CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

Definicja

Funkcję f (x) =

W (x)

Q(x)

nazywamy funkcją wymierną właściwą, gdy stW (x) < stQ(x).

Fakt Każdą funkcję wymierną niewłaściwą f (x) =

P (x)
Q(x)

( gdzie stP (x) > stQ(x)) można przedstawić

w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów
P (x) : Q(x). Np.

x

4

+x−2

x

2

+1

= x

2

− 1 +

x−1

x

2

+1

(x − 1 jest resztą z dzielenia).

Twierdzenie

Każdą funkcję wymierną właściwą f (x) =

W (x)

Q(x)

,

gdzie Q(x) = (x + a

1

)

n

1

· (x + a

2

)

n

2

· · · (x + a

p

)

n

p

· (x

2

+ b

1

x + c

1

)

k

1

· (x

2

+ b

2

x + c

2

)

k

2

· · · (x

2

+ b

r

x + c

r

)

k

r

można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych postaci:

A

(x+a)

n

oraz

Bx+C

(x

2

+bx+c)

k

, gdzie

∆ < 0

takich, że:
- każdemu czynnikowi (x + a)

n

odpowiada suma

A

1

(x+a)

+

A

2

(x+a)

2

+ · · · +

A

n

(x+a)

n

oraz
- każdemu czynnikowi (x

2

+bx+c)

k

, gdzie

∆ < 0

odpowiada suma

B

1

x+C

1

(x

2

+bx+c)

+

B

2

x+C

2

(x

2

+bx+c)

2

+· · ·+

B

k

x+C

k

(x

2

+bx+c)

k

Przykłady
Podać rozkład na ułamki proste (bez obliczania współczynnkików A, B, C).

1.

x

(2x−1)(x+2)(x

2

−x+1)

=

A

1

2x−1

+

A

2

x+2

+

Bx+C

x

2

−x+1

2.

2x−1

(x−3)

2

(x

2

+4)

=

A

x−3

+

B

(x−3)

2

+

Cx+D

x

2

+4

3.

1

x

4

−16

=

1

(x

2

−4)((x

2

+4)

=

1

(x−2)(x+2)(x

2

+4)

=

A

x−2

+

B

x+2

+

Cx+D

x

2

+4

Uwaga! Aby znaleźć współczynniki A, B, C sprowadzamy otrzymane wyrażenie do wspólnego mia-
nownika i porządkujemy według potęg x. Następnie przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich
potęgach x i rozwiązujemy powstały w ten sposób układ równań.

Przykłady
Podać rozkład na ułamki proste (bez obliczania współczynnkików A, B, C).

1.

2x−3
x

2

−9

=

2x−3

(x−3)(x+3)

=

A

x−3

+

B

x+3

=

A(x+3)+B(x−3)

(x−3)(x+3)

=

(A+B)x+(3A−3B)

x

2

−9

(

A + B = 2/ · 3
3A − 3B = −3

(

3A + 3B = 6
3A − 3B = −3 +

(

A =

1
2

B = 2 − A = 2 −

1
2

(

A =

1
2

B =

3
2

6A = 3/ : 6

A =

1
2

Ostatecznie rozkład na ułamki proste ma postać:

2x−3
x

2

−9

=

1
2

x−3

+

3
2

x+3

2.

9

(x−1)

2

(x

2

+2)

=

A

x−1

+

B

(x−1)

2

+

Cx+D

x

2

+2

=

A(x−1)(x

2

+2)+B(x

2

+2)+(Cx+D)(x−1)

2

(x−1)

2

(x

2

+2)

=

=

(A+C)x

3

+(−A+B−2C+D)x

2

+(2A+C−2D)x+(−2A+2B+D)

(x−1)

2

(x

2

+2)



















A + C = 0
−A + B − 2C + D = 0
2A + C − 2D = 0
−2A + 2B + D = 9



















A = −2
B = 3
C = 2
D = −1

Zatem:

9

(x−1)

2

(x

2

+2)

=

−2

x−1

+

3

(x−1)

2

+

2x−1
x

2

+2

mgr Dorota Grott SNM PG