowy z wariancji to odchylenie standardowe.
Nieoznaczoność położenie-pęd
Operator położenia (wzdłuż osi x):
x= x
Operator pędu (x-owa składowa):
p =− i ℏ ∂
x
∂ x
[ x , px]= i ℏ
Zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu:
ℏ2
2 x 2 p
x
4
Nieoznaczoność składowych momentu pędu
Operator momentu pędu: L= r× p Składowe operatora:
L =− i ℏ y ∂ − z ∂
x
∂ z
∂ y
L =− i ℏ z ∂ − x ∂
y
∂ x
∂ z
L =− i ℏ x ∂ − y ∂
z
∂ y
∂ x
komutatory:
[ L , L ]= i ℏ L
x
y
z
[ L , L ]=− i ℏ L
x
z
y
[ L , L ]= i ℏ L
y
z
x
2
Zasady nieoznaczoności dla składowych momentu pędu: ℏ2
2 L 2 L
〉
x
y
∣〈 L ∣2
4
z
ℏ2
2 L 2 L
〉
x
z
∣〈 L ∣2
4
y
ℏ2
2 L 2 L
〉
y
z
∣〈 L ∣2
4
x
Zasada nieoznaczoności energia-pęd
W mechanice kwantowej nie jest zdefiniowany operator czasu, dlatego ta zasada nieoznaczoności nie jest tak rozumiana jak poprzednie i jest w inny sposób wyprowadzana.
p 2
Operatorem energii jest hamiltonian:
H =
V r , t
2m
Weźmy zasadę nieoznaczoności dla dowolnej obserwabli, która nie zależy jawnie od czasu i hamiltonianu
2 A 2
H 1 ∣〈∣[ A , H ]∣〉∣2
4
Skorzystajmy z równania:
〈[ A, H]〉= iℏ d 〈 A〉− iℏ〈∂ A〉
dt
∂ t
Ponieważ A nie zależy jawnie od czasu, drugi człon po prawej stronie jest zerowy.
Po podstawieniu:
ℏ2
2 A 2 H ∣ d 〈 A〉∣2
4
dt
2 A
ℏ2
∣
2 H
d 〈 A〉∣2
4
dt
Oznaczmy:
2 A
2=∣ d〈 A〉∣2
dt
τ możemy interpretować jako czas trwania fluktuacji. Jest to czas potrzebny aby zmiany wartości oczekiwanej A (mianownik) były porównywalne z jej odchyleniem standardowym (licznik).
3