Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 1

'

&

$

%

18.

Klasyfikacja URA ze wzgl. na posta´c sygn. wej´sciowego

a) regulacja stałowarto´sciowa

y

0

(t) = const

b) regulacja programowa

c) regulacja nad ˛

a ˙zna

19.

Zadania układów regulacji

a) zadanie nad ˛

a ˙zania

e(t) ≈ 0

b) zadanie przestawiania

c) zadanie kompensacji zakłóce ´n

20.

Wska´zniki jako´sci procesu regulacji

a) warto´s´c uchybu ustalonego e

u

e(t) = e

u

+ e

p

(t)

lim

t→∞

e

p

(t) = 0

⇒

lim

t→∞

e(t) = e

u

= lim

s→

0

sE(s)

G

o

(s)

e

(t)

-

6

-

+

−

(a)

e t

( )

0

e

u

t

(b)

Rys. 45

b) czas regulacji t

r

h t

( )

0

y

u

t

t

r

2D

(a)

h t

( )

0

y

u

t

h

1

h

0

h

2

(b)

Rys. 46

c) przeregulowanie κ:

κ

=

h

1

h

0

· 100%

 h

3

h

2

=

h

2

h

1

=

h

1

h

0



Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 2

'

&

$

%

21.

Stabilno´s´c ci ˛

agłych układów liniowych

u t

( )

Ci¹g³y uk³ad

dynamiczny

y t

( )

Rys. 47

˙x = F (x)

(28)

x = 0 – punkt równowagi układu, tzn. F (0) = 0

x(0) = x

0

dla t = 0

x = 0

^

t>

0

^

ε>

0

_

η>

0

kx

0

k < η ⇒ kx(t)k < ε

(29)

kxk =

v

u

u

t

n

X

i

=1

x

2

i

(30)

x

1

x

2

x

0

1

2

3

h

e

Rys. 48

lim

t→∞

x(t) = 0

(31)

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 3

'

&

$

%

22.

Warunek konieczny i dostateczny stabilno´sci ukł. ci ˛

agłych

G(s) =

L(s)

M (s)

=

b

m

s

m

+ · · · + b

1

s + b

0

a

n

s

n

+ · · · + a

1

s + a

0

= k

(s − z

1

)(s − z

2

) . . . (s − z

m

)

(s − s

1

)(s − s

2

) . . . (s − s

n

)

z

1

, . . . z

m

− zera transm.,

s

1

, . . . s

n

− bieguny,

k = b

m

/a

n

(32)

G(s) =

k

m

Q

i

=1

(s − z

i

)

q

Q

j

=1

(s − s

j

)

r

Q

l

=1

[s

2

+ 2σ

l

s + (σ

2

l

+ ω

2

l

)]

,

(33)

q + 2r = n,

bieguny pojedyncze s

j

lub s

l

= σ

l

+ jω

l

g(t) = L

−

1

[G(s)] =

"

q

X

j

=1

A

j

e

s

j

t

+

r

X

l

=1

B

l

ω

l

e

σ

l

t

sin(ω

l

t + θ

l

)

#

1

(t) (34)

A

j

, B

l

, θ

l

s ˛

a stałymi zale ˙znymi od k, z

i

, s

j

, σ

l

, ω

l

Re s

Re s

Re s

Re s

Re s

Re s

Im s

Im s

Im s

Im s

Im s

Im s

s

j

s

l2

s

l2

s

j

s

j

s

j

<0

s

l

<0

s

l

=0

s

l

>0

s

j

=0

s

j

>0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

t

t

t

t

t

t

g t

j

( )

g t

l

( )

g t

l

( )

g t

l

( )

g t

j

( )

g t

j

( )

s

l1

s

l1

=j

w

l

s

l1

w

l

w

l

-w

l

-w

l

s

l

s

l

s

l2

=-j

w

l

Rys. 49

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 4

'

&

$

%

G(s)

Re(s

i

) < 0, i = 1, . . . n

G(s) =

L(s)

M (s)

→

M (s) = a

n

s

n

+ a

n−

1

s

n−

1

+ . . . a

1

s + a

0

= 0

23.

Kryterium stabilno´sci Hurwitza

M (s) = a

n

s

n

+ a

n−

1

s

n−

1

+ . . . a

1

s + a

0

= 0

(35)

a) a

0

, a

1

, . . . a

n

> 0

b) ∆

n

, ∆

n−

1

, . . . ∆

2

, ∆

1

∆

n

=





























a

n−

1

a

n−

3

a

n−

5

. . . 0

a

n

a

n−

2

a

n−

4

. . . 0

0

a

n−

1

a

n−

3

. . . 0

0

a

n

a

n−

2

. . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .





























|

{z

}

n






































n

(36)

Przykład

G

o

(s) =

k

s(1 + sT

1

)(1 + sT

2

)

→

G(s) =

G

o

(s)

1 + G

o

(s)

=

L(s)

M (s)

M (s) = T

1

T

2

s

3

+ (T

1

+ T

2

)s

2

+ s + k = a

3

s

3

+ a

2

s

2

+ a

1

s + a

0

T

1

T

2

> 0,

T

1

+ T

2

> 0,

k > 0

∆

3

=

















a

2

a

0

0

a

3

a

1

0

0

a

2

a

0

















=

















T

1

+ T

2

k

0

T

1

T

2

1

0

0

T

1

+ T

2

k

















T

1

+ T

2

> T

1

T

2

k

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 5

'

&

$

%

24.

Kryterium stabilno´sci Routha

s

n

s

n−

1

s

n−

2

s

n−

3

s

n−

4

. . .



































a

n

a

n−

2

a

n−

4

a

n−

6

. . .

a

n−

1

a

n−

3

a

n−

5

a

n−

7

. . .

b

1

b

2

b

3

. . .

c

1

c

2

c

3

. . .

d

1

d

2

. . .

. . . . . . . . . .

(37)

b

1

=













a

n

a

n−

2

a

n−

1

a

n−

3













−a

n−

1

,

b

2

=













a

n

a

n−

4

a

n−

1

a

n−

5













−a

n−

1

,

b

3

=













a

n

a

n−

6

a

n−

1

a

n−

7













−a

n−

1

,

. . .

c

1

=













a

n−

1

a

n−

3

b

1

b

2













−b

1

,

c

2

=













a

n−

1

a

n−

5

b

1

b

3













−b

1

,

. . .

d

1

=













b

1

b

2

c

1

c

2













−c

1

,

d

2

=













b

1

b

3

c

1

c

3













−c

1

,

. . .

G(s) =

L(s)

M (s)

,

M (s) = a

n

s

n

+ a

n−

1

s

n−

1

+ · · · + a

1

s + a

0

= 0

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 6

'

&

$

%

Przykład

M (s) = (s + 2)(s

2

− s + 4) = s

3

+ s

2

+ 2s + 8 = 0

s

3

s

2

s

1

s

0























1

2

1

8

−6

8

b

1

= −

1
1













1 2

1 8













= −6,

c

1

= −

1

−6













1

8

−6 0













= 8

układ niestabilny, 2 bieguny w prawej półpłaszcz. zespolonej

Przykład
M (s) = s

5

+ 2s

4

+ 2s

3

+ 4s

2

+ 11s + 10 = 0

s

5

s

4

s

3

s

2

s

1

s

0



































1

2

11

2

4

10

ǫ

6

−

12

ǫ

10

6

10

b

1

= −

1
2













1 2

2 4













= 0 ≈ ǫ, b

2

= −

1
2













1 11

2 10













= 6,

c

1

= −

1

ǫ













2 4

ǫ 6













≈ −

12

ǫ

,

c

2

= −

1

ǫ













2 10

ǫ

0













= 10,

d

1

=

ǫ

12













ǫ

6

−

12

ǫ

10













=

ǫ

12



10ǫ + 6

12

ǫ



≈ 6, e

1

= −

1
6













−

12

ǫ

10

6

0













= 10

układ niestabilny, 2 bieguny w prawej półpłaszcz. zespolonej

p = [1 2 2 4 11 10];

roots(p)

ans =

0.8950 + 1.4561i,

0.8950 - 1.4561i

-1.2407 + 1.0375i,

-1.2407 - 1.0375i

-1.3087

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 7

'

&

$

%

25.

Kryterium stabilno´sci Michajłowa (cz˛estotliwo´sciowe)

G(s) =

L(s)

M (s)

,

M (s) = a

n

s

n

+ a

n−

1

s

n−

1

+ . . . a

1

s + a

0

=

= a

n

(s − s

1

)(s − s

2

) . . . (s − s

n

)

(38)

M (jω) = M (s)





s

=jω

= a

n

(jω − s

1

)(jω − s

2

) . . . (jω − s

n

)

(39)

jw

j

s

w-

i

Im s

0

Re s

s

i

Rys. 50

Z(jω) = |Z(jω)|e

jϕ

(ω)

,

ϕ(ω) = arg Z(jω)

Re(s

i

) < 0

⇒

∆ arg

−∞

<ω<∞

(jω − s

i

) = +π

Re(s

i

) > 0

⇒

∆ arg

−∞

<ω<∞

(jω − s

i

) = −π

j

s

w-

i

Im s

0

Re s

s

i

+p

j

s

w-

i

Im s

0

Re s

s

i

-p

Rys. 51

∆ arg M (jω) =

n

X

i

=1

∆ arg(jω − s

i

)

(40)

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 8

'

&

$

%

Je´sli w prawej półpłaszcz. zespolonej l pierwiastków M (jω), to:

∆ arg

−∞

<ω<∞

M (jω) = l(−π) + (n − l)π = (n − 2l)π

(41)

Je´sli układ asymptotycznie stabilny, tzn. l = 0, to:

∆ arg

−∞

<ω<∞

M (jω) = nπ

(42)

Re[M (−jω)] = Re[M (jω)],

Im[M (−jω)] = −Im[M (jω)]

−∞ < ω < ∞

→

0 6 ω < ∞

∆ arg

06ω<∞

M (jω) = n

π

2

( ⇒ Re(s

i

) < 0, i = 1, 2, . . . n)

(43)

∆ arg

06ω<∞

M (jω) = (n − 2l)

π

2

(44)

n=1

Im M s

( )

0

w

n=2

w

w

n=3

n=4

w

Re

( )

M s

(a) układy stabilne

Im

( )

M s

0

Re

M s

( )

y

1

y

2

y

3

n=4

w

y

1

, y

3

> 0

y

2

< 0

(b) układ niestabilny

Rys. 52

układ niestabilny poniewa ˙z

∆ arg

06ω<∞

M (jω) = ψ

1

+ ψ

2

+ ψ

3

= 0

(n − 2l)

π

2

= 0

⇒

dla n = 4 jest l = 2

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 9

'

&

$

%

26.

Statyzm i astatyzm ci ˛

agłych układów regulacji

G

o

(s) =

L

o

(s)

s

l

M

o

(s)

(45)

G

o

(s)

y

0

(t)

e

(t)

y

(t)

-

6

-

+

−

Rys. 53

G

o

(s) =

L

o

(s)

M

o

(s)

=

b

m

s

m

+ b

m−

1

s

m−

1

+ . . . b

1

s + b

0

a

n

s

n

+ a

n−

1

s

n−

1

+ · · · + a

1

s + a

0

, m 6 n

⇒

⇒

k

o

= lim

s→

0

G

o

(s) = lim

s→

0

L

o

(s)

M

o

(s)

=

b

0

a

0

a) układ statyczny, y

0

(t) = A

1

(t):

e

u

= lim

s→

0

sE(s) = lim

s→

0

sG

e

(s)

A

s

= lim

s→

0

A

1 + G

o

(s)

=

A

1 + k

o

6= 0

b) układ astatyczny 1-go rz˛edu (l = 1), y

0

(t) = A

1

(t):

e

u

= lim

s→

0

sG

e

(s)

A

s

= lim

s→

0

A

1 +

L

o

(s)

sM

o

(s)

= lim

s→

0

AsM

o

(s)

sM

o

(s) + L

o

(s)

= 0

c) układ astatyczny 1-go rz˛edu (l = 1), y

0

(t) = At

1

(t):

e

u

= lim

s→

0

sG

e

(s)

A

s

2

= lim

s→

0

A



1 +

L

o

(s)

sM

o

(s)



s

= lim

s→

0

AM

o

(s)

sM

o

(s) + L

o

(s)

=

A

k

o

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 10

'

&

$

%

27.

Dokładno´s´c statyczna

a) odpowied´z skokowa, y

0

(t) = A

1

(t):

e

u

= lim

s→

0

sE(s) = lim

s→

0

sG

e

(s)

A

s

= lim

s→

0

A

1 + G

o

(s)

=

A

1 + k

p

(46)

k

p

= k

o

= lim

s→

0

G

o

(s) – stała uchybu poło ˙zenia

(47)

przy zało ˙zeniu, ˙ze układ jest stabilny

l = 0

⇒

k

p

< ∞

⇒

e

u

=

A

1 + k

p

l > 1

⇒

k

p

= lim

s→

0

L

o

(s)

s

l

M

o

(s)

= ∞

⇒

e

u

= 0

b) odpowied´z na sygnał liniowo narastaj ˛

acy y

0

(t) = At

1

(t):

e

u

= lim

s→

0

sE(s) = lim

s→

0

sG

e

(s)

A

s

2

= lim

s→

0

A

s + sG

o

(s)

= lim

s→

0

A

sG

o

(s)

=

A

k

v

(48)

k

v

= lim

s→

0

sG

o

(s) – stała uchybu pr˛edko´sciowego

(49)

l = 0

⇒

k

v

= 0

⇒

e

u

→ ∞

l = 1

⇒

k

v

= lim

s→

0

s

L

o

(s)

sM

o

(s)

< ∞

⇒

e

u

=

A

k

v

l > 2

⇒

k

v

= lim

s→

0

s

L

o

(s)

s

l

M

o

(s)

= ∞

⇒

e

u

= 0

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ´nska, Katedra Sterowania i In ˙zynierii Systemów

Wykłady 5,6, str. 11

'

&

$

%

c) odpowied´z na sygnał paraboliczny y

0

(t) =

A

2

t

2

1

(t):

e

u

= lim

s→

0

sG

e

(s)

A

s

3

= lim

s→

0

A

s

2

+ s

2

G

o

(s)

= lim

s→

0

A

s

2

G

o

(s)

=

A

k

a

(50)

k

a

= lim

s→

0

s

2

G

o

(s) – stała uchybu przyspieszeniowego

(51)

l = 0, 1

⇒

k

a

= 0

⇒

e

u

→ ∞

l = 2

⇒

k

a

= lim

s→

0

s

2

L

o

(s)

s

2

M

o

(s)

< ∞

⇒

e

u

=

A

k

a

l > 3

⇒

k

a

= lim

s→

0

s

2

L

o

(s)

s

l

M

o

(s)

= ∞

⇒

e

u

= 0

e

u

l = 0

l = 1

l = 2

l = 3

y

0

(t) = A

1

(t)

A

1+k

p

0

0

0

y

0

(t) = At

1

(t)

∞

A

k

v

0

0

y

0

(t) =

A

2

t

2

1

(t)

∞

∞

A

k

a

0

A

y t

( )

0

t

l=0

y t

0

( )

l³1

A

e t

( )

0

t

l=0

l³1

e

u

(a)

y t

( )

0

t

l=0

y t

0

( )

l³2

e t

( )

0

t

l=0

l³2

l=1

e

u

l=1

(b)

y t

( )

0

t

l=0,1

y t

0

( )

l³3

e t

( )

0

t

l=0,1

l³3

l=2

e

u

l=2

(c)

Rys. 54

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski