Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 1

'

$

15.

Charakterystyki logarytmiczne (wykresy Bodego) Lm(ω) = 20 lg |G(jω)|

[dB = decybel]

(20)

(Lm(ω) = 1[dB] → 20 lg |G(jω)| = 1 →

→ |G(jω)| = 101/20 ≈ 1,22 → ymax/umax ≈ 1,22

ϕ(ω) = arg(G(jω))

(21)

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

lg w

-3

-2

2

3

4

w

10

10

0,1

1

10

10

10

10

0

0,3

0,6

0,78 0,9 1

lg w

w

1

2

4

6

8

10

Rys. 28

Lm( )

w

lg w

j(w)

lg w

-p

Rys. 29

lg ω

ω

oktawa → ω

b − lg ωa

b

2 = 2ω1 →

= 3,32 lg

(22)

lg 2

ωa

lg ω

ω

dekada → ω

b − lg ωa

b

2 = 10ω1 →

= lg

(23)

lg 10

ωa

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 2

'

$

Zalety charakterystyk logarytmicznych G(jω) = G1(jω)G(jω)G3(jω)

Lm(jω) = Lm1(jω) + Lm2(jω) + Lm3(jω) ϕ(jω) = ϕ1(jω) + ϕ2(jω) + ϕ3(jω) Przykład (element inercyjny 1-go rzędu) k

G(jω) = 1 + jωT

|k|

|G(jω)| = √

,

ϕ(ω) = −arctg(ωT ) (k > 0) 1 + ω2T 2

|k|

√

Lm(ω) = 20 lg √

= 20 lg |k| − 20 lg 1 + ω2T 2

1 + ω2T 2



1

dla ω ≪ 1/T

1 + ω2T 2 =

ω2T 2

dla ω ≫ 1/T



1

dla ω < 1/T

1 + ω2T 2 ≈

ω2T 2

dla ω > 1/T



20 lg |k| − 20 lg 1

dla ω < 1/T

Lm(ω) ≈

√

=

20 lg |k| − 20 lg

ω2T 2

dla ω > 1/T



20 lg |k|

dla ω < 1/T

=

20 lg |k| − 20 lg(ωT )

dla ω > 1/T

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 3

'

$

Lm(ω) = Lm1(ω) + Lm2(ω),

Lm1(ω) = 20 lg |k|

(

0

dla ω < 1/T

Lm2(ω) =

−20 lg(ωT ) dla ω > 1/T

−20 lg(ωT ) = −20 lg ω + 20 lg(1/T ) = 0 dla ω = 1/T

Lm(w)

3 dB

20 lg|k|

Lm (w)

|k|>1

1

lg w

w=1/ T

-20 dB/dek

Lm ( )

w

2

j(w)

lg w

w=1/(10 T)

w=10/ T

w=1/ T

Q(w)

k

P(w)

-p/4

w

w=1/ T

-p/2

Rys. 30

Lm(10ωx) − Lm(ωx) = 20 lg |k| − 20 lg(10ωxT ) − 20 lg |k|+

ω

dB

dB

+ 20 lg(ω

xT

xT ) = 20 lg

= −20

= −6

10ωxT

dek

okt

ϕ(ω) = −arctg(ωT ) dla k > 0

ϕ(1/T ) = −π/4,

ϕ(0) = 0,

ϕ(∞) → −π/2

∆Lm(ω) = Lmdokl(ω) − Lmasympt(ω)

∆Lm(1/T ) = 20 lg |k| − 20 lg p1 + (T/T )2−

√

− 20 lg |k| + 20 lg(T/T ) = −20 lg 2 = −3,03[dB]

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 4

'

$

16.

Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe podstawowych układów dynamicznych u(t)

y(t)

-

G(s)

-

Rys. 31

Y (s)

(a) układ proporcjonalny G(s) =

= k,

U (s)

y(t) = ku(t),

h(t) = L−1[G(s)/s] = k (t)

1

Q( )

w

Lm(w)

20 lg |k|

k

lg w

0

P( )

w

k>1

j w

( )

k>0

lg w

(a)

(b)

Rys. 32

Y (s)

k

(b) układ inercyjny 1-go rzędu G(s) =

=

U (s)

T s + 1

dy(t)

T

+y(t) = ku(t),

h(t) = L−1[G(s)/s] = k 1 − e−t/T (t) dt

1

Lm( )

w

20 lg|k|

lg w

h( t)

w=1/ T

k

Q(w)

k/2

k

-20 dB/dek

wg 8

w=0

P(w)

j(w)

lg w

w=1/ T

w

t

-p/4

- k/2

0

T

w=1/ T

-p/2

(a)

(b)

(c)

Rys. 33

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 5

'

$

Y (s)

k

(c) ukł. inercyjny 2-go rzędu G(s) =

=

U (s)

(T1s + 1)(T2s + 1)

d2y(t)

dy(t)

T1T2

+ (T

+ y(t) = ku(t)

dt2

1 + T2)

dt

T

h(t) = L−1[G(s)/s] = k 1 − 1e−t/T1 − T2e−t/T2

(t)

T

1

1 − T2

h t

( )

k

Q( )

w

k

w

w=0

g 8

P(w)

w

w

t

x

0

√

(a)

(b) ωx = 1/ T1T2

Rys. 34

(d) układ oscylacyjny

k

kω2

G(s) =

=

n

(24)

T 2ns2 + 2ζTns + 1

s2 + 2ζωns + ω2n

k – wzmocnienie,

Tn – stała czasowa,

ωn = 1/Tn > 0 – pulsacja drga ń nietłumionych (p. naturalna), ζ – współczynnik tłumienia (rozwa żamy 0 6 ζ < 1), h( t)

a 1

a

k

2

0

T

t

osc

Rys. 35

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 6

'

$

(e) układ inercyjny n-go rzędu k

k

G(s) =

lub G(s) =

(1 + sT1)(1 + sT2) . . . (1 + sTn) (1 + sT )n

h t

( )

Q(w)

k

P(w)

n=1

wg 8

w=0 k

n=3

n=3

n=1

n=2

w

n=2

0

t

(a)

(b)

Rys. 36

(f) element całkujący idealny i rzeczywisty k

1

k

G1(s) =

→

H

=

→

h

(t)

s

1(s) = G1(s) s

s2

1(t) = kt1

k

1

k

G2(s) =

→

H

=

→

s(1 + sT )

2(s) = G2(s) s

s2(1 + sT )

→

h1(t) = k t − T + T e−t/T (t) = k t − T 1 − e−t/T (t) 1

1

h( t)

h ( t)

1

h t

( )

2

tg =

a k

t

T

Rys. 37

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 7

'

$

charakterystyki amplitudowo-fazowe: k

k

G1(jω) =

= −j

→

G

jω

ω

1(j0) → 0−j∞, G1(j∞) → 0+j0

k

−k(ω2T + jω)

G2(jω) =

=

=

jω(1 + jωT )

ω2(1 + ω2T 2)

−kT

−k

=

+ j

1 + ω2T 2

ω(1 + ω2T 2)

Q(w)

- kT

wg 8

P(w)

G j

( w)

G j

( w)

2

1

w

w

wg0

wg0

Rys. 38

G2(j0) → −kT − j∞,

G2(j∞) → 0 + j0

(g) element ró żniczkujący idealny i rzeczywisty 1

G1(s) = ks

→

H1(s) = ks = k

→

h

s

1(t) = kδ(t)

ks

ks

1

k

G2(s) =

→ H

→ h

e−t/T (t)

1 + sT

2(s) = 1 + sT s

2(t) = T

1

h t

( )

h ( t)

Q( )

w

wg 8

1

k T

/

w

w

G j

( w)

2

G j

( w)

h t

( )

1

2

P( )

w

t

k T

/

T

w=0

wg 8

(a)

(b)

Rys. 39

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 8

'

$

17.

Układ regulacji automatycznej z

y 0

e

u

y

Regulator

Obiekt

+

-

Rys. 40

e(t) = y0(t) − y(t),

E(s) = Y0(s) − Y (s)

Blok po-

z

równuj¹cy

y 0

e

y

Urz¹dzenie

Zadajnik

Regulator

Obiekt

+

wykonawcze

-

Urz¹dzenie

pomiarowe

Rys. 41

Z s

( )

G s

( )

oz

+

Y ( s)

E s

( )

U s

( )

Y( s)

0

G ( s)

G ( s)

+

r

ob

+

-

Rys. 42 Goz(s) = 1 – zakł. na wyjściu, Goz(s) = Gob(s) – zakł. na wejściu Y (s) = Gr(s)Gob(s)E(s)+Goz(s)Z(s) = Go(s)[Y0(s)−Y (s)]+Goz(s)Z(s) Go(s) = Gr(s)Gob(s) – transmitancja układu otwartego

[1 + Go(s)]Y (s) = Go(s)Y0(s) + Goz(s)Z(s) G

G

Y (s) =

o(s)

Y

oz (s)

Z(s) = G(s)Y

1 + G

0(s) +

0(s) + Gz (s)Z (s)

o(s)

1 + Go(s)

(25)

Y (s)

G

G(s) =

o(s)

=

– transm. układu zamkniętego

Y0(s)

1 + G

Z(s)≡0

o(s)

Y (s)

G

G

oz (s)

z (s) =

=

– transmitancja zakłóceniowa

Z(s)

1 + G

Y

o(s)

0(s)≡0

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 9

'

$

G

G

E(s) = Y

o(s)

oz (s)

0(s) − Y (s) =

1 −

Y

Z(s)

1 + G

0(s) −

o(s)

1 + Go(s)

1

G

E(s) =

Y

oz (s)

Z(s) = G

1 + G

0(s) −

e(s)Y0(s) − Gez(s)Z(s)

o(s)

1 + Go(s)

(26)

E(s)

1

G

e(s) =

=

– transmitancja uchybowa

Y0(s)

1 + G

Z(s)≡0

o(s)

E(s)

G

Y (s)

G

oz (s)

ez (s) =

=

= G

Z(s)

z (s) =

1 + G

Z(s)

Y

o(s)

0 (s)≡0

Y0(s)≡0

Zauwa żmy, że

1

1 + G

G

o(s) − Go(s)

e(s) =

=

= 1 − G(s)

(27)

1 + Go(s)

1 + Go(s)

Przykład

(wyznaczyć e(t) i y(t))

z( t)

+

y ( t)

e t

( )

y( t)

0

k

k

2

+

1

+

-

1+ sT

Rys. 43

y0(t) = (t) → Y0(s) = 1/s,

z(t) = 0

1

k

k

G

2

o(s) = Gr(s)Gob(s) = k1

=

,

k = k

1 + sT

1 + sT

1k2

1

1

1 + sT

E(s) =

Y0(s) −

Z(s) =

[Y0(s) − Z(s)]

1 + k

1 +

k

1 + k + sT

1+sT

1+sT

1 + sT

k

Ge(s) =

,

G(s) = 1 − G

1 + k + sT

e(s) = 1 + k + sT

1 + sT

1 + sT

E(s) = Ge(s)Y0(s) =

=

(1 + k + sT )s

T (1+k + s)s

T

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 10

'

$

"

#

1 + sT

1 + sT

e(t) = L−1[E(s)] = L−1

=

lim

est+

T (1+k + s)s

s→0 1 + k + sT

T

!

!

1 + sT

1

1 − 1+kT

1+k

+ lim

est

(t) =

+

T

e−

t

T

(t) =

1

1

s

1+k

T s

1 + k

→−

−1+kT

T

T

1

k

1+k

=

+

e−

t

T

(t)

1 + k

1 + k

1

e(t) = y0(t) − y(t)

1

k

1+k

y(t) = y

t

0(t) − e(t) =

1 −

−

e− T

(t) =

1 + k

1 + k

1

k

1+k

=

1 − e−

t

T

(t)

1 + k

1

e( t), y( ) t

y ( t)

0

1

k

1+k

y( t)

1

e( t)

1+k

0

t

Rys. 44

eu = lim e(t) = 1

t

1+k

→∞

1 + sT

1

eu = lim e(t) = lim sE(s) = lim 6 s

=

t→∞

s→0

s→0

(1 + k + sT ) 6 s

1 + k

k

k

k

G(s) =

=

1+k

=

z

1 + k + sT

1 + s T

1 + sT

1+k

z

k

T

kz =

,

T

1 + k

z = 1 + k

&

%

Podstawy automatyki (z)

http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski