Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
1
Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy
funkcję
taką, że:
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
1
Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy
funkcję
taką, że:
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
2
Przykład:
Rzucamy dwoma symetrycznymi kostkami:
czterościenną (z liczbą oczek od 1 do 4)
i sześciościenną. Niech:
, dla
Zdefiniuj i narysuj dystrybuantę zmiennej
losowej
.
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
3
Własności dystrybuanty dyskretnej zmiennej
losowej:
funkcja niemalejąca
przyjmuje wartości z przedziału [0,1]
prawostronnie ciągła
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
4
Przykład:
Niech:
Wyznacz
rozkład
prawdopodobieństwa
zmiennej losowej .
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
5
Przykład:
Rzucamy symetryczną monetą aż do momentu
gdy wypadnie pierwszy orzeł. Niech zmienna
losowa oznacza liczbę wykonanych rzutów.
Znajdź
rozkład
prawdopodobieństwa
,
dystrybuantę
oraz
oblicz:
,
,
,
,
, .
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
6
Dystrybuanta
często
ułatwia
obliczenie
prawdopodobieństwa znalezienia się zmiennej
losowej w przedziale liczbowym, gdyż:
Czyli:
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
7
Przykład:
Niech oznacza wynik rzutu symetryczną
sześcienną kostką do gry. Oblicz średnią
wartość zmiennej losowej .
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
8
Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną,
średnią) dyskretnej zmiennej losowej
nazywamy liczbę:
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
9
Przykład:
Gra polega na wyciągnięciu trzech kul z urny
zawierającej 1 kulę białą, 5 czerwonych i 10
czarnych. Jeśli gracz wyciągnie same kule
czerwone, to wygrywa 10 zł, jeśli wyciągnie
kule we wszystkich kolorach, to wygrywa 2 zł.
Za udział w grze gracz płaci 1 zł. Jaki jest średni
zysk prowadzącego grę?
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
10
Przykład:
Jak
musiałaby
być
główna
wygrana
w poprzedniej grze, aby gra była sprawiedliwa?
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
11
Gra jest sprawiedliwa jeśli średnia wygrana
gracza (średnia wygrana prowadzącego grę)
jest równa 0.
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
12
Własności wartości oczekiwanej:
dla
dla
dla
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
13
dla dowolnej funkcji mamy
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
14
Przykład:
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Niech
oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce,
oznacza wynik rzutu na drugiej kostce, zaś
–
sumę oczek na obydwu kostkach. Oblicz
,
,
,
,
.
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
15
Wariancją dyskretnej zmiennej losowej
nazywamy liczbę:
,
czyli:
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
16
Własności wariancji:
dla
dla
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
17
jeśli i są niezależne, to
jeśli
są
niezależne,
to
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
18
Odchyleniem
standardowym
dyskretnej
zmiennej losowej nazywamy liczbę:
Matematyka Dyskretna – wykład 7
dr Marcin Raniszewski
19
Przykład:
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Niech
oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce,
oznacza wynik rzutu na drugiej kostce, zaś
–
sumę oczek na obydwu kostkach. Oblicz
,
,
,
.