MK-8

STATYKA USTROJÓW PRĘTOWYCH W UJĘCIU MES

Dla kratownicy przedstawionej na rysunku wyznaczyć przemieszczenia węzłów i siły w prętach
wywołane ciężarem własnym konstrukcji.

> with(LinearAlgebra):
> m:=4; n:=14; e:=11; w:=7;

# m - wymiar wektora funkcji kształtu, n - liczba

współrzędnych globalnych całej struktury, e - liczba elementów , w - liczba węzłów kratownicy

> interface(rtablesize=n):

wektor funkcji kształtu dla przemieszczeń osiowych (pu) i poprzecznych (pv)

> pu:=Vector([1-x/h,0,x/h,0]); pv:=Vector([0,1-x/h,0,x/h]);

# h - długość

elementu

Wyznaczenie macierzy sztywności K, macierzy obrotu R i wektora sił f typowego elementu prętowego

> puprim:=map(diff,pu,x);
> K:=map(int,E*A*puprim.Transpose(puprim),x=0..h);
> R:=Matrix([[cos(alpha),sin(alpha),0,0],[-sin(alpha),cos(alpha),0,0],

[0,0,cos(alpha),sin(alpha)],[0,0,-sin(alpha),cos(alpha)]]);
> f:=-q0*map(int,sin(alpha)*pu+cos(alpha)*pv,x=0..h);

Wprowadzenie danych opisujących poszczególne elementy – uzupełnić na podstawie rysunku

> dane:=table([1=[0,l],...

# tablica danych o elementach:. numer_elementu = [kąt, długość]

> W:=Matrix([[1,2,3,4],...

# macierz wskaźników współrzędnych węzłowych

Wyznaczenie macierzy sztywności, macierzy obrotu i wektorów sił poszczególnych elementów

> for i to e do
K||i:=eval(K,h=dane[i][2]);

R||i:=eval(R,alpha=dane[i][1]);
f||i:=eval(f,[alpha=dane[i][1],h=dane[i][2]]);
end do:

∫

+

−

=



⌡

⌠













∂

∂

∂

∂

=

h

v

u

h

T

u

u

dx

q

dx

x

x

EA

0

0

0

)

cos

sin

(

p

p

f

p

p

K

α

α

1

s

q

2

s

q

3

s

q

4

s

q

5

s

q

6

s

q

7

s

q

8

s

q

9

s

q

10

s

q

11

s

q

12

s

q

13

s

q

14

s

q

I

II

III

IV

V

VI

VII

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Obrót macierzy sztywności i wektorów sił poszczególnych elementów do układu globalnego

> for i to e do
Kg||i:=Transpose(R||i).K||i.R||i;

fg||i:=Transpose(R||i).f||i;
end do:

Złożenie macierzy sztywności i wektora sił całej struktury

> for i to e do B||i:=Matrix(4,n) end do:
> for i to e do
for j to m do B||i[j,W[i,j]]:=1 end do;

# - macierze logiczne

end do;
> Ks:=eval(add(Transpose(B||i).Kg||i.B||i,i=1..e)):

# macierz sztywności

całej struktury

> fs:=eval(add(Transpose(B||i).fg||i,i=1..e));

# wektor sił całej struktury

Redukcja macierzy sztywności, wektora sił i wektora przemieszczeń

> Kr:=SubMatrix(Ks,[3..7,9..n],[3..7,9..n]);

# zredukowana macierz sztywności

> fr:=SubVector(fs,[3..7,9..n]);

# zredukowany wektor sił

> qs:=Vector(n,symbol=q):

# wektor przemieszczeń węzłowych całej struktury

> qr:=SubVector(qs,[3..7,9..n]);

# zredukowany wektor przemieszczeń węzłowych

Rozwiązanie układu równań: Kr.wr = fr

> roz:=solve(convert(Kr.qr-fr,set),convert(qr,set));
> assign(roz);
> q[1],q[2],q[8]:=0,0,0;

# więzy nałożone na układ

> qs:=Vector([seq(q[i],i=1..n)]):

# wektor wyliczonych przemieszczeń węzłowych

Wyliczenie sił w poszczególnych prętach (rozwiązanie symboliczne)

> for i to e do

f||i:=simplify(K||i.R||i.B||i.qs):

end do:

Dane liczbowe

> A:=0.001;g:=9.81;rho:=8000;q0:=rho*g*A;E:=2e11;l:=1;

Wartości sił w poszczególnych prętach

> for i to e do evalf(f||i[3]); end do;

Wizualizacja wyników

> qp:=evalf(10000*qs):

# przeskalowany wektor przemieszczeń węzłowych

Geometria kratownicy (współrzędne poszczególnych węzłów)

> P1:=[0,0];P2:=[l,0];P3:=[2*l,0];P4:=[3*l,0];P5:=[l/2,l*sqrt(3)/2];
P6:=[3/2,l*sqrt(3)/2];P7:=[5/2,l*sqrt(3)/2];

f

R

f

KR

R

K

T

g

T

g

=

=

∑

∑

=

=

=

=

e

i

g

T

i

s

e

i

i

g

T

i

s

i

i

1

1

f

B

f

B

K

B

K

s

i

i

i

i

q

B

R

K

f

=

Rysunek kratownicy przed obciążeniem

> q1:=plot([[P1,P2],[P2,P3],[P3,P4],[P1,P5],[P2,P5],[P2,P6],[P3,P6],
[P3,P7],[P5,P6],[P6,P7],[P4,P7]],color=red,axes=none,scaling=constrain

ed):

Dodanie przemieszczeń poszczególnych węzłów do ich współrzędnych

> j:=0:
for i to w do

P||i[1]:=P||i[1]+qp[i+j]:
P||i[2]:=P||i[2]+qp[i+1+j]:

j:=j+1:
end do:

Rysunek kratownicy po obciążeniu

> q2:=plot([[P1,P2],[P2,P3],[P3,P4],[P1,P5],[P2,P5],[P2,P6],

[P3,P6],[P3,P7],[P5,P6],[P6,P7],[P4,P7]],color=blue,axes=none,
scaling=constrained):
> plots[display]({q1,q2});

> unassign('q');

Zadanie

Wyliczyć przemieszczenia węzłów i siły w prętach kratownicy zamocowanej na obu podporach
nieprzesuwnych. Kratownica obciążona jest ciężarem własnym (wartość q0 jak w poprzednim zadaniu)
oraz siłą skupioną o wartości P = 1000 N, przyłożoną do węzła II.

P

1

s

q

2

s

q

3

s

q

4

s

q

5

s

q

6

s

q

7

s

q

8

s

q

9

s

q

10

s

q

11

s

q

12

s

q

13

s

q

14

s

q

I

II

III

IV

V

VI

VII

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11