35. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Podejście podstawowe

Zasada nieoznaczoności - ogólny postulat mechaniki kwantowej głoszący, że nie wszystkie wielkości z układu kwantowego mogą mieć jednocześnie dobrze określoną wartość.

Nie możemy na raz dokładnie zmierzyć:

ℏ

–

położenia i pędu:  x  p 2

ℏ

–

dwóch składowych momentu pędu:  L  L 

〉

i

j

∣〈 L ∣

2

k

ℏ

–

energii i czasu:  E  t 2

Nie jest tak, że pomiar np. położenia powoduje „zniszczenie”pędu. Zasadę nieoznaczoności należy interpretować raczej w taki sposób, że niepewność pomiarowa jednej z wielkości rośnie, jeśli niepewność drugiej będziemy zmniejszać, tzn. jeżeli bardzo dokładnie zmierzymy położenie, to pomiar pędu będzie obarczony dużą niedokładnością, ale nie zmieni to samego pędu.

Wnioski z zasady nieoznaczoności

–

Ponieważ nie jest możliwe jednoczesne dokładne zmierzenie położenia i pędu, to model atomu Bohra nie ma sensu. Zamiast o orbitach elektronów możemy mówić o chmurach elektronowych.

–

Z nieoznaczoności energii i czasu wynika, że próżni mogą powstawać cząstki na czas tym krótszy im większa jest ich energia.

–

Z powyższego wynika tzw. parowanie czarnych dziur (promieniowanie Hawkinga) Oczywiście z zasady nieoznaczoności może wynikać dużo innych faktów.

Podejście rozszerzone

Zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji operatorów.

Komutator dwóch operatorów A i B – wielkość oznaczana [ A,B], której wartość równa jest różnicy ilorazów prawostronnego i lewostronnego tych operatorów

[ A,B] ═ AB − BA

Komutator jest miarą nieprzemienności operatorów.

Jeżeli komutator operatorów jest równy zero, mówimy, że operatory te komutują ze sobą.

1

Ogólna postać zasady nieoznaczoności Jeżeli w danym stanie kwantowym ∣〉 wektory  A∣〉 i  B∣〉 są prawidłowo określonymi wektorami stanu, to

2   A 2  B 1 ∣〈∣[  A,  B]∣ 〉∣2

4

gdzie

 A ,  B są dowolnymi obserwablami, natomiast 2 oznacza wariancję Obserwabla – operator hermitowski (samosprzężony) reprezentujący mierzalną wielkość fizyczną.

∞

Wartość średnia obserwabli: 〈  A〉=〈∣ A∣〉=∫ ∗ r  A r dr 3

−∞

Wariancja – klasyczna miara zmienności. Wariancja zmiennej losowej X jest równa

2 X = E  X 2−[ E  X ]2 , gdzie E( X) – wartość oczekiwana. Pierwiastek kwadratowy z wariancji to odchylenie standardowe.

Nieoznaczoność położenie-pęd

Operator położenia (wzdłuż osi x):

 x= x

Operator pędu (x-owa składowa):

 p =− i ℏ ∂

x

∂ x

[  x ,  px]= i ℏ

Zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu:

ℏ2

2  x 2  p 

x

4

Nieoznaczoność składowych momentu pędu

Operator momentu pędu:  L= r×  p Składowe operatora:

 L =− i ℏ y ∂ − z ∂ 

x

∂ z

∂ y

 L =− i ℏ z ∂ − x ∂ 

y

∂ x

∂ z

 L =− i ℏ x ∂ − y ∂ 

z

∂ y

∂ x

komutatory:

[  L ,  L ]= i ℏ  L

x

y

z

[  L ,  L ]=− i ℏ  L

x

z

y

[  L ,  L ]= i ℏ  L

y

z

x

2

Zasady nieoznaczoności dla składowych momentu pędu: ℏ2

2   L 2  L 

〉

x

y

∣〈 L ∣2

4

z

ℏ2

2   L 2  L 

〉

x

z

∣〈 L ∣2

4

y

ℏ2

2   L 2  L 

〉

y

z

∣〈 L ∣2

4

x

Zasada nieoznaczoności energia-pęd

W mechanice kwantowej nie jest zdefiniowany operator czasu, dlatego ta zasada nieoznaczoności nie jest tak rozumiana jak poprzednie i jest w inny sposób wyprowadzana.

 p 2

Operatorem energii jest hamiltonian: 

H =

 V  r , t

2m

Weźmy zasadę nieoznaczoności dla dowolnej obserwabli, która nie zależy jawnie od czasu i hamiltonianu

2   A 2 

H  1 ∣〈∣[  A ,  H ]∣〉∣2

4

Skorzystajmy z równania:

〈[  A,  H]〉= iℏ d 〈  A〉− iℏ〈∂  A〉

dt

∂ t

Ponieważ A nie zależy jawnie od czasu, drugi człon po prawej stronie jest zerowy.

Po podstawieniu:

ℏ2

2   A 2  H  ∣ d 〈  A〉∣2

4

dt

2  A

ℏ2

∣

2  H 

d 〈  A〉∣2

4

dt

Oznaczmy:

2   A

2=∣ d〈 A〉∣2

dt

τ możemy interpretować jako czas trwania fluktuacji. Jest to czas potrzebny aby zmiany wartości oczekiwanej A (mianownik) były porównywalne z jej odchyleniem standardowym (licznik).

3