CAŁKA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.4
całka logarytmiczna i zadania różne Przykłady
∫
1.
2 x dx = ln |x 2 − 5 | + c, gdyż ( x 2 − 5) ′ = 2 x x 2 − 5
∫
∫
2.
3 x
dx = 3
4 x
dx = 3 ln | 2 x 2 + 3 | + c, gdyż (2 x 2 + 3) ′ = 4 x 2 x 2+3
4
2 x 2+3
4
∫
∫
3.
ctg xdx ==
cos x dx = ln| sin x| + c, gdyż (sin x) ′ = cos x sin x
∫
∫
∫
∫
∫
4.
3 x− 1 dx =
3 x dx −
1
dx = 3
2 x dx −
1
dx = 3 ln |x 2 + 1 | − arctg x + c x 2+1
x 2+1
x 2+1
2
x 2+1
x 2+1
2
Zadania
Znaleźć całki nieoznaczone:
∫
∫
∫
1 .
x
dx =
2 .
x 2
dx =
3 .
x− 1 dx =
x 2+2
2 x 3 − 1
x 2+1
∫
∫
∫
4 .
tg xdx =
5 .
ctg (2 x) dx =
6 .
sin x
dx =
1 − cos x
Przykłady
∫
t
=
ln x − 1
∫
∫
∫
1.
ln x
dx =
dt
=
1 dx
=
t+1 dt = t− 2 dt + t− 3 dt =
1
t− 2+1 +
1
t− 3+1 + c =
x(ln x− 1)3
x
t 3
− 2+1
− 3+1
t + 1
=
ln x
= −t− 1 − 1 t− 2 + c 2
{
}
∫
u = x
v′ = e− 3 x
∫
2.
xe− 3 xdx =
∫
= − 1 xe− 3 x − ( − 1 e− 3 x) dx =
u′ = 1
v =
e− 3 xdx = − 1 e− 3 x 3
3
3
∫
= − 1 xe− 3 x + 1
e− 3 xdx = = − 1 xe− 3 x + 1 ( − 1 e− 3 x) + c == − 1 xe− 3 x − 1 e− 3 x + c 3
3
3
3
3
3
9
{
}
∫
∫
t
=
x 2
∫
u = t
v′ = et
∫
3.
x 3 ex 2 dx =
x 2 ex 2 xdx = dt = 2 xdx/ : 2 = 1 tetdt =
= 1 ( tet − etdt) =
2
2
1
u′ = 1
v = et
dt
=
xdx
2
= 1 ( tet − et) + c = 1 ( x 2 ex 2 − ex 2) + c 2
2
Zadania
Znaleźć całki nieoznaczone:
∫
∫
∫
1 .
x
dx =
2 .
x 5
dx =
3 .
x 3
dx =
( x+1)5
(1+ x 2)3
(2 −x)6
∫
∫
∫
4 .
x arctg x 2 dx =
5 .
x 2 arcsin xdx =
6 .
ln(ln x) dx =
x
∫
√
∫
∫
7 .
x 3 x 2 + 1 dx =
8 .
x 4
dx =
9 .
e 3 x
dx =
x 10+1
e 2 x+1
∫
∫
√
∫
10 .
x
√
dx =
11 .
e 2 x e 2 + 2 dx =
12 .
3 x− 2
√
dx =
3 3 x− 2
2 x− 3
∫
∫
∫ √
13 .
( x 2 + 2) e 2 xdx =
14 .
x 2 − 1
√
dx =
15 .
3 x 2 ln xdx =
2 x+1
∫
∫
∫
16 .
arcsin x
√
dx =
17 .
ln cos x dx =
18 .
ex sin(3 x + 1) dx =
x+1
cos2 x
∫
∫
∫
19 .
arcsin 2 xdx =
20 .
arcctg xdx =
21 .
x 2 log x) dx =
2
∫
∫
∫
22 .
log x
√ dx =
23 .
x 2 sin x dx =
24 . ( x + 1) ln 2 xdx =
x
cos3 x
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG