CAŁKA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.3
zastosowanie metody całkowania przez części
Przykłady
1.
R
2x cos xdx =
(
u = 2x v
0
= cos x
u
0
= 2
v = sin x
)
= 2x sin x −
R
2 sin xdx == 2x sin x + 2 cos x + c
2.
R
x
2
4
x
dx =
(
u = x
2
v
0
= 4
x
u
0
= 2x v =
4
x
ln 4
)
= x
2
·
4
x
ln 4
−
R
2x ·
4
x
ln 4
dx =
x
2
4
x
ln 4
−
2
ln 4
R
x4
x
dx =
=
(
u = x v
0
= 4
x
u
0
= 1 v =
4
x
ln 4
)
=
x
2
4
x
ln 4
−
2
ln 4
(x ·
4
x
ln 4
−
R
4
x
ln 4
dx) =
x
2
4
x
ln 4
−
2x4
x
ln
2
4
+
2
ln
2
4
R
4
x
dx =
=
x
2
4
x
ln 4
−
2x4
x
ln
2
4
+
2·4
x
ln
3
4
+ c
3.
R
e
x
sin xdx =
(
u = sin x
v
0
= e
x
u
0
= cos x v = e
x
)
= e
x
sin x −
R
e
x
cos xdx =
(
u = cos x
v
0
= e
x
u
0
= − sin x v = e
x
)
= e
x
sin x − (e
x
cos x −
R
e
x
(− sin x)dx) =
= e
x
sin x − e
x
cos x −
R
e
x
sin xdx
Otrzymujemy równanie:
R
e
x
sin xdx = e
x
sin x − e
x
cos x −
R
e
x
sin xdx
Zatem: 2
R
e
x
sin xdx = e
x
sin x − e
x
cos x / : 2
A stąd mamy ostatecznie:
R
e
x
sin xdx =
e
x
sin x−e
x
cos x
2
+ c
Zadania
Stosując wzór na całkowanie przez części znaleźć całki nieoznaczone:
1.
R
x sin xdx =
2.
R
3x cos xdx =
3.
R
x
2
sin xdx =
4.
R
(3x + 2) cos xdx =
5.
R
xe
x
dx =
6.
R
(4 − x)e
x
dx =
7.
R
3x
2
e
x
dx =
8.
R
x ln xdx =
9.
R
(3 − 2x)3
x
dx =
10.
R
√
x ln xdx =
11.
R
x
cos
2
x
dx =
12.
R
(x
5
−
3
4
) ln xdx =
13.
R
(x
3
− x − 1) ln xdx =
14.
R
ln xdx =
15.
R
ln
2
xdx =
16.
R
2x+3
sin
2
x
dx =
17.
R
ln xdx
3
√
x
2
=
18.
R
(3x − 1)e
2x
dx =
19.
R
ln(3x + 1)dx =
20.
R
x
2
sin(
x
2
+ 1)dx =
21.
R
5xcos(
1−x
2
)dx =
22.
R
e
x
cos xdx =
23.
R
e
x
sin xdx =
24.
R
e
2x
sin(x − 1)dx =
25.
R
e
x
2
cos 2xdx =
26.
R
sin(ln x)dx =
27.
R
cos(ln x)dx =
28.
R
sin 4x cos xdx =
29.
R
sin 2x sin 3xdx =
30.
R
cos(x + 1) cos 2xdx =
31.
R
x cos
2
xdx =
32.
R
2x sin
x
dx =
33.
R
x
2
sin x
cos
3
x
dx =
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG