CAŁKA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.3
zastosowanie metody całkowania przez części

Przykłady

1.

R

2x cos xdx =

(

u = 2x v

0

= cos x

u

0

= 2

v = sin x

)

= 2x sin x −

R

2 sin xdx == 2x sin x + 2 cos x + c

2.

R

x

2

4

x

dx =

(

u = x

2

v

0

= 4

x

u

0

= 2x v =

4

x

ln 4

)

= x

2

·

4

x

ln 4

−

R

2x ·

4

x

ln 4

dx =

x

2

4

x

ln 4

−

2

ln 4

R

x4

x

dx =

=

(

u = x v

0

= 4

x

u

0

= 1 v =

4

x

ln 4

)

=

x

2

4

x

ln 4

−

2

ln 4

(x ·

4

x

ln 4

−

R

4

x

ln 4

dx) =

x

2

4

x

ln 4

−

2x4

x

ln

2

4

+

2

ln

2

4

R

4

x

dx =

=

x

2

4

x

ln 4

−

2x4

x

ln

2

4

+

2·4

x

ln

3

4

+ c

3.

R

e

x

sin xdx =

(

u = sin x

v

0

= e

x

u

0

= cos x v = e

x

)

= e

x

sin x −

R

e

x

cos xdx =

(

u = cos x

v

0

= e

x

u

0

= − sin x v = e

x

)

= e

x

sin x − (e

x

cos x −

R

e

x

(− sin x)dx) =

= e

x

sin x − e

x

cos x −

R

e

x

sin xdx

Otrzymujemy równanie:

R

e

x

sin xdx = e

x

sin x − e

x

cos x −

R

e

x

sin xdx

Zatem: 2

R

e

x

sin xdx = e

x

sin x − e

x

cos x / : 2

A stąd mamy ostatecznie:

R

e

x

sin xdx =

e

x

sin x−e

x

cos x

2

+ c

Zadania

Stosując wzór na całkowanie przez części znaleźć całki nieoznaczone:

1.

R

x sin xdx =

2.

R

3x cos xdx =

3.

R

x

2

sin xdx =

4.

R

(3x + 2) cos xdx =

5.

R

xe

x

dx =

6.

R

(4 − x)e

x

dx =

7.

R

3x

2

e

x

dx =

8.

R

x ln xdx =

9.

R

(3 − 2x)3

x

dx =

10.

R

√

x ln xdx =

11.

R

x

cos

2

x

dx =

12.

R

(x

5

−

3
4

) ln xdx =

13.

R

(x

3

− x − 1) ln xdx =

14.

R

ln xdx =

15.

R

ln

2

xdx =

16.

R

2x+3

sin

2

x

dx =

17.

R

ln xdx

3

√

x

2

=

18.

R

(3x − 1)e

2x

dx =

19.

R

ln(3x + 1)dx =

20.

R

x

2

sin(

x

2

+ 1)dx =

21.

R

5xcos(

1−x

2

)dx =

22.

R

e

x

cos xdx =

23.

R

e

x

sin xdx =

24.

R

e

2x

sin(x − 1)dx =

25.

R

e

x
2

cos 2xdx =

26.

R

sin(ln x)dx =

27.

R

cos(ln x)dx =

28.

R

sin 4x cos xdx =

29.

R

sin 2x sin 3xdx =

30.

R

cos(x + 1) cos 2xdx =

31.

R

x cos

2

xdx =

32.

R

2x sin

x

dx =

33.

R

x

2

sin x

cos

3

x

dx =

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG