CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

1. Jeśli licznik ma wyższy stopień niż mianownik dzielimy licznik przez mianownik.
2. Rozkładamy mianownik na czynniki jak najniższego stopnia (pierwszego i drugiego - gdy ∆ < 0).
3. Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste.
4. Szukamy całek poszczególnych ułamków prostych.

Przykłady

1.

∫

2

3x

− 2

dx =

{

t

=

3x

− 2

dt

=

3dx/ : 3

1
3

dt

=

dx

}

=

2

3

∫

dt

t

=

2

3

ln

|t|+c =

2

3

ln

|3x−2|+c

2.

∫

2

(3x

− 2)

4

dx =

{

t

=

3x

− 2

dt

=

3dx/ : 3

1
3

dt

=

dx

}

=

2

3

∫

dt

t

4

=

2

3

∫

t

−4

dt =

2

3

·

1

−4 + 1

t

−4+1

+c =

2

3

·

1

−3

t

−3

+c =

−

2

9

(3x

−2)

−3

+c

3.

∫

dx

x

2

+ 5

=

∫

dx

5(

x

2

5

+ 1)

=

1

5

∫

dx

(

x

√

5

)

2

+ 1

=






t

=

x

√

5

dt

=

1

√

5

dx/

·

√

5

√

5dt

=

dx






=

√

5

5

∫

dt

t

2

+ 1

=

√

5

5

arctg t+c =

√

5

5

arctg

x

√

5

+c

4.

∫

4x

− 1

x

2

− 2x + 2

dx

(x

2

− 2x + 2)

′

= 2x

− 2, szukamy więc liczb α i β takich, że:

4x

−1

x

2

−2x+2

= α

2x

−2

x

2

−2x+2

+ β

1

x

2

−2x+2

{

2α = 4
−2α + β = −1

{

α = 2
β = 3

∫

4x

− 1

x

2

− 2x + 2

dx = 2

∫

2x

− 2

x

2

− 2x + 2

dx

|

{z

}

⋆

+3

∫

1

x

2

− 2x + 2

dx

|

{z

}

⋆⋆

= 2 ln

|x

2

−2x+2|+3arctg (x−1)+c

⋆

∫

2x

−2

x

2

−2x+2

dx =

{ całka logarytmiczna } = ln |x

2

− 2x + 2| + c

⋆⋆

∫

dx

x

2

− 2x + 2

=










∆ = 4

− 4 · 2 = −4

p =

−b

2a

= 1

q =

−∆

4a

= 1

x

2

− 2x + 2 = (x − 1)

2

+ 1










=

∫

dx

(x

− 1)

2

+ 1

=

{

t

=

x

− 1

dt

=

dx

}

=

∫

dt

t

2

+ 1

=

= arctg t+c = arctg (x

−1)+c

5.

∫

x

3

+ 2x

2

− x + 1

x

2

− 1

dx =

(1)

∫ (

x+2+

3

x

2

− 1

)

dx =

(2)

∫ (

x+2+

3
2

x

− 1

+

−

3
2

x + 1

)

dx =

1

2

x

2

+2x+

3

2

ln

|x − 1|−

3

2

ln

|x + 1|+c

(1) Ponieważ stopień licznika jest wyższy od stopnia mianownika, to musimy wykonać dzielenie wielomianów.

(2) Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste.

3

x

2

−1

=

3

(x

−1)(x+1)

=

A

x

−1

+

B

x+1

=

Ax+A+Bx

−B

(x

−1)(x+1)

=

(A+B)x+A

−B

(x

−1)(x+1)

{

A + B = 0
A

− B = 3

{

A =

3
2

B =

−

3
2

Zadania

1.

∫

1

x

−2

dx =

2.

∫

2

3x

−1

dx =

3.

∫

2

(5x+1)

2

dx =

4.

∫

2

(2

−x)

4

dx =

5.

∫

1

4x

2

+1

dx =

6.

∫

2

x

2

+9

dx =

7.

∫

3

5x

2

+8

dx =

8.

∫

3x+1
x

2

+3

dx =

9.

∫

x

−1

2x

2

+1

dx =

10.

∫

dx

x

2

+6x+18

=

11.

∫

3dx

x

2

−x+8

=

12.

∫

dx

4x

2

+4x+9

=

13.

∫

2

5
2

x

2

−x+1dx

=

14.

∫

4x+10

x

2

+4x+5

dx =

15.

∫

x+2

x

2

−6x+13

dx =

16.

∫

3x

−2

x

2

+8x+20

dx =

17.

∫

x+4

x

2

−x−2

dx =

18.

∫

x

x

2

+x+1

dx =

19.

∫

5x+13

x

3

+3x

2

+7x+5

dx =

20.

∫

4x

2

+10x+14

x

3

+3x

2

+7x+5

dx =

21.

∫

2x

2

+6x+7

2x

3

+5x

2

−x−6

dx =

22.

∫

x

4

x

2

−1

dx =

23.

∫

2x

4

−3x

3

+3x

2

−5x+1

x

3

−2x

2

+x

−2

dx =

24.

∫

1

x

4

−16

dx =

25.

∫

x+3

(x

−1)

3

dx =

26.

∫

x+1

(x+2)

5

dx =

27.

∫

3x

3

+5x

2

−7x+3

x

4

+2x

3

+2x

2

+2x+1

dx =

28.

∫

3x

2

−9x+7

x

3

−5x

2

+8x

−4

dx =

29.

∫

dx

(x

2

+2x+1)(x

2

+1)

=

30.

∫

dx

x

2

(x

2

−x+1)

=

31.

∫

2x

3

−6x

2

+8x

−4

x

4

+x

2

dx =

32.(

∗)

∫

dx

(x

2

+1)

2

=

mgr Dorota Grott CNM PG