MATHCAD-W1 strona 1

1. WST

Ę

P

MATHCAD to uniwersalny program do oblicze

ń

matematycznych o bardzo du

ż

ych

mo

ż

liwo

ś

ciach. Jest łatwy do opanowania, nie wymaga nauki j

ę

zyka programowania a wi

ę

c jest

idealny dla in

ż

yniera, ekonomisty. Pocz

ą

wszy od roku 1986 kolejne wersje programu

MATHCAD rozwija firma MathSoft Inc.

www.mathsoft.com, www.mathcad.com

Arkusz widoczny na ekranie monitora mo

ż

na traktowa

ć

jak "kartk

ę

papieru", tzn. wygl

ą

d wzrów

niewiele odbiega od zapisu odr

ę

cznego lub zapisu stosowanego w podr

ę

cznikach do

matematyki. Program zarazem realizuje obliczenia i reaguje na zmiany danych ( je

ś

li aktywny

jest tryb automatycznych oblicze

ń

Math|Automatic Calculation )

Bogaty zakres operatorów i funkcji pozwala:

wykonywa

ć

ró

ż

norodne obliczenia numeryczne

•

rozwi

ą

zywa

ć

równania i nierówno

ś

ci liniowe

•

wyznacza

ć

całki i pochodne tak

ż

e w postaci symbolicznej

•

wyznacza

ć

pierwiastki, ekstrema funkcji

•

przedstawia

ć

funkcje w postaci dwu- i trójwymiarowych wykresów

•

prowadzi

ć

działania na wektorach, macierzach

•

przeprowadza

ć

obliczenia statystyczne, np. korelacja, regresja, histogram

•

u

ż

ywa

ć

fizycznych jednostek miar (z automatycznym ich przeliczaniem)

•

wczytywa

ć

dane z plików tekstowych i zapisywa

ć

wyniki do plików

•

ilustrowa

ć

prace rysunkami utworzonymi za pomoc

ą

innych programów graf.

•

opisywa

ć

obliczenia, za pomoc

ą

tekstowych komentarzy.

•

MATHCAD-W1 strona 2

1.1. Elementy ekranu

W głównym oknie Mathcada mo

ż

na wyró

ż

ni

ć

:

menu główne

••••

paski narz

ę

dziowe:

••••

Standard - pasek standardowy
Formatting - pasek do formatowania tekstu
Math - pasek - pasek do wl

ą

czania palet symboli matematycznych

Status bar - pasek stanu, informuje m.in. trybie pracy arkusza, numerze strony

••••

Ruler - linijka

••••

Je

ś

li brakuje którego

ś

z tych elementów, to mo

ż

na je wł

ą

czy

ć

za pomoc

ą

menu View.

Pasek narz

ę

dziowy Math zawiera ikony pod którymi kryj

ą

si

ę

nast

ę

puj

ą

ce palety:

Calculator – zestaw operatorów takich jak na kalkulatorze

Evaluation – zawiera operatory do wykonywania oblicze

ń

, definiowania funkcji

przypisywania zmiennym warto

ś

ci

Graph – zawiera narz

ę

dzia do tworzenia wykresów

Matrix – operacje wektorowe i macierzowe

Boolean – relacje i operacje logiczne

Calculus – analiza matematyczna (całki, pochodne, sumy, iloczyny, granice)

Greek – greckie litery

Symbolic – przekształcenia symboliczne (działania na wzorach a nie liczbach)

Programming – programowanie

MATHCAD-W1 strona 3

1.2.Kursory

W trakcie tworzenia dokumentu niezb

ę

dna jest umiej

ę

tno

ść

posługiwania si

ę

kursorami.

Najwa

ż

niejsze kursory pojawiaj

ą

ce si

ę

w dokumencie to:

czerwony krzy

ż

yk - to kursor dokumentu, pokazuje punkt wstawiania nowego regionu

••••

niebieska pionowa kreska lub pół-ramka -to kursor edycyjny,

••••

pojawia si

ę

po klikni

ę

ciu regionu i słu

ż

y do poprawiania,dopisywania, formatowania itp.

czerwona pionowa kreska - to kursor edycyjny charakterystyczny dla regionu tekstowego

••••

Uwaga:Nieznajomo

ść

kursorów jest

ź

ródłem cz

ę

stych bł

ę

dów.Gdy chcemy dopisa

ć

co

ś

do

istniej

ą

cego regionu to musimy klikn

ąć

tak aby otrzyma

ć

kursor niebieski bo wpisywanie w

miejscu czerwonego krzy

ż

yka (nawet je

ś

li wydaje si

ę

,

ż

e jest on dobrym miejscu) nie

zmodyfikuje istniej

ą

cego regionu tylko utworzy nowy!

1.3.Klawiatura

W Mathcadzie mo

ż

na niemal wszystko wykona

ć

wykorzystuj

ą

c klawiatur

ę

. Do tworzenia wyra

ż

e

ń

algebraicznych oraz do wykonywania niektórych oblicze

ń

mo

ż

na u

ż

ywa

ć

klawiszy skrótówi, np.

aby wprowadzi

ć

symbol pierwszej pochodnej mo

ż

na u

ż

y

ć

palety Calculus albo kombinacji

klawiszy

Shift+/

lub znaku

?

(pytajnik).

MATHCAD-W1 strona 4

1.4.Składowe dokumentu - regiony(obszary)

Ka

ż

dy dokument Mathcad'a mo

ż

na tworzy

ć

u

ż

ywaj

ą

c czterech typów składowych zwanych

regionami:
region tekstowy - zawieraj

ą

cy, opisy, komentarzeistotne dla czytelno

ś

ci dokumentu ale

absolutnie nie maj

ą

ce wpływu na obliczenia

region matematyczny - zawieraj

ą

cy ró

ż

norodne wyra

ż

enia matematyczne, pozwalaj

ą

ce

definiowa

ć

zmienne, funkcje, wykonywa

ć

obliczenia

region wykresów - zawieraj

ą

cy wykresy dwu i trój-wymiarowe

region rysunków - zawieraj

ą

cy rysunki wykonane w innych programach

Granice poszczególnych regionów wyznaczone s

ą

przez pewien minimalny prostok

ą

tny obszar.

Wokół obszaru, który podlega bie

żą

cej edycji narysowany jest prostok

ą

t.

U

ż

yteczne polecenia dotycz

ą

ce regionów:

View|Regions
View|Refresh (Ctrl+R)
Format|Separate regions (Ctrl+S)
Uwagi:
Regiony matematyczne, musz

ą

mie

ć

posta

ć

zgodn

ą

z okre

ś

lonymi regułami formalnymi aby

mogły by

ć

poprawnie rozpoznane i zinterpretowane przez Mathcad'a. Obliczenia w Mathcadzie

wykonywane s

ą

sekwencyjnie, tzn. od lewej do prawej i z góry na dół wi

ę

c kolejno

ść

regionów

matematycznych, wykresów nie jest dowolna.

1.5.Blok regionów

Jeden lub kilka regionów mo

ż

na zaznaczy

ć

poprzez· zakre

ś

lenie ich z zewn

ą

trz przerywanym

prostok

ą

tem. Zaznaczone regiony mo

ż

na:

przemieszcza

ć

•

kopiowa

ć

•

kasowa

ć

•

zmienia

ć

ich rozmiar

•

wyrównywa

ć

w pionie i w poziomie Format|Align Regions (lub ikony w pasku Standard)

•

2.Regiony tekstowe

Wprowadzanie tekstu do dokumentu nale

ż

y rozpocz

ąć

od cudzysłowia lub wykorzysta

ć

polecenie Insert|Tekst region. Formatowanie tekstu odbywa si

ę

na zasadach znanych

z Worda. Do formatowania tekstu słu

ż

y pasek narz

ę

dziowy Formatting oraz polecenia

Format|Text i Format|Paragraph.

MATHCAD-W1 strona 5

3.Wyra

ż

enia algebraiczne

W wyra

ż

eniach mog

ą

wyst

ę

powa

ć

liczby, zmienne, funkcje, operatory, nawiasy modyfikuj

ą

ce

kolejno

ść

wykonywania operacji, całki, pochodne, sumy, iloczyny, granice.

3.1. Liczby, stałe

Separatorem dziesi

ę

tnym jest kropka.

Predefiniowane zostały nast

ę

puj

ą

ce stałe:

3.2. Zmienne

Zmienna jest obiektem przechowuj

ą

cy ró

ż

ne warto

ś

ci. Zmienna ma nazw

ę

oraz

przyporz

ą

dkowan

ą

jej warto

ść

. Zmienna wykorzystywana w obliczeniach musi by

ć

najpierw

zdefiniowana.

Zmiennym mo

ż

na przyporz

ą

dkowa

ć

warto

ś

ci poni

ż

szych typów:

skalar (ang. scalar) - pojedy

ń

cza liczba

•

zakres (ang. range) - ci

ą

g liczb typu post

ę

p arytmetyczny

•

tablica (ang. array) - czyli wektor lub macierz

•

ła

ń

cuch znaków (ang. string) - ci

ą

g znaków uj

ę

ty w cudzysłowia

•

Nazwa zmiennej mo

ż

e zawiera

ć

du

ż

e i małe litery, cyfry, znak podkre

ś

lenia, litery greckie.

Musi zaczyna

ć

si

ę

od litery i nie mo

ż

e zawiera

ć

spacji. Nazwa zmiennej mo

ż

e mie

ć

oznaczenie

u dołu, np. x

1

, H

max

. Oznaczenie dolne w nazwie zmiennej poprzedza si

ę

kropk

ą

.

e

2.718281828459045

=

π

3.141592653589793

=

∞

1

10

307

×

=

%

0.01

=

3.3 Konstrukcja wyra

ż

e

ń

Podczas konstrukcji wyra

ż

e

ń

klawisz spacji słu

ż

y do

zmiany pozycji kursora (

|

), np. indeks górny, indeks dolny, poziom podstawowy

•

wyboru fragmentu wyra

ż

enia (

|_

,

_|

), np. gdy planujemy wyra

ż

enie obj

ę

te kursorem uj

ąć

•

w nawiasy, zró

ż

nicowa

ć

priorytet, zastosowa

ć

do wyra

ż

enia funkcj

ę

Posta

ć

kursora

|_

informuje,

ż

e edycja dotyczy lewej strony wyra

ż

enia obj

ę

tego kursorem,

np. je

ś

li chcemy uzupełni

ć

wyra

ż

enie o sekwencje 2/ to nale

ż

y wprowadzi

ć

najpierw operator / ,

nast

ę

pnie 2.

Posta

ć

kursora

_|

informuje,

ż

e edycja dotyczy prawej strony wyra

ż

enia obj

ę

tego kursorem.

Zmiana kursora lewa-półramka|prawa półramka - klawisz Ins

x+y| / 2 ---------->

x

y

+

2

dopisywanie po prawej stronie wyr. x+y

dopisywanie po lewej stronie wyr. x+y, zawsze
w kolejnisci

/ 2

2 / |x+y ----------->

2

x

y

+

MATHCAD-W1 strona 6

4.Definicja zmiennej

Ka

ż

da definicja zmiennej mo

ż

e mie

ć

charakter globalny lub lokalny.

Aby zdefiniowa

ć

zmienn

ą

nale

ż

y napisa

ć

1) nazw

ę

zmiennej

2)znak : (definicja lokalna - pojawi si

ę

symbol przypisania :=)

lub ~ (definicja globalna - pojawi si

ę

symbol znak "to

ż

szmo

ś

ciowo równe")

3)wyra

ż

enie

Hmax

10

:=

H.max:10

a

5

:=

a:5

α

π

2

≡

α

αα

α

~

ππππ

/2

W dowolnym miejscu mo

ż

na wy

ś

wietli

ć

warto

ść

zmiennej pisz

ąć

nazwa_zmiennej=

Hmax 10

=

H.max=

Wszystkie powyzsze operacje mozna wykonac korzystajac z palety Evaluation.

5.Definiowanie funkcji

Definicja funkcji ma nast

ę

puj

ą

c

ą

budow

ę

nazwa_funkcji(lista_ardumentów):=wyra

ż

enie_zawieraj

ą

ce_argumenty

f x

( )

2x

2

1

+

:=

f(x):2*x^2spacja+1

h x y

,

(

)

x

y

+

:=

z x

( )

sin x

( )

cos x

( )

−

(

)

2 sin x

( )

⋅

5

+

65

−

:=

w x

( )

8 x

⋅

x

2

−

4 x

⋅

3

−

x

+

:=

Aby wyswietlic wartosc funkcji piszemy nazw

ę

funkcji, argumenyty, nast

ę

pnie znak równo

ś

ci

f 3

( )

19

=

f a

( )

51

=

h 3.5 7.25

,

(

)

10.75

=

z 3.5

(

)

64.9

−

=

w a

3

+

(

)

8

=

6.Funkcje wbudowane

sin(x)

cos(x)

tan(x)

exp(x)

log(x)

ln(x)

round(x,n)

trunc(x)

if(warunek,w1,w2)
mean(A)

median(A)

stdev(A)

corr(A,B)

Funkce mo

ż

na wstawia

ć

do wyra

ż

e

ń

za pomoc

ą

polecenia Insert|Function (CTRL+E)

MATHCAD-W1 strona 7

7.Definicja zmiennej zakresowej

Zmienna zakresowa reprezentuje ci

ą

g arytmetyczny. Definicja zmiennej zakresowej ma poni

ż

sz

ą

posta

ć

:

zmiennej:=pierwszy_element_ci

ą

gu, drugi_element_ci

ą

gu .. ostatni_element_ci

ą

gu

Znak "dwóch kropek" uzyskamy za pomoc

ą

klawisza ; (

ś

rednik) lub za pomoc

ą

palety Matrix

(m..n).
Mo

ż

na pomin

ąć

drugi element ci

ą

gu je

ś

li przyrost wynosi 1.

x

1

−

0.5

−

,

2

..

:=

x:1,1.2;3

y

1.2 7

..

:=

y:1.2;7

i

1 5

..

:=

i:1;5

Zmienna zakresowa mo

ż

na wy

ś

wietli

ć

wpisuj

ą

c w dowolnym miejscu zmienna=

x

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

=

i

1

2

3

4

5

=

y

1.2

2.2

3.2

4.2

5.2

6.2

=

Zmienna zakresowa mo

ż

e by

ć

u

ż

yta w dwóch rolach:

jako argument funkcji i mo

ż

e wtedy by

ć

dowolnym ci

ą

giem arytmetycznym o przyro

ś

cie

•

rzeczywistym dodatnim lub ujemnym
jako indeks czyli numer elementu wektora lub macierzy i oczywi

ś

cie musi by

ć

wtedy ci

ą

giem

•

liczb naturalnych

Zmiennej zakresowej mo

ż

emy u

ż

y

ć

w celu stablicowania funkcji:

piszemy f(x)=

f x

( )

3

1.5

1

1.5

3

5.5

9

=

piszemy w(x)=

w x

( )

0.286

0.35

0

-3.25

8

4.75

4.4

=

MATHCAD-W1 strona 8

8.Pochodna funkcji

Mathcad umo

ż

liwia obliczenie pochodnej funkcji w zadanym punkcie oraz wyznaczenie

pochodnej funkcji w sposób symboliczny.

8.1.Wyznaczanie warto

ś

ci pochodnej w punkcie

Aby wyznaczy

ć

pochodn

ą

funkcji nale

ż

y wprowadzi

ć

symbol pochodnej pierwszego rz

ę

du lub

symbol pochodnej wy

ż

szego rz

ę

du, nast

ę

pnie wypełni

ć

"znaki braku" i za tak zdefiniowan

ą

pochodn

ą

wpisa

ć

znak równo

ś

ci(=).

Do wprowadzania symboli pochodnych mo

ż

na wykorzysta

ć

palet

ę

Calculus lub skróty

klawiszowe:
? - wprowadza symbol pierwszej pochodne
Ctrl+? -wprowadza symbol pochodnej n-tego rz

ę

du

x

0 0.5

,

2

π

⋅

..

:=

f x

( )

sin x

( )

2

cos 2 x

⋅

(

)

+

:=

x0

π

6

:=

x0

f x0

( )

d

d

0.866

−

=

2

x0

f x0

( )

d

d

2

1

−

=

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

=

x

f x

( )

d

d

0

-0.841

-0.909

-0.141

0.757

0.959

0.279

-0.657

-0.989

-0.412

0.544

1

0.537

=

2

x

f x

( )

d

d

2

-2

-1.081

0.832

1.98

1.307

-0.567

-1.92

-1.508

0.291

1.822

1.678

-3

-8.851·10

-1.688

=

8.2.Wyznaczanie warto

ś

ci pochodnej w sposób symboliczny

Aby wyznaczy

ć

pochodn

ą

funkcji symbolicznie nale

ż

y zdefiniowa

ć

pochodn

ą

, nast

ę

pnie wybra

ć

polecenie Symbolics|Evaluate|Symbolicaly (wykonaj obliczenia na symbolach).

Uwaga: W "znaku braku" dla funkcji nale

ż

y napisa

ć

pełny wzór funkcji, nie mo

ż

na

korzysta

ć

z funkcji wcze

ś

niej zdefiniowanej, np f(x)

x

sin x

( )

2

sin 2 x

⋅

(

)

+

(

)

d

d

2 sin x

( ) cos x

( )

⋅

⋅

2 cos 2 x

⋅

(

)

⋅

+

MATHCAD-W1 strona 9

9.Całkowanie funkcji

Mathcad umo

ż

liwia obliczenie całki funkcji w zadanym przedziale oraz wyznaczenie całki

nieoznaczonej funkcji.

9

.1.Wyznaczanie warto

ś

ci całki oznaczonej

Aby wyznaczy

ć

całk

ę

oznaczon

ą

funkcji nale

ż

y wprowadzi

ć

jej symbol, nast

ę

pnie wypełni

ć

"znaki braku" i za tak zdefiniowan

ą

pochodn

ą

wpisa

ć

znak równo

ś

ci(=).

Do wprowadzania symboli całki oznaczonej mo

ż

na wykorzysta

ć

palet

ę

Calculus lub skrót

klawiszowy:

& - wprowadza symbol całki oznaczonej

1

5

x

w x

( )

⌠



⌡

d

20.101

=

0

π

2

x

f x

( )

⌠




⌡

d

0.785

=

9.2.Wyznaczanie całki nieoznaczonej

Aby wyznaczy

ć

całk

ę

nieoznaczon

ą

nale

ż

y zdefiniowa

ć

całk

ę

wykorzysta

ć

palet

ę

Calculus lub

u

ż

y

ć

skrótu klawiszowego:

Ctrl+i - wprowadza symbol całki nieoznaczonej.

W znaku braku funkcji wprowadzi

ć

wzór, nast

ę

pnie wybra

ć

polecenie

Symbolics|Evaluate|Symbolicaly (wykonaj obliczenia na symbolach).

x

sin x

( )

2

sin 2 x

⋅

(

)

+

⌠




⌡

d

1

−

2

sin x

( ) cos x

( )

⋅

⋅

1

2

x

⋅

1

2

cos 2 x

⋅

(

)

⋅

−

+

MATHCAD-W1 strona 10

10.Wykresy funkcji

W programie Mathcad mo

ż

na rysowa

ć

ró

ż

norodne wykresy dwuwymiarowe i trójwymiarowe.

Aby narysowa

ć

wykres funkcji jednej zmiennej nale

ż

y:

zdefiniowa

ć

i okre

ś

li

ć

zakres zmienno

ś

ci argumentu

•

zdefiniowa

ć

funkcj

ę

•

wybra

ć

z menu programu opcj

ę

Insert|Graph a nast

ę

pnie zdecydowa

ć

o typie wykresu lub

•

wybra

ć

stosowny typ wykresu z palety Graph.

Na ekranie pojawi si

ę

region wykresów:

W miejsce

ś

rodkowych "znaków braku" przy osiach nale

ż

y wpisa

ć

zadeklarowan

ą

nazw

ę

funkcji oraz argument. Je

ś

li w jednym obszarze chcemy zilustrowa

ć

kilka ró

ż

nych funkcji,

to wymieniamy je oddzielaj

ą

c je przecinkami.

f x

( )

sin 2 x

⋅

(

)

cos x

( )

2

+

:=

x

π

−

π

−

0.1

+

,

2

π

⋅

..

:=

4

2

0

2

4

6

8

0

1

2

f x

( )

x

Powstały wykres mo

ż

na teraz formatowa

ć

wykorzystuj

ą

c polecenie Format|Graph.

4

2.8

1.6

0.4

0.8

2

3.2

4.4

5.6

6.8

8

0.5

1

1.5

2

f(x)

f(x)

Przykladowy wykres funkcji

MATHCAD-W1 strona 11

MATHCAD-W1 strona 12