gr. KrZZFr1211,1213,1214 – Ćwiczenia 5, 6

Funkcje dwóch zmiennych

1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

a)





9

3

3

,

2

2

3

2











x

y

y

x

x

y

x

f

,

b)





x

y

y

x

x

y

x

f

15

3

3

,

3

2

3









,

c)





1

6

8

,

3

3









xy

y

x

y

x

f

,

d)





2

2

6

,

xy

y

x

xy

y

x

f







,

e)





2

2

2

3

5

2

,

y

x

xy

x

y

x

f









,

f)





x

x

y

x

x

y

y

x

f

9

3

1

,

3

2

2









,

g)





3

2

6

3

,

y

xy

y

x

y

x

f







,

h)





4

12

3

3

2

,

2

3

3













x

y

x

y

x

y

x

f

.

i)





4

6

3

6

,

3

2













y

x

y

xy

x

y

x

f

.

2.

Wyznaczyć ekstrema funkcji

a)





xy

y

x

f



,

przy warunku

8

2

2



 y

x

,

b)



 







y

x

x

x

y

y

x

f









2

,

przy warunku

y

x

2

10

1

4

3





,

c)





2

2

,

y

x

y

x

f





przy warunku

6

2

3



 y

x

,

d)





y

x

y

x

f

2

,





przy warunku

5

2

2



 y

x

,

e)





y

x

y

x

f





,

przy warunku

9

2

2







y

xy

x

,

f)





y

x

y

x

f



 2

,

przy warunku

8

2

2

2



 y

x

,

h)





xy

y

x

f

5

,



przy warunku

6



 y

x

,

i)





xy

y

x

f



,

przy warunku

3

2



 y

x

.

3.

Dana jest funkcja





y

x

y

x

y

x

f







2

2

,

.

a) Wyznaczyć oraz narysować dziedzinę tej funkcji.

b) Obliczyć i zinterpretować





4

,

3

/

x

f

oraz

 

4

,

3

/

y

f

.

c) Obliczyć i zinterpretować elastyczności cząstkowe funkcji

f

w punkcie

 

4

,

3

0



P

.

4.

Dana jest funkcja kosztu całkowitego





2

4

3

,

y

x

y

y

x

K





, gdzie 

x

wielkość

produkcji,



y

wielkość zmagazynowania. Wyznaczyć koszty krańcowe cząstkowe dla

50

0



x

,

25

0



y

. Podać interpretację otrzymanych wyników.

5. Popyt na jabłka jest następującą funkcją:





q

p

q

q

q

p

Q







2

2

e

,

, gdzie



p

cena gruszek,



q

cena jabłek.

Wyznaczyć i zinterpretować elastyczności cząstkowe dla

3

0



p

oraz

2

0



q

.