ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE
Definicja
Funkcję f ( x) = W( x) nazywamy funkcją wymierną właściwą, gdy st W ( x) < st Q( x).
Q( x)
Fakt Każdą funkcję wymierną niewłaściwą f ( x) = P( x) ( gdzie st P ( x) > st Q( x)) można przedstawić Q( x)
w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej poprzez wykonanie dzielenia wielomianów P ( x) : Q( x). Np. x 4+ x− 2 = x 2 − 1 + x− 1 ( x − 1 jest resztą z dzielenia).
x 2+1
x 2+1
Twierdzenie
Każdą funkcję wymierną właściwą f ( x) = W( x), Q( x)
gdzie Q( x) = ( x + a 1) n 1 · ( x + a 2) n 2 · · · ( x + ap) np · ( x 2 + b 1 x + c 1) k 1 · ( x 2 + b 2 x + c 2) k 2 · · · ( x 2 + brx + cr) kr można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych postaci: A
oraz
Bx+ C
, gdzie ∆ < 0
( x+ a) n
( x 2+ bx+ c) k takich, że:
- każdemu czynnikowi ( x + a) n odpowiada suma A 1 + A 2 + · · · + An ( x+ a)
( x+ a)2
( x+ a) n
oraz
- każdemu czynnikowi ( x 2+ bx+ c) k, gdzie ∆ < 0 odpowiada suma B 1 x+ C 1 + B 2 x+ C 2 + · · ·+ Bkx+ Ck ( x 2+ bx+ c) ( x 2+ bx+ c)2
( x 2+ bx+ c) k Przykłady
Podać rozkład na ułamki proste (bez obliczania współczynnkików A, B, C).
1.
x
= A 1 + A 2 + Bx+ C
(2 x− 1)( x+2)( x 2 −x+1) 2 x− 1
x+2
x 2 −x+1
2.
2 x− 1
= A +
B
+ Cx+ D
( x− 3)2( x 2+4) x− 3
( x− 3)2
x 2+4
3.
1
=
1
=
1
= A + B + Cx+ D
x 4 − 16
( x 2 − 4)(( x 2+4) ( x− 2)( x+2)( x 2+4) x− 2
x+2
x 2+4
Uwaga! Aby znaleźć współczynniki A, B, C sprowadzamy otrzymane wyrażenie do wspólnego mia-nownika i porządkujemy według potęg x. Następnie przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x i rozwiązujemy powstały w ten sposób układ równań.
Przykłady
Podać rozkład na ułamki proste (bez obliczania współczynnkików A, B, C).
1. 2 x− 3 =
2 x− 3
= A + B = A( x+3)+ B( x− 3) = ( A+ B) x+(3 A− 3 B) x 2 − 9
( x− 3)( x+3)
x− 3
x+3
( x− 3)( x+3)
x 2 − 9
(
(
(
(
A + B = 2 / · 3
3 A + 3 B = 6
A = 1
A = 1
2
2
3 A − 3 B = − 3
3 A − 3 B = − 3 +
B = 2 − A = 2 − 1
B = 3
2
2
6 A = 3 / : 6
A = 12
1
3
Ostatecznie rozkład na ułamki proste ma postać: 2 x− 3 = 2 + 2
x 2 − 9
x− 3
x+3
2.
9
= A +
B
+ Cx+ D = A( x− 1)( x 2+2)+ B( x 2+2)+( Cx+ D)( x− 1)2 =
( x− 1)2( x 2+2) x− 1
( x− 1)2
x 2+2
( x− 1)2( x 2+2)
= ( A+ C) x 3+( −A+ B− 2 C+ D) x 2+(2 A+ C− 2 D) x+( − 2 A+2 B+ D) ( x− 1)2( x 2+2)
A + C = 0
A = − 2
−A + B − 2 C + D = 0
B = 3
Zatem:
9
= − 2 +
3
+ 2 x− 1
2 A + C − 2 D = 0
C = 2
( x− 1)2( x 2+2) x− 1
( x− 1)2
x 2+2
− 2 A + 2 B + D = 9
D = − 1
mgr Dorota Grott SNM PG