CAŁKA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.4
całka logarytmiczna i zadania różne

Przykłady

1.

∫

2x

x

2

−5

dx = ln

|x

2

− 5| + c, gdyż (x

2

− 5)

′

= 2x

2.

∫

3x

2x

2

+3

dx =

3
4

∫

4x

2x

2

+3

dx =

3
4

ln

|2x

2

+ 3

| + c, gdyż (2x

2

+ 3)

′

= 4x

3.

∫

ctg xdx ==

∫

cos x

sin x

dx = ln

| sin x| + c, gdyż (sin x)

′

= cos x

4.

∫

3x

−1

x

2

+1

dx =

∫

3x

x

2

+1

dx

−

∫

1

x

2

+1

dx =

3
2

∫

2x

x

2

+1

dx

−

∫

1

x

2

+1

dx =

3
2

ln

|x

2

+ 1

| − arctg x + c

Zadania

Znaleźć całki nieoznaczone:

1.

∫

x

x

2

+2

dx =

2.

∫

x

2

2x

3

−1

dx =

3.

∫

x

−1

x

2

+1

dx =

4.

∫

tg xdx =

5.

∫

ctg (2x)dx =

6.

∫

sin x

1

−cos x

dx =

Przykłady

1.

∫

ln x

x(ln x

−1)

3

dx =










t

=

ln x

− 1

dt

=

1

x

dx

t + 1

=

ln x










=

∫

t+1

t

3

dt =

∫

t

−2

dt +

∫

t

−3

dt =

1

−2+1

t

−2+1

+

1

−3+1

t

−3+1

+ c =

=

−t

−1

−

1
2

t

−2

+ c

2.

∫

xe

−3x

dx =

{

u = x

v

′

= e

−3x

u

′

= 1

v =

∫

e

−3x

dx =

−

1
3

e

−3x

}

=

−

1
3

xe

−3x

−

∫

(

−

1
3

e

−3x

)dx =

=

−

1
3

xe

−3x

+

1
3

∫

e

−3x

dx = =

−

1
3

xe

−3x

+

1
3

(

−

1
3

e

−3x

) + c ==

−

1
3

xe

−3x

−

1
9

e

−3x

+ c

3.

∫

x

3

e

x

2

dx =

∫

x

2

e

x

2

xdx =










t

=

x

2

dt

=

2xdx/ : 2

1
2

dt

=

xdx










=

1
2

∫

te

t

dt =

{

u = t

v

′

= e

t

u

′

= 1

v = e

t

}

=

1
2

(te

t

−

∫

e

t

dt) =

=

1
2

(te

t

− e

t

) + c =

1
2

(x

2

e

x

2

− e

x

2

) + c

Zadania

Znaleźć całki nieoznaczone:

1.

∫

x

(x+1)

5

dx =

2.

∫

x

5

(1+x

2

)

3

dx =

3.

∫

x

3

(2

−x)

6

dx =

4.

∫

xarctg x

2

dx =

5.

∫

x

2

arcsin xdx =

6.

∫

ln(ln x)

x

dx =

7.

∫

x

3

√

x

2

+ 1dx =

8.

∫

x

4

x

10

+1

dx =

9.

∫

e

3x

e

2x

+1

dx =

10.

∫

x

3

√

3x

−2

dx =

11.

∫

e

2x

√

e

2

+ 2dx =

12.

∫

3x

−2

√

2x

−3

dx =

13.

∫

(x

2

+ 2)e

2x

dx =

14.

∫

x

2

−1

√

2x+1

dx =

15.

∫

3

√

x

2

ln xdx =

16.

∫

arcsin x

√

x+1

dx =

17.

∫

ln cos x

cos

2

x

dx =

18.

∫

e

x

sin(3x + 1)dx =

19.

∫

arcsin 2xdx =

20.

∫

arcctg xdx =

21.

∫

x

2

log

2

x)dx =

22.

∫

log x

√

x

dx =

23.

∫

x

2

sin x

cos

3

x

dx =

24.

∫

(x + 1) ln 2xdx =

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG