Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 1
'
$
15.
Charakterystyki logarytmiczne (wykresy Bodego) Lm(ω) = 20 lg |G(jω)|
[dB = decybel]
(20)
(Lm(ω) = 1[dB] → 20 lg |G(jω)| = 1 →
→ |G(jω)| = 101/20 ≈ 1,22 → ymax/umax ≈ 1,22
ϕ(ω) = arg(G(jω))
(21)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
lg w
-3
-2
2
3
4
w
10
10
0,1
1
10
10
10
10
0
0,3
0,6
0,78 0,9 1
lg w
w
1
2
4
6
8
10
Rys. 28
Lm( )
w
lg w
j(w)
lg w
-p
Rys. 29
lg ω
ω
oktawa → ω
b − lg ωa
b
2 = 2ω1 →
= 3,32 lg
(22)
lg 2
ωa
lg ω
ω
dekada → ω
b − lg ωa
b
2 = 10ω1 →
= lg
(23)
lg 10
ωa
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 2
'
$
Zalety charakterystyk logarytmicznych G(jω) = G1(jω)G(jω)G3(jω)
Lm(jω) = Lm1(jω) + Lm2(jω) + Lm3(jω) ϕ(jω) = ϕ1(jω) + ϕ2(jω) + ϕ3(jω) Przykład (element inercyjny 1-go rzędu) k
G(jω) = 1 + jωT
|k|
|G(jω)| = √
,
ϕ(ω) = −arctg(ωT ) (k > 0) 1 + ω2T 2
|k|
√
Lm(ω) = 20 lg √
= 20 lg |k| − 20 lg 1 + ω2T 2
1 + ω2T 2
1
dla ω ≪ 1/T
1 + ω2T 2 =
ω2T 2
dla ω ≫ 1/T
1
dla ω < 1/T
1 + ω2T 2 ≈
ω2T 2
dla ω > 1/T
20 lg |k| − 20 lg 1
dla ω < 1/T
Lm(ω) ≈
√
=
20 lg |k| − 20 lg
ω2T 2
dla ω > 1/T
20 lg |k|
dla ω < 1/T
=
20 lg |k| − 20 lg(ωT )
dla ω > 1/T
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 3
'
$
Lm(ω) = Lm1(ω) + Lm2(ω),
Lm1(ω) = 20 lg |k|
(
0
dla ω < 1/T
Lm2(ω) =
−20 lg(ωT ) dla ω > 1/T
−20 lg(ωT ) = −20 lg ω + 20 lg(1/T ) = 0 dla ω = 1/T
Lm(w)
3 dB
20 lg|k|
Lm (w)
|k|>1
1
lg w
w=1/ T
-20 dB/dek
Lm ( )
w
2
j(w)
lg w
w=1/(10 T)
w=10/ T
w=1/ T
Q(w)
k
P(w)
-p/4
w
w=1/ T
-p/2
Rys. 30
Lm(10ωx) − Lm(ωx) = 20 lg |k| − 20 lg(10ωxT ) − 20 lg |k|+
ω
dB
dB
+ 20 lg(ω
xT
xT ) = 20 lg
= −20
= −6
10ωxT
dek
okt
ϕ(ω) = −arctg(ωT ) dla k > 0
ϕ(1/T ) = −π/4,
ϕ(0) = 0,
ϕ(∞) → −π/2
∆Lm(ω) = Lmdokl(ω) − Lmasympt(ω)
∆Lm(1/T ) = 20 lg |k| − 20 lg p1 + (T/T )2−
√
− 20 lg |k| + 20 lg(T/T ) = −20 lg 2 = −3,03[dB]
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 4
'
$
16.
Charakterystyki czasowe i częstotliwościowe podstawowych układów dynamicznych u(t)
y(t)
-
G(s)
-
Rys. 31
Y (s)
(a) układ proporcjonalny G(s) =
= k,
U (s)
y(t) = ku(t),
h(t) = L−1[G(s)/s] = k (t)
1
Q( )
w
Lm(w)
20 lg |k|
k
lg w
0
P( )
w
k>1
j w
( )
k>0
lg w
(a)
(b)
Rys. 32
Y (s)
k
(b) układ inercyjny 1-go rzędu G(s) =
=
U (s)
T s + 1
dy(t)
T
+y(t) = ku(t),
h(t) = L−1[G(s)/s] = k 1 − e−t/T (t) dt
1
Lm( )
w
20 lg|k|
lg w
h( t)
w=1/ T
k
Q(w)
k/2
k
-20 dB/dek
wg 8
w=0
P(w)
j(w)
lg w
w=1/ T
w
t
-p/4
- k/2
0
T
w=1/ T
-p/2
(a)
(b)
(c)
Rys. 33
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 5
'
$
Y (s)
k
(c) ukł. inercyjny 2-go rzędu G(s) =
=
U (s)
(T1s + 1)(T2s + 1)
d2y(t)
dy(t)
T1T2
+ (T
+ y(t) = ku(t)
dt2
1 + T2)
dt
T
h(t) = L−1[G(s)/s] = k 1 − 1e−t/T1 − T2e−t/T2
(t)
T
1
1 − T2
h t
( )
k
Q( )
w
k
w
w=0
g 8
P(w)
w
w
t
x
0
√
(a)
(b) ωx = 1/ T1T2
Rys. 34
(d) układ oscylacyjny
k
kω2
G(s) =
=
n
(24)
T 2ns2 + 2ζTns + 1
s2 + 2ζωns + ω2n
k – wzmocnienie,
Tn – stała czasowa,
ωn = 1/Tn > 0 – pulsacja drga ń nietłumionych (p. naturalna), ζ – współczynnik tłumienia (rozwa żamy 0 6 ζ < 1), h( t)
a 1
a
k
2
0
T
t
osc
Rys. 35
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 6
'
$
(e) układ inercyjny n-go rzędu k
k
G(s) =
lub G(s) =
(1 + sT1)(1 + sT2) . . . (1 + sTn) (1 + sT )n
h t
( )
Q(w)
k
P(w)
n=1
wg 8
w=0 k
n=3
n=3
n=1
n=2
w
n=2
0
t
(a)
(b)
Rys. 36
(f) element całkujący idealny i rzeczywisty k
1
k
G1(s) =
→
H
=
→
h
(t)
s
1(s) = G1(s) s
s2
1(t) = kt1
k
1
k
G2(s) =
→
H
=
→
s(1 + sT )
2(s) = G2(s) s
s2(1 + sT )
→
h1(t) = k t − T + T e−t/T (t) = k t − T 1 − e−t/T (t) 1
1
h( t)
h ( t)
1
h t
( )
2
tg =
a k
t
T
Rys. 37
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 7
'
$
charakterystyki amplitudowo-fazowe: k
k
G1(jω) =
= −j
→
G
jω
ω
1(j0) → 0−j∞, G1(j∞) → 0+j0
k
−k(ω2T + jω)
G2(jω) =
=
=
jω(1 + jωT )
ω2(1 + ω2T 2)
−kT
−k
=
+ j
1 + ω2T 2
ω(1 + ω2T 2)
Q(w)
- kT
wg 8
P(w)
G j
( w)
G j
( w)
2
1
w
w
wg0
wg0
Rys. 38
G2(j0) → −kT − j∞,
G2(j∞) → 0 + j0
(g) element ró żniczkujący idealny i rzeczywisty 1
G1(s) = ks
→
H1(s) = ks = k
→
h
s
1(t) = kδ(t)
ks
ks
1
k
G2(s) =
→ H
→ h
e−t/T (t)
1 + sT
2(s) = 1 + sT s
2(t) = T
1
h t
( )
h ( t)
Q( )
w
wg 8
1
k T
/
w
w
G j
( w)
2
G j
( w)
h t
( )
1
2
P( )
w
t
k T
/
T
w=0
wg 8
(a)
(b)
Rys. 39
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 8
'
$
17.
Układ regulacji automatycznej z
y 0
e
u
y
Regulator
Obiekt
+
-
Rys. 40
e(t) = y0(t) − y(t),
E(s) = Y0(s) − Y (s)
Blok po-
z
równuj¹cy
y 0
e
y
Urz¹dzenie
Zadajnik
Regulator
Obiekt
+
wykonawcze
-
Urz¹dzenie
pomiarowe
Rys. 41
Z s
( )
G s
( )
oz
+
Y ( s)
E s
( )
U s
( )
Y( s)
0
G ( s)
G ( s)
+
r
ob
+
-
Rys. 42 Goz(s) = 1 – zakł. na wyjściu, Goz(s) = Gob(s) – zakł. na wejściu Y (s) = Gr(s)Gob(s)E(s)+Goz(s)Z(s) = Go(s)[Y0(s)−Y (s)]+Goz(s)Z(s) Go(s) = Gr(s)Gob(s) – transmitancja układu otwartego
[1 + Go(s)]Y (s) = Go(s)Y0(s) + Goz(s)Z(s) G
G
Y (s) =
o(s)
Y
oz (s)
Z(s) = G(s)Y
1 + G
0(s) +
0(s) + Gz (s)Z (s)
o(s)
1 + Go(s)
(25)
Y (s)
G
G(s) =
o(s)
=
– transm. układu zamkniętego
Y0(s)
1 + G
Z(s)≡0
o(s)
Y (s)
G
G
oz (s)
z (s) =
=
– transmitancja zakłóceniowa
Z(s)
1 + G
Y
o(s)
0(s)≡0
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 9
'
$
G
G
E(s) = Y
o(s)
oz (s)
0(s) − Y (s) =
1 −
Y
Z(s)
1 + G
0(s) −
o(s)
1 + Go(s)
1
G
E(s) =
Y
oz (s)
Z(s) = G
1 + G
0(s) −
e(s)Y0(s) − Gez(s)Z(s)
o(s)
1 + Go(s)
(26)
E(s)
1
G
e(s) =
=
– transmitancja uchybowa
Y0(s)
1 + G
Z(s)≡0
o(s)
E(s)
G
Y (s)
G
oz (s)
ez (s) =
=
= G
Z(s)
z (s) =
1 + G
Z(s)
Y
o(s)
0 (s)≡0
Y0(s)≡0
Zauwa żmy, że
1
1 + G
G
o(s) − Go(s)
e(s) =
=
= 1 − G(s)
(27)
1 + Go(s)
1 + Go(s)
Przykład
(wyznaczyć e(t) i y(t))
z( t)
+
y ( t)
e t
( )
y( t)
0
k
k
2
+
1
+
-
1+ sT
Rys. 43
y0(t) = (t) → Y0(s) = 1/s,
z(t) = 0
1
k
k
G
2
o(s) = Gr(s)Gob(s) = k1
=
,
k = k
1 + sT
1 + sT
1k2
1
1
1 + sT
E(s) =
Y0(s) −
Z(s) =
[Y0(s) − Z(s)]
1 + k
1 +
k
1 + k + sT
1+sT
1+sT
1 + sT
k
Ge(s) =
,
G(s) = 1 − G
1 + k + sT
e(s) = 1 + k + sT
1 + sT
1 + sT
E(s) = Ge(s)Y0(s) =
=
(1 + k + sT )s
T (1+k + s)s
T
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykłady 3,4, str. 10
'
$
"
#
1 + sT
1 + sT
e(t) = L−1[E(s)] = L−1
=
lim
est+
T (1+k + s)s
s→0 1 + k + sT
T
!
!
1 + sT
1
1 − 1+kT
1+k
+ lim
est
(t) =
+
T
e−
t
T
(t) =
1
1
s
1+k
T s
1 + k
→−
−1+kT
T
T
1
k
1+k
=
+
e−
t
T
(t)
1 + k
1 + k
1
e(t) = y0(t) − y(t)
1
k
1+k
y(t) = y
t
0(t) − e(t) =
1 −
−
e− T
(t) =
1 + k
1 + k
1
k
1+k
=
1 − e−
t
T
(t)
1 + k
1
e( t), y( ) t
y ( t)
0
1
k
1+k
y( t)
1
e( t)
1+k
0
t
Rys. 44
eu = lim e(t) = 1
t
1+k
→∞
1 + sT
1
eu = lim e(t) = lim sE(s) = lim 6 s
=
t→∞
s→0
s→0
(1 + k + sT ) 6 s
1 + k
k
k
k
G(s) =
=
1+k
=
z
1 + k + sT
1 + s T
1 + sT
1+k
z
k
T
kz =
,
T
1 + k
z = 1 + k
&
%
Podstawy automatyki (z)
http://www.put.poznan.pl/˜waldemar.wroblewski