CAŁKA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.2
zastosowanie metody całkowania przez podstawianie

Przykłady

1.

R

2x sin x

2

dx =

(

t

=

x

2

(t)

0

dt

=

(x

2

)

0

dx

dt

=

2xdx

)

=

R

sin tdt = − cos t + c =

=



wracamy do zmiennej x

= − cos x

2

+ c

2.

R

x

3

√

x

4

+ 3dx =

R

√

x

4

+ 3 · x

3

dx =







t

=

x

4

+ 3

(t)

0

dt

=

(x

4

+ 3)

0

dx

dt

=

4x

3

dx/ : 4

1
4

dt

=

x

3

dx







=

=

R

√

t ·

1
4

dt =

1
4

R

t

1

2

dt =

1
4

·

1

1

2

+1

t

1

2

+1

+ c =

1
4

·

2
3

t

3

2

+ c =

1
6

t

3

2

+ c =

=



wracamy do zmiennej x

=

1
6

(x

4

+ 3)

3

2

+ c

Sprawdzenie: (

1
6

(x

4

+ 3)

3

2

+ c)

0

=

1
6

·

3
2

(x

4

+ 3)

3

2

−1

· (x

4

+ 3)

0

=

1
4

(x

4

+ 3)

1

2

· 4x

3

= x

3

√

x

4

+ 3

3.

R

dx

(arcsin x)

4

√

1−x

2

=



t

=

arcsin x

dt

=

1

√

1−x

2

dx



=

R

1

t

4

dt =

R

t

−4

dt =

1

−4+1

t

−4+1

+ c =

= −

1
3

(arcsin x)

−3

+ c

Zadania

Stosując metodę całkowania przez podstawienie znaleźć całki nieoznaczone:

1.

R

2x(x

2

− 5)

20

dx =

2.

R

x

2

√

2x

3

+ 3dx =

3.

R

xe

x

2

dx =

4.

R

x cos x

2

dx =

5.

R

x

2

sin

2

x

3

dx =

6.

R

ln x

x

dx =

7.

R

sin

5

x cos xdx =

8.

R

x

2

e

1−x

3

dx =

9.

R

2x

3

3

√

5 − x

4

dx =

10.

R

x

√

2x

2

−3

dx =

11.

R

sin

√

x

√

x

dx =

12.

R

xdx

(3−x

2

)

4

=

13.

R

e

√

2x

√

x

dx =

14.

R

cos x

√

2 sin x + 3dx =

15.

R

e

sin x

cos xdx =

16.

R

(arccos x)

3

√

1−x

2

dx =

17.

R

dx

(1+x

2

)arctg x

=

18.

R

dx

x(2+3 ln x)

=

19.

R

e

x

√

2e

x

− 1dx =

20.

R

cos(lnx)dx

x

=

21.

R

e

arcctg 3x

dx

1+9x

2

=

22.

R

sin 8xdx =

23.

R

e

2
3

x

dx =

24.

R

1

cos

2

4x

dx =

25.

R

cos(6 − 4x)dx =

26.

R

sin

2x+1

3

dx =

27.

R

1

1+(

1−2x

4

)

2

dx =

28.

R

2x

(x−1)

8

dx =

29.

R

2x

3

x

8

+1

dx =

30.

R

x

5

3

√

x

2

− 1dx =

31.

R

x−1

√

x+1

dx =

32.

R

cos(lnx

2

)dx

x

=

33.

R

2x

5

dx

√

2x

3

−4

=

34.

R

e

3x

e

2x

+1

dx =

35.

R

sin xdx

4

√

3 cos x+1

=

36.

R

e

3x

√

2e

x

− 1dx =

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG